文档内容
第 01 讲 轴对称
课程标准 学习目标
1. 掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图
①轴对称图形
形。
②轴对称
2. 掌握轴对称图形与轴对称的性质，并能够熟练的应用其解决
③轴对称及其轴对称图形的性质
相关问题。
知识点01 轴对称图形
1. 轴对称图形的概念：
若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 ，则这个图形是一个轴对称图
形。这条直线叫做轴对称图形的 。一个轴对称图形可以有多条对称轴。
2. 常见的几种轴对称图形以及他们的对称轴数量：
角：对称轴所在位置是 所在直线，一共有 条对称轴。
底和要不相等的等腰三角形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。
等边三角形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。
矩形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。正方形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。
圆形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。
【即学即练1】
1．我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，
对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是
（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．下面图形中，对称轴最多的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 轴对称
1. 轴对称的概念：
一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 ，则这两个图形的位置关系成轴对
称。这条直线是轴对称的 。轴对称只有一条对称轴。
重合的边叫做 ，重合的角叫做 。重合的点叫做 。
注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。
【即学即练1】
3．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成
轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．知识点03 轴对称与轴对称图形的性质
1. 轴对称与轴对称图形的性质：
①轴对称图形对称轴两旁的部分 ，成轴对称的两个图形 。
②对应边 ，对应角 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对
称轴上。
③对称轴经过任何一组对应点连线的 且与线段 。我们把对称轴叫做对应点
连线的 。
④对应点的连线之间相互 。
【即学即练1】
4．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；
（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练2】
5．如图所示，将∠A沿着BC折叠到∠A所在平面内，点A的对应点是A'，若∠A＝54°，则∠1+∠2＝（
）
A．144° B．108° C．72° D．54°
【即学即练3】
6．如图，点A是∠MON内一点，点E，F分别是点A关于OM，ON的对称点，连接EF交OM，ON于点
B，C，连接AB，AC．已知EF＝18，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．18 C．24 D．36题型01 轴对称图形判断
【典例1】第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图
形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【变式2】二十四节气作为中国人特有的时间知识体系，在国际气象界，这一观天察地、认知自然所创造
的时间知识体系被誉为“中国的第五大发明”．下列四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、“芒种”、
“立秋”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案
是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．题型02 判断对生活中的轴对称
【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直
线成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，
其顺序依次为（ ）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（ ）
（3）N，S，（ ）
（4）B，C，K，E，（ ）
（5）V，A，T，Y，W，U，（ ）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
题型03 轴对称图形与轴对称的性质
【典例1】如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列选项中的结论不正确的是（ ）A．△ABC≌△A′B′C′
B．∠BAC＝∠B'A′C′
C．直线l垂直平分CC′
D．直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上
【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′
C．直线l垂直平分 AA′ D．BB′＝2AA′
【变式2】如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接BC′，B′C，CC′，下列结论：①l垂直
平分CC′；②∠BAC′＝∠B′AC；③△BCC′≌△B′C′C；④直线BC和
B′C′的交点一定在l上，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，连接BE，CD，CE，下列结论：
①l垂直平分CE；
②∠BAE＝∠DAC；
③△BCE≌△DEC；
④直线BC，DE的交点一定在l上，
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型04 轴对称的性质—桌球反弹规律题
【典例1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中 N球，则4
个点中，可以瞄准的是（ ）A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式1】如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），
则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【变式2】如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，
反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P ，第2次碰到矩形的边时的点为
1
P ，…，第n次碰到矩形的边时的点为 P ，则点P 的坐标是 ，点P 的坐标是
2 n 2 2017
．
【变式3】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反
弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第1次碰到正方形的边时的点
为P （2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P ，…，第n次碰到正方形的边时的点为P ，则点
1 2 n
P 的坐标为 ．
2021【变式4】如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反
弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P （﹣2，0），第2次碰到正方
1
形的边时的点为P ，…，第n次碰到正方形的边时的点为P ，则点P 的坐标是（ ）
2 n 2020
A．（0，1） B．（﹣2，4） C．（﹣2，0） D．（0，3）
题型05 利用轴对称的性质计算角度
【典例 1】如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C 度数为
（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
【变式1】如图，△ABC与△ADC关于AC所在直线对称，若∠BAD+∠BCD＝180°，则∠B的度数为（
）
A．90° B．95° C．80° D．85°
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直
线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式3】起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图 1是
一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条ABCD沿DE折叠，
使点A落在点A′的位置上，A′E与DC交于点F（如图2）．第二步将纸条沿EG折叠，使点B，C分
别落在直线EF的右侧点B′，C′的位置上（如图3）．若∠AED＝34°，ED∥B′C′，则∠EGF＝
．
题型06 利用轴对称的性质计算线段
【典例1】如图，∠AOB内一点P，P ，P 分别是P关于OA、OB的对称点，P P 交OA于点M，交OB于
1 2 1 2
点N．若△PMN的周长是5cm，则P P 的长为（ ）
1 2
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【变式1】如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN
的周长＝8厘米，则CD为 厘米．
【变式2】如图，点P关于OA，OB的对称点分别是P ，P ，P P 分别交OA，OB于点C，D，P P ＝
1 2 1 2 1 2
6cm，则△PCD的周长为 ．【变式3】如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.7．若点P关于直线l，m的对称
点分别是点P ，P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2
A．0 B．5 C．6 D．7
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示
的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
3．将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形
是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：
①△ABC≌△A′B′C′；
②∠BAC′＝∠B′AC；
③l垂直平分CC′；
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，
正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中
的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
6．在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的
对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（ ）A．小睿折出的是BC边上的中线
B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线
C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高
D．上述说法都错误
7．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P ，P ，连接P P 交OB于M，交
1 2 1 2
OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
8．如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，连接BD交m于点F，则∠1的度数为（ ）
A．36° B．70° C．72° D．108°
9．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的
教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的
是（ ）
A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90°
C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补
10．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝0.6．若点P关于直线l，m的对称点分别
是点P ，P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2A．0 B．1 C．2 D．3
11．如果一个正多边形的外角等于72°，那么这个正多边形的共有 条对称轴．
12．有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单
词所指的物品 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，BC＝5cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD与
△BED关于BD对称，则△ADE的周长为 cm．
14．折纸是一门古老而有趣的艺术，如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点B，C分别落
在点B′，C′的位置，C′在AD上，再沿AB折叠，点B′落在点B″位置，点B″在C′E上，若∠1
＝∠2，则∠1＝ °．
15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝
150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE
＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的是 ．
16．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，
使补画后的图形为轴对称图形．17．如图，在台球运动中（每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等），如果母球P击中
桌边点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点B，然后又反弹击中球C．
（1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数．
（2）母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由．
18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，△ADE与△FDE关于DE轴对称，DF交AC于点
P，已知∠A＝45°，∠PEF＝30°．
（1）求∠FPC的度数．
（2）若DF∥BC，求∠B的度数．19．折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF＝ （0°＜ ＜90°且
≠60°），将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．
α α
（1）当 ＝25°时，则∠BFE＝ ；∠GFC'＝ ；
α
（2）两次折叠后，求∠NFE的大小（用含 的代数式表示）．
α
α
20．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），射线BC和射线BD分
别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
（3）作射线BC关于BP对称的射线BC'，射线BD关于BP对称的射线BD'，如果BC'和BD'始终在
∠ABN的内部，请直接写出∠ADB的范围．
