文档内容
第 01 讲 相交线（6 个知识点+6 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
知识点2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，
互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角
都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
知识点3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一
条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
知识点4．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是
相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线
段最短”这两个中去选择．
知识点5．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点6．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且
在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且
在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并
且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中
的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角
必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直
线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
知识复习
题型一．相交线（共6小题）
1．（2023春•攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为
A．0个或1个 B．1个或2个
C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
2．（2023春•遵化市期中）任意画三条不重合的直线，交点的个数是
A．1 B．1或3 C．0或1或2或3 D．不能确定
3．（2023•兴庆区校级开学）如图，从点 到点 有3条路，其中走 最近，其数学依
据是
A．经过两点有且只有一条直线
B．两条直线相交只有一个交点
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．直线比曲线短
4．（2023春•澄迈县期末）平面上画三条直线，交点的个数最多有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．（2023春•金乡县月考）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两
两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点； 条直线两两相交，最
多有 个交点．
6．（2023春•佛山月考）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多
有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点．题型二．对顶角、邻补角（共11小题）
7．（2023 秋•秦安县校级期末）如图， ， 交于点 ， ，若
，则 为
A． B． C． D．
8．（2023秋•鹤壁期末）如图所示，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF
平分∠COB，∠BOE＝36°，则∠AOF的度数为（ ）
A．54° B．126° C．36° D．90°
9．（2023春•梁山县期末）下列图形中 和 是对顶角的是
A．B．
C．
D．
10．（2022秋•江阴市期末）如图，直线 、 相交于点 ， ， ，
则 ．
11．（2023春•临沂期中）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 ，用它
测量角的原理是 ．
12．（2023秋•溧阳市期末）下列说法中，其中正确的个数是
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角是对顶角；
③棱柱的上、下底面的形状相同；
④两点之间的距离是两点间的线段．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个13．（2023春•涵江区期中）下列四个图形中， 和 是对顶角的是
A． B．
C． D．
14．（2023春•铁西区期末）下列图形中， 和 是邻补角的是
A． B．
C． D．
15．（2023春•龙岗区校级月考）如图，直线 和直线 相交于点 ，若 ，
则 的度数是 ．
16．（2023 春•富川县期末）如图，直线 、 相交于 ， ，
．
（1）求 的度数；
（2）试说明 平分 ．
17．（2023春•黑山县期中）如图，直线 ， 相交于点 ， ．
（1）写出 的所有余角；（2）若 ，求 的度数．
题型三．垂线（共8小题）
18．（2023 秋•连云港期末）如图，射线 、 在 内， ， 平分
，下列说法正确的是
A． 与 互余 B． 与 互余
C． D．图中共有5个不同的角
19．（2023•渝中区校级开学）下列说法中正确的是
A．相等的角是对顶角
B．两点之间直线最短
C．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
20．（2024•垫江县开学）如图，直线AB和CD相交于O，OE⊥CD于点O，∠BOE＝
2∠BOD，则∠AOC的度数为 ．
21．（2023春•路桥区期中）如图，已知直线 、 相交于点 ， ，点 为垂
足， 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；（2）若 ，求 的度数．
22．（2023春•东莞市期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ，垂足为 ，
．
（1）求 的度数；
（2）若 平分 ，求 的度数．
23．（2023春•桐城市期末）如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 ．
（1）若 ，则 （用含 的式子表示）
（2）若 ， ，则 ．
24．（2023 秋•丹阳市期末）如图，直线 、 相交于点 ， 平分 ，
，垂足为点 ．
（1）图中与 互补的角是 ；
（2） 与 相等吗？请说明理由；
（3）若 ，求 和 的度数．25．（2022秋•太仓市期末）如图，直线 与 相交于点 ， ， ．
（1）如图中与 互补的角是 ；（把符合条件的角都写出来）
（2）若 ，求 的度数．
题型四．垂线段最短（共9小题）
26．（2023秋•榆树市校级期末）下列四个已学的几何知识中，不属于基本事实的是（
）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
27．（2023春•鄂城区期中）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田 处，农民李伯伯
的做法是：过点 作 垂直于河岸 ，垂足为 ，沿 开挖水渠距离最短，其中的数
学道理是 ．
28．（2023秋•衡阳期末）如图，点P到直线公路MN共有四条路，若用相同速度行走，
从点P到公路最快到达的路径是 ．29．（2023春•邵阳期末）如图，要在河岸 上建一个水泵房 ，修建引水渠到村庄 处
施工人员的做法是：过点 作 于点 ，将水泵房建在了 处．这样修建引水渠
最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 ．
30．（2023春•番禺区期末）如图， 是河岸 外一点．
（1）过点 修一条与河岸 平行的绿化带（绿化带用直线 表示），请画图表示；
（2）现用水管从河岸 将水引到 处，问：从河岸 上的何处开口，才使所用的水管
最短？画图表示，并说明设计的理由．
31．（2023春•海州区期末）如图，在 中， ，首先以顶点 为圆心，适
当长为半径作弧，在边 、 上截取 、 ；然后分别以点 、 为圆心，大于
为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点 ．若 ，
为边 上一动点，则 的最小值为
A．2 B．4 C．8 D．无法确定32．（2023•长春模拟）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是
A． 测量跳远成绩
B． 木板上弹墨线
C． 两钉子固定木条
D． 弯曲河道改直
33．（2023春•武平县期末）如图，点 在射线 上，点 在线段 上， 平分
， ．
（1）当 时，求 ；
（2）点 是线段 上一点，点 是线段 上一点，连接 ， ．若 为 的
角平分线， ， ，探究直线 上是否存在一点 ，
使得 ．
34．（2023春•赵县月考）如图，已知：点 、点 及直线 ．（1）请画出从点 到直线 的最短路线，并写出画图的依据．
（2）请在直线 上确定一点 ，使点 到点 与点 到点 的距离之和最短，并写出
画图的依据．
题型五．点到直线的距离（共5小题）
35．（2023春•前郭县期中）如图，已知 ， ，其中 ， ，
， ，那么点 到 的距离是 ．
36．（2023春•攸县期末）如图， ， 于 ， ， ， ，
，则点 到直线 的距离是 ．
37．（2023春•中山市期中）如图，点 在 上，点 在 上，且 ，垂足为
点 ．下列说法：
① 的长是点 到 的距离；
② 的长是点 到 的距离；
③ 的长是点 到点 的距离；
④ 的长是点 到点 的距离．
其中正确的是 （填序号即可）．38．（2023春•宁远县期末）如图，三角形 中， ， ，则点 到直
线 的距离是线段 的长度．
39．（2023春•馆陶县期中）如图，将一块直角三角板 的直角顶点 放在直线 上．
（1）若线段 的长是点 到直线 的距离，则点 在直线 （填“上”或
“外” ．
（2）比较 与 的大小，并说明理由．
题型六．同位角、内错角、同旁内角（共5小题）
40．（2023春•历城区校级月考）如图所示，图中用数字标出的角中， 的内错角是
．
41．（2023春•韩城市期末）如图，给出以下结论：
① 与 是对顶角；
② 与 是同旁内角；
③ 与 是同位角；
④ 与 是内错角．
其中正确的是 ．（填序号）42．（2023春•贵州期中）如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变
弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方
向发生了改变．
（1）请指出与 是同旁内角的有哪些角？请指出与 是内错角的有哪些角？
（2）若 ，测得 ，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折
弯了多少度？请说明理由．
43．（2023春•蒲城县期中）如图，已知直线 与 交于点 ，与 交于点 ，
平分 ，若 ， ．
（1）求 的度数；
（2）写出一个与 互为同位角的角；
（3）求 的度数．
44．（2023春•昌平区期末）如图1，对于两条直线 ， 被第三条直线 所截的同旁内角
， 满足 ，则称 是 的关联角．（1）已知 是 的关联角．
①当 时， ；
②当 时，直线 ， 的位置关系为 ；
（2）如图2，已知 是 的关联角，点 是直线 上一定点．
①求证： 是 的关联角；
②过点 的直线 分别交直线 ， 于点 ， ，且 ．当 是图中
某角的关联角时，写出所有符合条件的 的度数为 ．
强化训练
一、单选题
1．（2023下·山东济南·七年级统考期中）如图， 和 是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与 构成同位角的是（ ）A． B． C． D．
3．（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l
上，且 于点B， ，则下列结论中正确的是（ ）
①线段 的长度是点P到直线l的距离；②线段 是A点到直线 的距离；③在
三条线段中， 最短；④线段 的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
4．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图， 从小到大的顺序为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023下·七年级单元测试）根据语句“直线 与直线 相交，点 在直线 上，直线
不经过点 ．”画出的图形是（ ）
A． B．C． D．
6．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的
点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．（2023下·河南周口·七年级期中）如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·江苏扬州·七年级统考期末）如图， 于点 平分 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·天津宝坻·七年级校考阶段练习）如图，直线 、 相交于点 ，射线
平分 ，若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
10．（2019下·七年级单元测试）平面内三条直线的交点个数可能有（ ）
A． 个或 个
B． 个或 个
C． 个或 个或 个
D． 个或 个或 个或 个
二、填空题
11．（2023下·江西新余·七年级新余四中校考期中）如图，直线 ， ， 相交于点
，则 的邻补角有 个．
12．（2023下·广东中山·七年级统考期中）如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播
方向发生了改变，这就是折射现象．图中 与 是不是对顶角？ ．（填“是”或
“不是”）
13．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，已知 于 ， 于 ， ，
， ， ， ．则：（1）点A到直线 的距离为 ；
（2）点A到直线 的距离为 ；
（3）点 到直线 的距离为 ；
（4）点 到直线 的距离为 ；
（5）点 到直线 的距离为 ．
14．（2023下·广东东莞·七年级东莞市石碣袁崇焕中学校考阶段练习）如图，想在河堤两
岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是 ，理由是 ．
15．（2023下·全国·七年级专题练习）观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这
样的十条直线相交最多的交点个数有 ．
16．（2023上·浙江·七年级专题练习）七巧板起源于宋代的“燕几图”，因其变化之式多
至千余，体物肖形，随手变幻，故世俗皆喜为之．数学活动小组用正方形纸片制作成图1
的七巧板，设计拼成图2的“花样滑冰”．现测得图1正方形纸片的对角线长为4，图2中
，则“花样滑冰”图案中，点A到 的距离为 ．17．（2023下·河南焦作·七年级校考阶段练习）如图，有下列说法：①能与 构成同
旁内角的角的个数有2个，②能与 构成同位角的角的个数有2个；③能与 构成
同旁内角的角的个数有4个。其中正确结论的序号是 .
18．（2012下·七年级课时练习）如图，已知直线 ， 相交于O， 平分 ，
，则 ．
三、解答题
19．（2023下·新疆阿勒泰·七年级校考期中）如图， ， ，垂足为 ，
经过点 ．求 、 的度数．20．（2023下·湖北孝感·七年级校考期中）如图，直线 相交于点O， 把
分成两部分．
(1)直接写出图中 的对顶角为 ， 的邻补角为 ．
(2)若 ，且 ．求 的度数．
21．（2023下·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考开学考试）如图，点A、B、C、D在
正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1．按下述要求画图并回答问题：
(1)作射线 ，连接 ；(2)连结 ，并延长线段 到点 ，使 ，连结 ；
(3)过点 作直线 交射线 于点 ；
(4)过点 作线段 ，垂足为 ；
(5) 的面积为__________．
22．（2023下·广东湛江·七年级校考期中）如图，已知 ， 相交于点 ， 于
点 ， ，求 的度数．
23．（2023下·广东河源·七年级校考阶段练习）如图，直线 ， ， 相交于点 ．
(1)写出 的邻补角．
(2)写出 ， 的对顶角．
(3)如果 ，求 ， 的度数．24．（2023下·广东清远·七年级统考期中）如图，直线 相交于点O， ，垂
足为O．
(1)图中 的补角是____________________， 的对顶角是___________；
(2)若 ，求 的度数．
25．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）按下述要求画图，并回答问题：
（1）作射线 ；
（2）延长线段 至点D，使 ；
（3）作 的垂线 ，垂足为点E；
（4）测量点C到 的距离，结果是_________厘米．
（测量结果以答题卡图形为准，精确到0.1厘米）26．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是
的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．
(1)过点P画 的垂线，交 于点E；过点P画 的垂线，垂足为F；
(2)线段 的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所
以线段 这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
