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专题10 二次函数中面积问题
方法1 割补法求面积
1．如图，直线l： 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线 经过点
B．
(1)求该抛物线的函数表达式：
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，
△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】（1） ；（2） ;当 时， 取得最大值 ．
【解析】【分析】
（1）根据题意先求出点B的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；
（2）由题意可求点A坐标，连接 ，由题意知，点 的坐标为 ，则有 ，然后
根据割补法求面积即可．
【详解】
解：（1）把 代入 得 ，
∴ ．
把 代入 ，
得 ，∴ ．
∴抛物线的解析式为 ；
（2）令 ，则 ，解得 或3，
∴抛物线与 轴的交点横坐标分别为 和3．
∵点 在抛物线上，且在第一象限内，
∴ ．
将 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ．
如解图，连接 ，由题意知，点 的坐标为 ，
则
，
∵ ，且 ，∴当 时， 取得最大值 ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
方法2 铅锤高水平宽求面积
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E,
点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积；
解：（1）由题意得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴抛物线对称轴为x＝1，
∴E（3，0），
设直线AE的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3，
如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴ ＝ ＝ ，
∴t＝ 时，△PAE的面积最大，最大值是 ．
方法3 △=0时求面积最大
3．如图，二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，已知点
（－1，0），点C(0，－2)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点 是线段 下方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值以及此时点 的坐标．
（1）将A（－1，0）、点C(0，－2)．代入求得：
（2）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y= x-2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y= x+b，
当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b= x2- x-2，即： x2-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4× （-2-b）=0，即b=-4；
∴直线l：y= x-4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，
解得：
即 M（2，-3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB= ×2×（2+3）+ ×2×3- ×2×4=4．
∴点M（2，﹣3），△MBC面积最大值是4.
考点：二次函数综合题．
类型拓展1 求四边形面积
4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y
＝ x2＋bx＋c的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D在直线BC下方的抛物线上，如图1，连接DC、DB，设四边形OCDB的面积为S，求S的最
大值；解：（1）对于y＝ x﹣2，令y＝ x﹣2＝0，
解得：x＝4；
令x＝0，则y＝﹣2，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2）；
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得 ，
解得： ，
故抛物线的表达式为 ①；
（2）连接OD，点D的坐标为（x， ），
则S＝S ODC＋S ODB＝ ×OC× ＋ ×BO×（﹣ ）
△ △
＝ ×2×x＋ ×4×（ ）
＝﹣x2＋4x＋4，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S有最大值8；
5．如图，抛物线 与 轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线
经过B，C两点，连接AC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面
积为S，求S的最大值；
(1)
解：（1）将 ， ， 代入 ，
，
解得： ，
；
(2)
（2）过 作 轴于点 ，与 交于点 ，
， ， ，
当 时， ，
，，
设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 的最大值为 ；
类型拓展2 抛物线上有且只有三个点
6．如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，求这三个
点的坐标及定值S．解：(1)∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．
∴
∴
∴抛物线解析式为：y＝﹣ x2+2x+6，
∵y＝﹣ x2+2x+6＝﹣ （x﹣2）2+8，
∴顶点坐标为（2，8）
(2)∵点A（0，6），点B（6，0），
∴直线AB解析式y＝﹣x+6，
当x＝2时，y＝4，
∴点D（2，4）
如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点
为P，
设直线PC解析式为y＝﹣x+b，
∴﹣ x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一个交点，
∴△＝9﹣4× ×（b﹣6）＝0
∴b＝ ，
∴直线PC解析式为y＝﹣x+ ，∴当x＝2，y＝ ，
∴点C坐标（2， ），
∴CD＝ ，
∵﹣ x2+2x+6＝﹣x+ ，
∴x＝3，
∴点P（3， ）
∵在此抛物线上有且只有三个P点使得△PAB的面积是定值S，
∴另两个点所在直线与AB，PC都平行，且与AB的距离等于PC与AB的距离，
∴DE＝CD＝ ，
∴点E（2，﹣ ），
设P'E的解析式为y＝﹣x+m，
∴﹣ ＝﹣2+m，
∴m＝
∴P'E的解析式为y＝﹣x+ ，
∴﹣ x2+2x+6＝﹣x+ ，
∴x＝3±3 ，
∴点P'（3+3 ，﹣ ﹣3 ），P''（3﹣3 ，﹣ +3 ），
∴S＝ ×6×（ ﹣3）＝ ．
7．如图，直线 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 经过 B、C 两点．
（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B，C 两点重合），△BEC 面积记为 S，当 S 取何值时，
对应的点 E 有且只有三个？
【答案】（1） ；（2）3
【解析】
【分析】
（1）先利用一次函数解析式确定B（0，3），C（4，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）由于E点在直线BC的下方的抛物线上时，存在两个对应的E点满足△BEC面积为S，则当E点在直线
BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，所以过E点的直线与抛物线只有一
个公共点，设此时直线解析式为 ，利用方程组 只有一组解求出b得到E点
坐标，然后计算此时S ．
BEC
△
【详解】
（1）当x=0时，y=- x+3=3，则B（0，3），
当y=0时，- x+3=0，解得x=4，则C（4，0），
把B（0，3），C（4，0）代入y=ax2+ x+c得 ，
所以抛物线解析式为 ；（2）当E点在直线BC的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E点满足△BEC面积为S，
所以当E点在直线BC的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E点满足△BEC面积为S，
即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点，
设此时直线解析式为 ，
方程组 只有一组解，
方程 有两个相等的实数解，
则△=122-4×3×（-24+8b）=0，解得b= ，解方程得x =x =2，
1 2
E点坐标为（2，3），
此时 ，
所以当S=1时，对应的点E有且只有三个．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的
条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，
用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；
当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
8．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是抛物线上的一动点(不与 ， 两点重合)，当 时，求点 的坐标；
（3）若点 是抛物线上的一动点，当 为什么取值范围时，对应的点 有且只有两个？【答案】（1） ；（2） ， ，
， ；（3）当 时，对应的点 有且只有两个．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）过点 作 轴的垂线交 于点 ，设点 ，点 ，根据
， ，列出方程，即可求解；
（3）当 点在直线 的下方的抛物线上时，一定有两个对应的 点满足 面积为 ，当 点在直
线 的上方的抛物线上时，无 点满足 面积为 才符合题意，故只需要求出当点 在直线 的
上方时， 的最大值，即可得到结论 ．
【详解】
（1）∵直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
∴ ， ，
将 ， 代入 ，
可得 ，解得 ，∴ ；
（2）如图，过点 作 轴的垂线交 于点 ，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ， ， ， ，
将 ， ， ， 代入抛物线解析式，可得： ， ， ， ，
∴ ， ， ， ；
（3）当点F在直线BC上方的抛物线上时，设点 ，
由（2）同理可得： ，
∴当 时， 的最大值为 ，
∴当 ＞ 时，在直线BC的上方的抛物线上无法找到 点，
综上所述：当 时，对应的点 有且只有两个．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法，函数图像上的点的坐标特征以及三角形的面积=铅垂高 水平宽，是解题的关键．
×
类型拓展3 综合运用
9．综合与实践
如图，二次函数 的图象与 轴交于点 和 ，点 的坐标是 ，与 轴交于点 ，
点 在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，当点 在第四象限的抛物线上运动时，连接 ， ， ，当 的面积最大时，求点
的坐标及 的最大面积；
(1)
解：点 和点 代入二次函数 ，
得：
解得 ．
∴抛物线的表达式是 ．
(2)
解：如图，连接 ，过点 作 轴，作 轴．设点 的坐标是 ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴
．
∵ ，
∴当 时， 的面积最大且为6．
当 时， ．
∴点 的坐标是 ， 的最大面积是6．10．如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，且点 与点 的坐标分别
为 ，点 是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点 为线段 上一个动点，过点 作 轴于点 ，若 ， 的面积为 ，求 与 的函
数关系式，并求当 取得最大值时，点 的坐标；
(1)
解：将点B（3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，
得 ；解得 ，
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；
(2)
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线BM的解析式为y=kx+b，
将点B（3，0），M（1，4）代入，得 ，
解得 ，
∴直线BM的解析式为y=-2x+6，
∵PD⊥x轴且OD=m，
∴P（m，-2m+6），
∴S=S PCD= PD•OD= m（-2m+6）=-m2+3m，
△
即S=-m2+3m，
∵当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，
∴1≤m<3，
∵S=-m2+3m=-（m- ）2+ ，
∵-1＞0，
∴当m= 时，S取最大值 ；此时点P的坐标为 .
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为 ，与 轴交于点 与 轴交于点 、
，且点 ， ，过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，点 为抛物线上的点，且在 的
上方，作 平行于 轴交 于点 ．
(1)求二次函数的解析式；(2)当点 在何位置时，四边形 的面积最大？并求出最大面积；
(1)
解： 抛物线 的对称轴为 ，
∴ ，
，
抛物线解析式为 ，
点 ， ，
，
，
二次函数的解析式为 ；
(2)
解： 轴，点 ，
当 时， ，
， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
， ，
由点 、 的坐标得，直线 的解析式为 ；
设 ，
，
，
，∴
当 时，四边形 的面积最大，
即点 ， 时，四边形 的面积最大为 ；
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B
的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形
APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．
【答案】（1）y＝－x2－3x＋4， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法将B（1，0），C（0，4）代入二次函数y＝﹣x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式，
令y＝0，可求出A点坐标，然后设直线AD的解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法将A点坐标和D点坐标
代入y＝kx＋b即可求出直线AD的解析式；
（2）连接PD，作PG y轴交AD于点G，根据题意设出点P和点G的坐标，然后表示出线段PG的长度，
进而根据 表示出平行四边形APED的面积，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）将B（1，0），C（0，4）代入y＝－x2＋bx＋c中，得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4
在y＝－x2－3x＋4中，
令y＝0，即 ，解得x＝－4，x＝1，
1 2
∴A（－4，0）．
设直线AD的解析式为y＝kx＋b'．
∵D（0，2），
∴ ，
解得：
∴直线AD的解析式为 ．
（2）连接PD，作PG y轴交AD于点G，如图所示．
设P（t，－t2－3t＋4）（－4＜t＜0），则G（t， ），
∴ ，
∴ ，
．
∵－4＜0，－4＜t＜0，
∴当 时，S有最大值 ．【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数中有关面积的综合题，解题的关键是熟练
掌握待定系数法求函数表达式，根据题意设出点的坐标表示出平行四边形APED的面积．
