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专题10 二次函数中面积问题
方法1 割补法求面积
1．如图，直线l： 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线 经过点
B．
(1)求该抛物线的函数表达式：
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，
△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值．
方法2 铅锤高水平宽求面积
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E,
点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；
方法3 △=0时求面积最大
3．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，已知点
（－1，0），点C(0，－2)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点 是线段 下方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值以及此时点 的坐标．
类型拓展1 求四边形面积
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝
x2＋bx＋c的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D在直线BC下方的抛物线上，连接DC、DB，设四边形OCDB的面积为S，求S的最大值；5．如图，抛物线 与 轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线
经过B，C两点，连接AC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面
积为S，求S的最大值；
类型拓展2 抛物线上有且只有三个点
6．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个
点的坐标及定值S．7．如图，直线 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 经过 B、C 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B，C 两点重合），△BEC 面积记为 S，当 S 取何值时，
对应的点 E 有且只有三个？
8．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上的一动点，当 为什么取值范围时，对应的点 有且只有两个？
类型拓展3 综合运用
9．综合与实践
如图，二次函数 的图象与 轴交于点 和 ，点 的坐标是 ，与 轴交于点 ，
点 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，当点 在第四象限的抛物线上运动时，连接 ， ， ，当 的面积最大时，求点
的坐标及 的最大面积；
10．如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，且点 与点 的坐标分别
为 ，点 是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点 为线段 上一个动点，过点 作 轴于点 ，若 ， 的面积为 ，求 与 的函
数关系式，并求当 取得最大值时，点 的坐标；
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为 ，与 轴交于点 与 轴交于点 、
，且点 ， ，过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，点 为抛物线上的点，且在 的
上方，作 平行于 轴交 于点 ．(1)求二次函数的解析式；
(2)当点 在何位置时，四边形 的面积最大？并求出最大面积；
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B
的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形
APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．
