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2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷
专题10 工程与数字问题（二元一次方程组的应用）
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
评卷人 得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习） 台大收割机和 台小收割机同时工作 h共收割水稻
， 台大收割机和 台小收割机同时工作 h共收割水稻 ，设 台大收割机和 台小收割机每小时
收割水稻分别是 公顷、 公顷，则下列列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路点拨】首先设 台大收割机和 台小收割机每小时收割水稻分别是 公顷、 公顷，再根据“ 台大
收割机和 台小收割机同时工作 h共收割水稻 ”，得到 ；再根据“ 台大收割机和
台小收割机同时工作 h共收割水稻 ”，得到 ．联立方程组，即可得到正确的选项．
【规范解答】 台大收割机和 台小收割机每小时收割水稻分别是 公顷、 公顷，
根据题意得： ．
故选：D．
【考点评析】本题考查二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在理解题意，并列出二元一次方程
组．
2．(本题2分)（2023春·浙江·七年级专题练习）小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一
起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙
一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张 若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到
2100张？（ ）
A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43
【答案】C
【思路点拨】设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，根据“10：00时使用甲印制，10：
05才开始使用乙一起印制，到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计
为2100张”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用所需时间=需要印
制的总张数 甲、乙两影印机的工作效率之和，即可求出结论．
【规范解答】解：设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，
依题意得： ，
解得： ，
，
依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在10：42达到2100张．
故选：C．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．(本题2分)（2022秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到
的里程碑上的数描述如下：
时刻 12：00 13：00 14：00
十位数字和个位数
是一个两位数，数 比12：00看到的两
里程碑上的数 字与12：00时看到
字之和为7 位数中间多了个0
的刚好相反
则12：00时看到的两位数是（ ）A．16 B．25 C．34 D．52
【答案】A
【思路点拨】设小明12：00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据车的速度不变和12:00时看到
的两位数字之和为7，即可列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【规范解答】设小明12:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得： ，
解得： ，
∴12：00时看到的两位数是16．
故选：A．
【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握里程碑上的数的表示是解题的关键．
4．(本题2分)（2022秋·七年级课时练习）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、
c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（
）
A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：2
【答案】D
【思路点拨】将两式相减可得 ，从而判断C；然后求出 ，从而判断A、B和D．
【规范解答】解：由题意可得：
①－②，得
解得： ，故C错误；
将 代入①，得
解得：
∴b＞c＞a
∴乙的工作效率最高，故A、B错误；
b：c=3a：2a=3：2，故D正确．
故选D．
【考点评析】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的各个量之间的关系和消元法是解决
此题的关键．
5．(本题2分)（2020春·广东湛江·七年级校考阶段练习）一个两位数，数字之和为11，若原数加45，
等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意，列出方程组
为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】关键描述语是：数字之和为11；原数加45，等于此两位数字交换位置．
等量关系：个位数字+十位数字=11；十位数字×10+个位数字+45=个位数字×10+十位数字．
根据这两个等量关系，可列方程组．
【规范解答】设原数十位数字为x，个位数字为y．
根据题意列出方程组为 ．
故选：C．
【考点评析】此题考查二元一次方程的应用，解题关键在于需注意两位数的表示方法为：十位数字
×10+个位数字．
6．(本题2分)（2023秋·山西太原·八年级校考期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和
是7，若十位上的数字与个位上的数字对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是（
）
A．43 B．34 C．25 D．52
【答案】A
【思路点拨】设原来的两位数个位上数字为x，十位上数字是y，根据“十位上的数字与个位上的数字的和
是7”，“现在的两位数与原来的两位数的差是9”列方程组求解即可．
【规范解答】解：设原来的两位数个位上数字为x，十位上数字是y，则
解得
即原来的两位数为34，现在的两位数为43．
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题的能力，关键要注意用数位上的数字表示
两位数的方法．7．(本题2分)（2020秋·山东枣庄·八年级统考期末）一个两位数，减去它的各位数之和的3倍，结果
是13，这个两位数除以它的各位数之和，商是4，余数是6，则这个两位数是（ ）
A．56 B．45 C．41 D．34
【答案】D
【思路点拨】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，再根据等量关系列
出方程组，求解即可．
【规范解答】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：
则这个两位数为 解得 ．
所以这个两位数数34
故选：D．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程组，再求解．
8．(本题2分)（2019秋·八年级课时练习）有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，
其十位数字比个位数字小2.设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，则列出的方程组为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】由其值等于十位数字与个位数字之和的4倍可列方程： ，由十位数字比个位
数字小2可列方程： ，问题得解.
【规范解答】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
则由题意可得： ，
故选B.
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，掌握两位数的表示方法，列出方程组是解题
的关键．
9．(本题2分)（2019春·浙江·七年级统考阶段练习）小明的外婆送来满满一篮鸡蛋，这只篮子最多只
能装55只鸡蛋，小明3只一数，结果剩下1只，但忘了数了多少次，只好重数，他5只一数剩下2只，可又忘了数了多少次.他准备再数时，妈妈笑着说“不用数了，共有（ ）只.
A．54 B．52 C．48 D．50
【答案】B
【思路点拨】设小明第一次数了x次，第二次数了y次，根据鸡蛋的总数相等建立方程求出其解就可以了．
【规范解答】设小明第一次数了x次，第二次数了y次，由题意，得
3x+1=5y+2，
移项：3x=5y+1，
x= ，
3x+1≤55，5y+2≤55，
∴x≤18，y≤10.6，
∵x＞0，y＞0，且x、y为整数，且5y+1是3的倍数，
∴5y+1=6，9，12，15，18…，
y=1，4，7，10，13…，
∴y =10，
最大
∵篮子是装满的，并且最多只能装55只，
∴（5y+2）中，y的值只能取y=10，
∴篮子的鸡蛋数量为：5×10+2=52（只）．
故选B.
【考点评析】此题考查二元一次方程的应用，不定方程的解法的运用，解题关键在于找准等量关系建立方
程．
10．(本题2分)（2021春·陕西渭南·七年级统考期末）如图1是2021年3月份的月历，小军同学用“
”字形框在月历上框出四个数字，将该“ ”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若
四个日期如图2所示，则下列关于 ， 的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【思路点拨】根据日历上的数字之间的关系列方程组： ，再解方程组，再分别检验四个
选项即可得到答案．
【规范解答】解：由题意得：
由②得：
把 代入①得：
故 不符合题意；
故 不符合题意；
故 符合题意，
故 不符合题意；
故选：
【考点评析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法，掌握利用二元一次方程组解
决日历问题是解题的关键．
评卷人 得分
二、填空题(共20分)
11．(本题2分)（2022秋·山东烟台·六年级统考期末）一个两位数，把其十位数字与个位数字交换位置
后，所得的数比原数多9，这样的两位数的个数有___________个．
【答案】8
【思路点拨】等量关系为：新两位数-原两位数=9，把相关数值代入求小于10的自然数解即可．
【规范解答】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，
，
，，即 （原两位数的个位数字y比十位数字x要大1，）
∴这样的两位数为12，23，34，45，56，67，78，89共8个，
故答案为：8．
【考点评析】考查二元一次方程的应用，得到新数和原数的等量关系是解决本题的关键．
12．(本题2分)（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写
了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341．若设一个加数为 ，
另一个加数为 ，则根据题意，可列方程组为_____．
【答案】
【思路点拨】根据题意可得：第一个加数 第二个加数 ，第一个加数 第二个加数 ，根
据等量关系列出方程组即可．
【规范解答】解：设一个加数为 ，另一个加数为 ，由题意得：
，
故答案为： ．
【考点评析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找准等量关系是解题的关键．
13．(本题2分)（2023春·浙江·七年级专题练习）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，太原市正
在修建贯穿迎泽和武宿两个市级中心以及太原站、太原南站的地铁 ， 号线．已知修建地铁 号线
和 号线 共需投资 亿元．根据地质情况及技术难度测算， 号线每千米的平均造价比 号线每千
米的平均造价多 亿元．设 号线每千米的平均造价是 亿元， 号线每千米的平均造价是 亿元，则可
列二元一次方程组为_____________．
【答案】
【思路点拨】根据题意“修建地铁 号线 和 号线 共需投资 亿元”和“ 号线每千米的平均造价比 号线每千米的平均造价多 亿元”即可列出方程组
【规范解答】由题意“修建地铁 号线 和 号线 共需投资 亿元”和“ 号线每千米的平均造
价比 号线每千米的平均造价多 亿元”可得：
故答案为：
【考点评析】本题考查列二元一次方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键.
14．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）甲、乙两队筑一条路，甲队每天筑 千米，乙队每天筑 千
米，甲队筑5天和乙队筑4天共完成110千米，甲队筑3天的路正好是乙队筑2天的路，可列方程组
________．
【答案】
【思路点拨】根据题意列出二元一次方程组即可；
【规范解答】由题意可得： ；
故答案是 ．
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
15．(本题2分)（2022·全国·九年级专题练习）永川区某工程公司积极参与“三城同创”建设，该工程
公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了三城的A工程、B工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工
作效率下降30%；乙工程队晴天需15天完成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时
完工，两个工程队各工作了______天.
【答案】17
【思路点拨】设晴天工作x天，雨天工作y天，根据题意列出二元一次方程组求解即可.
【规范解答】解：设晴天工作x天，雨天工作y天，
根据题意得： ,解得： ,
∴两个工程队各工作了x+y=17天，
故答案为17.
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够找到等量关系列出二元一次方程组是解题关键.
16．(本题2分)（2022秋·安徽淮南·七年级校联考期末）某工程队承包了某段全长1800米的过江隧道
施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进，已知甲组比乙组平均每天多掘进2米，经过5天
施工，两组共掘进了60米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原
来多掘进2米，乙组平均每天能比原来多掘进1米，按此施工进度，能够比原来少用______天完成任务．
【答案】29
【思路点拨】根据工作时间=工作总量÷工作效率，分别求出按原来施工进程及改进施工技术后完成剩余
工程所需时间，作差后即可得出结论；
【规范解答】解：
设甲班组平均每天掘进x米，乙班组平均每天掘进y米，
根据题意得： ，
解得： ，
按原来的施工进程需要的时间为(1800−60)÷(7+5)＝145（天），
改进施工技术后还需要的时间为(1800−60)÷(7+2+5+1)＝116（天），
节省时间为145−116＝29（天）．
故答案为：29.
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键.
17．(本题2分)（2018春·山东泰安·七年级统考期末）某公司要将一批货物运往某地，打算租用某汽车
运输公司的甲.乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表所示；
第一次 第二次
甲种货车辆数/辆 2 5
乙种货车辆数/辆 3 6
累计运货量/吨 15.5 35现打算租用该公司4辆甲种货车和6辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物.如果每吨运费为50元，该公
司应付运费________元.
【答案】1550
【规范解答】分析：
首先根据表格中所提供的信息通过列二元一次方程组求出两种货车每次的载重吨数，再根据题中所给数据
列式计算即可.
详解：
设每辆甲种货车一次可运载x吨，每辆乙种货车一次可运载y吨，根据表中信息可得：
，解得： ，
∴每辆甲种货车一次可运载货物4吨，每辆乙种货车一次可得运载货物2.5吨，
∴4辆甲种货车和6辆乙种货车一次可运载货物：4×4+2.5×6=31（吨），
∵每吨货物的运费为50元，
∴该公司应付运费：50×31=1550（元）.
故答案为：1550.
点睛：“读懂题意，根据表中所提供信息列出二元一次方程组解得两种货车每次的运载量”是解答本题的
关键.
18．(本题2分)（2019春·浙江·七年级统考阶段练习）秋天的一个周末，王明的同学去帮王明家收梨子，
上午大家全部摘梨，下午一半同学（包括王明）继续摘梨，一半同学把梨搬运到果园外的车上以备运走，
结果梨都摘完了，而需搬运的梨还留下一个人二天的工作量．如果每个人每搬运两筐梨的时间就能摘一筐
梨，那么王明和他的同学共__________人．
【答案】8
【思路点拨】根据题中总梨数相等及每搬运两筐梨的时间就能摘一筐梨可以列出两个方程，可以把人数、
一人一天摘的筐数、一人一天运的梨筐数设为未知数，列出方程组即可得解．
【规范解答】解：设王明和他同学共x人，一人一天摘的梨筐数为a，一人一天运的梨筐数为b，根据题意
得：
解得：x=8．故答案为:8.
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
19．(本题2分)（2023春·浙江·七年级专题练习）对于一个三位数 ， 如果 满足∶ 它的百位数字、
十位数字之和与个位数字的差等于 7 ， 那么称这个数 为 “幸福数”． 例如∶
是“幸福数”； 是“幸福数”；
不是“幸福数”． 若 将一个“幸福数” 的个位数的 2 倍放到十位， 原
来的百位数变成个位数， 原来的十位数 变成百位数， 得到一个新的三位数 (例如∶ 若 ， 则
)， 若 也是一个“幸福数”， 则满足条件的所有 的值______．
【答案】 或 ##654或362
【思路点拨】设一个“幸福数”m的个位数字是x，十位数字是y，则百位数字是 （x、y是非负整
数且 ， ），进而找出x与y的关系，从而解决本题．
【规范解答】解：设一个“幸福数”m的个位数字是x，十位数字是y，则百位数字是 （x、y是非
负整数且 ， ）．
∴t的个位数字是7+x-y，十位数字是2x，百位数字是y且 ， ，x与y是非负整数．
∴ ．
∵t是“幸福数”，
∴ ．
∴ ．
∴当 时， （ ，不合题意，舍去）；
当 时， （非整数，不合题意，舍去）；
当 时， ，则 ；
当 时， （非整数，不合题意，舍去）；
当 时， ，则 ．
综上： 或 ．
【考点评析】本题考查了新定义，二元一次方程的应用，熟练掌握运用方程的思想是解决本题的关键．
20．(本题2分)（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）一个三位数，百位上的数字是 ，如果把“”移到个位，其他两个数字及顺序均不变，所得的新三位数比原三位数的2倍少7，原来的三位数是____．
【答案】
【思路点拨】先设原来三位数的十位数字是a，个位数字是b，然后根据一个三位数的百位数是1，如果把
1移到最后，其他两位数顺序不变，所得的三位数比原三位数的2倍少7，可以列出相应的方程，然后即可
求得原来的三位数．
【规范解答】解：设原来三位数的十位数字是a，个位数字是b，
由题意可得，
化简，得 ，
∵a为正整数，b为非负整数，且a、b均小于 ，
∴ ，
∴原三位数是 ，
故答案为： ．
【考点评析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意a为正
整数，b为非负整数，且a、b均小于 ．
评卷人 得分
三、解答题(共60分)
21．(本题8分)（2021秋·重庆·七年级重庆市育才中学校考期中）对任意一个三位正整数m，如果各个
数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．
（1）最小的三位“美好数”是 ，最大的三位“美好数”是 ．
（2）求证：任意一个三位“美好数”都能被9整除．
（3）若一个三位“英好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，求满
足条件的三位“美好数”．
【答案】（1）189，990；（2）见解析；（3）
【思路点拨】（1）要使“美好数”最小，则百位须为1，然后根据各个数位上的数字之和为18，即可得；
要使“美好数”最大，则百位须为9，然后根据各个数位上的数字之和为18，即可得；
（2）设百位数为a，十位数为b，个位数为c，将这个数表示出来，进行等量代换，然后提取公因式即可
证明；
（3）由（2）及题意，列出方程组化简可得 ，根据a、b、c的取值范围，代入计算即可得．【规范解答】解：（1）要使“美好数”最小，则百位须为1，
∴ ，
∴个位数与十位数和为17，
∴个位数为9，十位数为8，
∴最小“美好数”为189；
要使“美好数”最大，则百位须为9，
∴ ，
∴个位数与十位数和为9，
∴十位数为9，个位数为0，
∴最大“美好数”为990；
（2）设百位数为a，十位数为b，个位数为c，
则该数为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴任意一个“美好数”都能被9整除；
（3）由（2）可得： ，
且 ，
根据题意可得： ，
∴ ，
整理可得： ，
， ， ，
∴当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
；
当 时， ，（舍去）
当 时，均不满足条件，
∴符合条件的三位“美好数”为954或837．【考点评析】题目主要考查有理数的表示、方程组求解，理解题意，列出方程组化简求值是解题关键．
22．(本题6分)（2023·全国·七年级专题练习）某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5
或运土3 ，那么该怎样分配挖土和运土的人数，使挖出土的土刚好及时运走？
【答案】有36人挖土，有60人运土，使挖出土的土刚好及时运走．
【思路点拨】设x人去挖土，y人运土，根据题意列出方程组求解即可．
【规范解答】解：设x人去挖土，y人运土，
根据题意得： ，
解得： ．
答：有36人挖土，有60人运土，使挖出土的土刚好及时运走．
【考点评析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．
23．(本题6分)（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村
路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的
二元一次方程组 ，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表
示的含义；
（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求甲、
乙两个工程队分别修建了多少天？
【答案】（1） ；p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间；（2）甲工程队
修建了12天，乙工程队修建了6天
【思路点拨】（1）由两队共用18天完成修路任务可得出p＋q＝18；利用工作总量＝工作效率×工作时间，
结合甲、乙两队的工作效率，可得出150p＋200q＝3000，且p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修
路时间；
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，根据两工程队接力18天完成3000m的修路任务，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入 和 中即可得出
结论．
【规范解答】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力完成修路任务，且共用18天完成，
∴p＋q＝18；
∵甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，18天共完成修建3000m的村路，
∴150p＋200q＝3000，
∴p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间．
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，
依题意得： ，
解得： ，
∴ ＝ ＝12， ＝ ＝6.
答：甲工程队修建了12天，乙工程队修建了6天．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．(本题8分)（2023春·浙江·七年级专题练习）某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完
成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成
(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？
(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？
【答案】(1)24
(2)125
【思路点拨】（1）根据题意设甲乙每天生产的数量为x、y，可得y= ，根据工作效率=工作量÷工作时
间，可得乙车间单独完成这批防护服需24天；
（2）根据甲乙车间工作效率关系可求．
【规范解答】（1）解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套，
则（15-5）x+（15-2-5）y=15x，
整理得10x+8y=15x，∴y= ，
∴15x = ，
答：乙车间单独完成这批防护服需24天．
（2）解： （套）
答：乙车间平均每天生产防护服125套．
【考点评析】本题考查了工程问题，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解题的关键．
25．(本题8分)（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，
众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车
与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方
案？请写出所有租车方案．
【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方
案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
【思路点拨】（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，根
据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500
件”列关于x,y的二元一次方程组求解即可；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，根据租用的两种货车一次可以满载运输3100件物质，列出关于
a,b的二元一次方程，结合a,b均为正整数，即可得出各租车方案．
【规范解答】（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资
由题意可得： ，解得：
答：1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．
（2）解：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得： ，
∴ ．又∵a,b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出
二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键．
26．(本题8分)（2022秋·全国·八年级专题练习）杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单
车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2
名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车
数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人 ，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，
已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
(2)m的值为12．
【思路点拨】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，
根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名
新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n，m的二元一次方程，再根
据n，m均为正整数且 ，即可求出m的值．【规范解答】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单
车，
根据题意得：
解得： ．
答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
（2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，
整理得： ，
∵n，m均为正整数，且 ，
∴ （舍）， （舍）， ，
∴m的值为12．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
27．(本题8分)（2023春·全国·七年级专题练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，
8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费
用3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，
你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元
(2)单独请乙组，商店所需费用少
(3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【思路点拨】（1）根据题意建立方程组并求解；
（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；
（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．【规范解答】（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．
（2）300×12＝3600（元），
140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，
∴单独请乙组，商店所需费用少．
（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；
选择②：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．
28．(本题8分)（2022秋·全国·八年级专题练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数
字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又
把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5
(2)第一次他们拼成的两位数为45(3)第二次拼成的两位数是54
【规范解答】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．
第一次拼成的两位数为 ，第二次拼成的两位数为 ．
根据题意得：
，
由②，得： ③，
得： ．
把 代入①得： ，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45．
（3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，
所以第二次拼成的两位数是54．
【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
