文档内容
专题 10 勾股定理之大树折断模型综合应用（2 大类
型）
解题思路
“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有
竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，
一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的
竹子高度为多少尺?（1丈=10尺）
【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角
边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.
【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.
【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺.
由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 4.55.
答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺
此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与
其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，
求出答案.【典例分析】
【典例1】如图，一棵大树在离地面 9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC
的12米处，则大树断裂之前的高度为（ ）
A．9米 B．15米 C．21米 D．24米
【答案】D
【解答】解：由题意得 BC＝9，在直角三角形 ABC中，根据勾股定理得：
AB＝ ＝15米．
所以大树的高度是15+9＝24米．
故选：D．
【变式1-1】（秋•印江县期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5米
处折断倒下，倒下部分与地面成 30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（
）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，BC＝5米，
∴AB＝2CB＝10米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米．
故选：B．
【变式1-2】（春•江岸区期末）小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水
深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成 60°夹角，
测得AB长1m，则荷花处水深OA为（ ）A．1m B．2m C．3m D． m
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1m，
则OA＝ m．
故选：D．
【典例2】如图，受台风影响，一棵高6m的大树折断，树的顶部落在离树根底
部2m处，这棵树折断后有多高？
【解答】解：如图：
∵AC＝2米，AB+BC＝6米，
∴设AB＝x米，则BC＝（6﹣x）米，
∵∠A＝90°
∴AB2+AC2＝BC2
∴x2+22＝（6﹣x）2
∴AB＝x＝ 米
答：这棵树折断后有 米．【变式2-1】（2022秋•辉县市校级期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震
中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断
的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）
A．20米 B．18米 C．16米 D．15米
【答案】B
【解答】解：设大树在折断之前的高是xm，
由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，
解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴大树在折断之前的高是18m；
故选：B．
【变式2-2】（春•凉州区校级月考）池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花
高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水
面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（ ）
A．3.75尺 B．3.25尺 C．4.25尺 D．3.5尺
【答案】A
【解答】解：若设池塘深 x尺．则红莲的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，
根据勾股定理，
得：（x+0.5）2＝x2+22，
解之得：x＝3.75
故选：A．
【夯实基础】
1．（2021春•鄯善县期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 3m处折
断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 m．【答案】8
【解答】解：由勾股定理得，断下的部分为 ＝5米，折断前为5+3＝
8米．
2．（秋•渠县校级期末）受台风影响，路边一棵大树在离地面6米处断裂（但
未分离），大树顶落在离大树底部8米处，则大树折断之前高有 米．
【答案】16
【解答】解：如图所示AB＝ ＝10米，则树高为6+10＝16米．
3．受台风影响，一棵高18m的大树折断树顶部落在离树根底部 6m处，这棵树
折断后的高度为 ．
【答案】 8 米
【解答】解：如图：
∵AC＝6米，AB+BC＝18米，
∴设AB＝x米，则BC＝（18﹣x）米，
∵∠A＝90°
∴AB2+AC2＝BC2
∴x2+62＝（18﹣x）2
∴AB＝x＝8米
故答案为：8米．4．（春•临海市期末）如图，一棵高为 9m的大树折断后，大树顶端恰好落在
离底端3m处，则折断处离地面的高度是 m．
【答案】4
【解答】解：设大树折断处离地面xm，则斜边为（9﹣x）m，
根据勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2
解得：x＝4．
故答案是：4．
5．（2020秋•凤翔县期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 9
米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断之前高多少？
【解答】解：由勾股定理得：92+122＝225＝152，
所以折断部分为15米，
大树高为：15+9＝24米，
答：大树折断前高为24米．
6．（2019春•北流市期中）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面 5m处折
断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，则这棵大树在折断前
的高度为多少？
【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且
BC＝5m，AB＝12m，∴AC＝ ＝ ＝13（m）．
∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝5+13＝18（m）．
答：这棵大树在折断前的高度为18m．
7．（秋•泌阳县期末）如图，小明的家D距离大树底部A是9米，一次台风过
后，大树在离地面3米的点B处折断，顶端着地处点C在AD上，又知BC恰
好等于CD．
（1）请用直尺和圆规作出点C的位置（保留作图痕迹，不必写作法）；
（2）求大树折断前高度．
【解答】解：（1）如图所示，点C即为所求；
（2）依题意有：
BC2＝AC2+AB2，即BC2＝（9﹣BC）2+32，
解得BC＝5，
故大树的高＝BC+AB＝5+3＝8米．
8．（秋•绍兴期中）受台风“云娜”影响，一千年古樟在离地面6米处断裂，
大树顶部落在离大树底部8米处，损失惨重，问大树折断之前有多高？【解答】解：如图；
在Rt△ABC中，AB＝6米，BC＝8米；
由勾股定理，得：AC＝ ＝ ＝10米；
∴AC+AB＝10+6＝16米；
即大树折断之前有16米高．
9．（2021春•永吉县期中）一棵高 12m的大树被折断，折断处 A距地面4.5m
（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距
大树底部C的距离为6.5m，倒下的大树会砸到小轿车吗？通过计算说明理由．
【解答】解：倒下的大树不会砸到小轿车，
理由是：
在Rt△ABC中，
∵AC＝4.5m，AB＝12﹣4.5＝7.5（m），
∴BC＝ ＝ ＝6（m）．
又∵6＜6.5，∴倒下的大树不会砸到小轿车．
10．（2022春•威县期末）如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为 16
米的大树被折断，树的顶部落在离树根 8米处，即BC＝8，求这棵树在离地
面多高处被折断（即求AC的长度）？
【解答】解：∵AC+AB＝16米，
∴AB＝（16﹣AC）米，
∵BC＝8米，∠ACB＝90°，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+82＝（16﹣AC）2，
解得AC＝6，
即这棵树在离地面6米处被折断．
11．（2021春•安陆市期中）强台风过境时，斜坡上一棵 6m高的大树被刮断，
已知斜坡中 ＝30°，大树顶端A与底部C之间为2m，求这棵大树的折断处
与底部的距离BC？
α
【解答】解：作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝2，∠CAH＝30°
∴CH＝1，AH＝ ，
设BC＝x，则BH＝x﹣1，AB＝6﹣x，在Rt△ABH中，（6﹣x）2﹣（x﹣1）2＝（ ）2
解得：x＝3.2m
答：这棵大树的折断处与底部的距离BC为3.2m．
12．（2020秋•新城区校级月考）如图，一棵大树在离地面 3米，5米两处折成
三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部 6米处，求
大树折断前的高度．
【解答】解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝ ＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m）．
【能力提升】
13．（2022秋•南阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC
＝6cm，若动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设运动时间为t（t＞0）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置
时，t的值为 ．
【答案】 或 1 9
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
则由勾股定理得到：AC＝ ＝ ＝8（cm）
当点P在AC上时，
设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝tcm，PC＝（8﹣t）cm，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（8﹣t）2+62＝t2，
解得：t＝ ，
∴当t＝ 时，PA＝PB；
当点P在AB上时，
此时AC+BC+BP＝8+6+5＝19cm，
∴当t＝19时，PA＝PB；
故答案为： 或19．
