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专题 11.1 三角形的三边关系
【典例1】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理
由．
（3）将（2）中点P变为两个点P 、P 得图③，试观察比较四边形BP P C的周长与△ABC的周长的大小，
1 2 1 2
并说明理由．
【思路点拨】
（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，
（2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果，
（3）分别延长 BP 、CP 交于 M，再根据（2）中得出的 BM+CM＜AB+AC，可得出 BP +P P +P C＜
1 2 1 1 2 2
BM+CM＜AB+AC，即可得出结果．
【解题过程】
解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．
理由：如图②，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，
两式相加得BP+PC＜AB+AC，
于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长；
（3）四边形BP P C的周长＜△ABC的周长，
1 2
理由：如图③，分别延长BP 、CP 交于M，
1 2
由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P P ＜P M+P M，
1 2 1 2
可得，BP +P P +P C＜BM+CM＜AB+AC，
1 1 2 2
于是得：四边形BP P C的周长＜△ABC的周长．
1 2
1．（2021秋•博白县期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022春•东台市期中）为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA
＝12m，PB＝13m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．6m B．18m
C．26m D．20m
3．（2022春•秦淮区期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木
框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10
C．11 D．14
4．（2022春•江阴市期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为 28，AM是边BC上的中线，
△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2021秋•九龙坡区期末）已知a、b、c分别为△ABC的三边长，并满足|a﹣4|+（c﹣3）2＝0．若b为
奇数，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．8或10 C．10或12 D．8或10或12
6．（2021春•叶县期末）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为 3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买
一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
7．（2021秋•霍林郭勒市期末）满足下列条件的三条线段a、b、c能构成三角形的是（ ）
A．a：b：c＝1：2：3 B．a+b＝4，a+b+c＝9
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a：b：c＝1：1：2
8．（2021秋•建湖县期末）已知线段AB＝9cm，AC＝5cm，下面有四个说法：①线段BC长可能为4cm；
②线段BC长可能为14cm；③线段BC长不可能为3cm；④线段BC长可能为9cm．所有正确说法的序号是
（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
9．（2021秋•柯桥区月考）如图，∠MAB为锐角，AB＝10，点B到射线AM的距离为6，点C在射线AM
上，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．10．（2021春•庐山市期末）在一个三角形中，如果有一条边的长是另一条边长的2倍，且有两条边的和
是另一条边的2倍，那么我们就把这样的三角形叫2倍边三角形．如果一个2倍边三角形中有一条边长为
6，则这个三角形的另外两条边的和可以是 ．
{x−a＜0，
11．（2022•莱州市一模）已知关于x的不等式组 至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边
2x−1≥7
的三角形，则a的整数解有 个．
12．（2021春•南京月考）现有长为100cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每小段的长度为不小于1cm
的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为 ．
13．（2021秋•阳东区期中）已知a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，若三角形的周长是小于16的偶
数．判断△ABC的形状．
14．（2021秋•长丰县月考）如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，点B、F、C、E在一条直线上，AB＝
4，EF＝6，求△ABC中AC边的取值范围．
15．（2021秋•八步区期中）已知，△ABC的三边长为4，9，x．
（1）求△ABC的周长的取值范围；
（2）当△ABC的周长为偶数时，求x．1
16．（2021秋•阜阳月考）如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞ （AB+BC+CA）．
2
17．（2021秋•双流区期末）如图，在五边形ABCDE的各边上任意取一点，并顺次连接它们．试比较得到
的图形周长与原五边形周长的大小，并说明理由．
18．（2021秋•梁园区校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+|c﹣7|＝0，a为
方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长．
19．（2021春•织金县期末）已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（3）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
20．（2021秋•南昌月考）装修店的王师傅将一根长为l的钢筋条刚好切成三段，然后制作模具△ABC，且
△ABC的三边长为整数，周长l为奇数（不考虑其他因素）．（1）若AC＝8，BC＝2，求l的值．
（2）若AC﹣BC＝5，求l的最小值．
21．（2021秋•涪城区校级月考）三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？
22．（2021秋•赣州期中）若三边均不相等的三角形三边 a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短
边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为 7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个
三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 ② （填序号）．
①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6（x为整数），求x的值．
