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专题 10 随机事件与求概率之六大题型
随机事件
例题：（2023上·吉林长春·九年级统考期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天一定下雪 B．抛掷一枚普通硬币，得到正面朝上
C．经过有信号灯的路口，遇见绿灯 D．直角三角形的两个锐角互余
【答案】D
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不
会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机
事件．
【详解】解：A.明天一定下雪，是随机事件，故A不符合题意；
B.抛掷一枚普通硬币，得到正面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C．经过有信号灯的路口，遇见绿灯，是随机事件，故C不符合题意；
D．直角三角形的两个锐角互余，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义，掌握定义是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上 B．三角形的三个内角之和等于
C．从只装有5个红球的袋中摸出一个白球D．富平县，现隶属于陕西省渭南市
【答案】A
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析各选项，即可得出结论．【详解】解：A、掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上是随机事件，故本选项符合题意；
B、三角形的三个内角之和等于 是必然事件，故本选项不符合题意；
C、从装有5个红球的袋子里摸出一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意；
D、富平县，现隶属于陕西省渭南市是必然事件，故本选项不符合题意
故选：A．
【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，涉及三角形内角和定理、轴对
称图形的识别等知识点，正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解题的关键．
2．（2023下·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）下列事件中，是不可能事件的是
（ ）
A．买一张电影票，座位号是偶数 B．度量三角形的内角和，结果是
C．某彩票中奖率是 ，买 张一定会中奖 D．明天会出太阳
【答案】B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解： 、买一张电影票，是随机事件；
、度量三角形的内角和，是不可能事件；
、某彩票中奖率是 ，是随机事件；
、明天会出太阳，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题的关键熟记：必然事件指在
一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即
随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
列举法求概率
例题：（2023下·上海普陀·八年级统考期末）从1，2，4这三个数中任取两个数组成没有重复数字
的两位数，那么组成的两位数是奇数的概率为 ．
【答案】
【分析】利用列举法进行求解即可．
【详解】解：从1，2，4这三个数中任取两个数组成没有重复数字的两位数共有：，6种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的有 ，2种等可能的结果；
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查列举法求概率．准确的列举出所有等可能的结果，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·上海青浦·八年级统考期末）从① ，② ，③ ，④
四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形 是平行四边形的概率是 ．
【答案】
【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是
平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答．
【详解】解：① ，② ，∴四边形ABCD是平行四边形，
① ，③ ，∴四边形ABCD是平行四边形，
① ，④ ，无法判断；
② ，③ ，无法判断；
② ，④ ∴四边形ABCD是平行四边形；
③ ，④ ∴四边形ABCD是平行四边形；
故选到能够判定判定四边形 有4种结果，
∴选到能够判定 是菱形的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判
定方法，概率的计算方法．
2．（2023上·四川广元·九年级统考期末）如果关于x的一元二次方程 中，k是投掷骰
子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率是 ．
【答案】
【分析】首先根据题意计算出所有基本事件总数，然后根据题意求出一元二次方程具有两个不等实
数根时所包含的基本事件数，进而计算出答案．【详解】解：二次方程有两个不等实数根，由根的判别式可得 ，
， ，不符合题意；
， ，不符合题意，
， ，符合题意，
， ，符合题意；
， ，符合题意；
， ，符合题意．
共有6种等可能的结果，4种符合题意，所以二次方程有两个不等实数根的概率是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查概率公式，一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握概率 所求情况数与
总情况数之比．
列表法或树状图法求概率
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）有三把不同的钥匙 ， ， 和两把不同的锁 ， ，
其中钥匙 只能打开锁 ，钥匙 只能打开锁 ，钥匙 不能打开这两把锁．
(1)随机取出一把钥匙，取出 钥匙的概率是___________；
(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，请利用画树状图或列表的方法，求一次打开锁的概率
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：∵有三把不同的钥匙 ， ， ，
∴随机取出一把钥匙，取出 钥匙的概率 ．
故答案为 ．
（2）解：如解图，树状图如下：共有6种等可能的结果，一次打开锁的结果有2种，
∴一次打开锁的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验
还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式训练】
1．（2023下·上海杨浦·八年级统考期末）有四张完全相同的卡片 、 、 、 ，分别面有不同
的几何图形： （等边三角形）； （圆）； （矩形）； （等腰梯形），将这四张卡片放在
不透明的盒子中洗匀．
(1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____；
(2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多
少？（请用树形图说明，卡片可用 、 、 、 表示）
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先判断 （等边三角形）、 （圆）、 （矩形）、 （等腰梯形）都是轴对称图
形，再根据概率公式求解；
（2）先画出树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果数，
然后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）∵ （等边三角形）、 （圆）、 （矩形）、 （等腰梯形）都是轴对称图形，
∴从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是1；
（2） （圆）、 （矩形） 是中心对称图形，
所有等可能的情况如图所示：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果有2种，
所以取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是 ．
【点睛】本题考查了求两次事件的概率，正确理解题意、熟练掌握利用树状图或列表法求解的方法
是关键．
2．（2023上·天津河东·九年级校考期末）某校在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄
报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，推荐亮亮
和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可
能性相同．
(1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________；
(2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过概率的概念直接计算即可；
（2）画出树状图，直接计算可能性的数量求解即可．
【详解】（1）亮亮的选择总共有4种可能的结果，所以选择交通安全手抄报的概率为
（2）用A表示交通安全，用B表示消防安全、用C表示饮食安全，用D表示防疫安全，画树状图
如下，由图可知，总共有16种可能的结果，其中亮亮和苗苗选择不同主题手抄报有12种可能的结果，所
以亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为
【点睛】此题考查概率的计算，解题关键是找出所有的结果的可能性．
游戏的公平性
例题：（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）在一次数学兴趣小组活动中，江华和江玉两位同学设
计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上
数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小
于12，则江华获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于
12，则江玉获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
(2)分别求出江华和江玉获胜的概率；
(3)请问游戏规则公平吗？如不公平，请更改游戏规则，使游戏公平．
【答案】(1)12种
(2)江华获胜的概率为 ；江玉获胜的概率为
(3)不公平，若指针所指区域内两数和小于 ，则江华获胜；若指针所指区域内两数和大于或等于
，则江玉获胜
【分析】（1）根据列表法求得所有可能，即可求解；
（2）根据（1）的结论，根据概率公式即可求解；（3）根据表格可知两数和小于 与两数和大于等于 出现的次数相等，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意列表如下：
可见，两数和共有 种等可能结果；
（2）由（1）可知，两数和共有 种等可能的情况，其中和小于 的情况有 种，和大于 的情
况有 种，
∴江华获胜的概率为 ；
江玉获胜的概率为 ．
（3）不公平，
将游戏规则更改为：若指针所指区域内两数和小于 ，则江华获胜；若指针所指区域内两数和大
于或等于 ，则江玉获胜．
【点睛】本题考查了列表法求概率，游戏的公平性，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）甲、乙两人玩转盘游戏，规则如下：如图是两个可以自由转
动的转盘 转，盘中数字 所对扇形区域的圆心角为 ， 转盘被分成面积相等的三个扇
形，依次转动转盘 ， ，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于 ，则甲获胜；
否则乙获胜；如果落在分割线上，则需要重新转动转盘．
(1)转动转盘 ，指向的数字为 的概率是__________
(2)试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平．若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的可
能性更大?【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）先求出 盘的数字 扇形区域的圆心角，再利用概率公式即可解答；
（2）先用列表法求出所有可能的结果及甲、乙获胜的概率即可解答．
【详解】（1）解：∵ 盘中数字 所对扇形区域的圆心角为 ，
∴ 盘中数字 所对扇形区域占整体的 ，
∴转动转盘 ，指向的数字为 的概率是 ，
故答案为： ；
（2）如图，将 盘 等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现
的结果如下：
盘
盘
共有 种等可能出现的结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于 ，即甲获胜的有 种，所
以甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，所以这个游戏不公平，甲获胜的可能性较大．
【点睛】本题考查了概率的定义，概率的统计方式，概率的计算公式，掌握概率的定义是解题的关
键．
2．（2023下·河南郑州·七年级统考期末）小军和小明一起做游戏，设计了一个可以自由转动的转
盘（如图所示），转盘被等分成了10个扇形区域，并涂上了不同的颜色．(1)转动一次转盘，求指针指向红色区域的概率．
(2)小军说：“如果指针指向蓝色区域自己获胜，如果指针指向黑色区域小明获胜”．请问小军设
计的游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)小军设计的游戏规则对双方不公平，理由见解析
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）根据概率公式求出指针指向蓝色区域的概率和指针指向黑色区域的概率，然后判断即可．
【详解】（1）解：∵转盘被等分成了10个扇形区域，红色扇形有2个，
∴指针指向红色区域的概率为 ；
（2）解：小军设计的游戏规则对双方不公平；
理由：∵转盘被等分成了10个扇形区域，蓝色扇形有2个，黑色扇形有1个，
∴指针指向蓝色区域的概率为 ，指针指向黑色区域的概率为 ，
即小军自己获胜的概率为 ，小明获胜的概率为 ，
∵ ，
∴小军自己获胜的概率较大，小军设计的游戏规则对双方不公平．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式的应用是解题的关键．
由频率估计概率求球的数量
例题：（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这
些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验
发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为 ．【答案】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的
个数除以总数等于频率，求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在 ，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为 ，
∴ ，
∴ ，
经检验 是原方程的解．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解分式方程，解答此题的关键是利用红球的个数除以
总数等于频率．
【变式训练】
1．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）在一个不透明袋子里装有红球、黄球共16个，这些球除
颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，则袋子中黄球的个数大
约是 个．
【答案】12
【分析】根据“摸出红球的频率稳定在 左右”得出红球个数，即可求出黄球个数．
【详解】解：∵一共有16个球，摸出红球的频率稳定在 左右，
∴红球个数约为 （个），
∴黄球的个数大约 （个），
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握经过大量重复试验后，事件发生的频
率稳定在一个常数左右，这个常数等于该事件发生的概率．
2．（2023下·四川成都·七年级统考期末）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的14个黑球，
5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球
试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.2，则袋中红球的个数为 个．
【答案】6
【分析】根据摸到白球的频率稳定在0.2，得到摸到白球的概率为0.2，利用概率公式列式计算即可．
【详解】解：∵摸到白球的频率稳定在0.2，
∴摸到白球的概率为0.2，
设红球x个，根据题意可得：，
解得： ，
经检验得： 是原方程的根．
故答案为：6．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，已知概率求小球的数量．熟练掌握概率是频率的稳定值，以
及概率公式，是解题的关键．
由频率估计概率
例题：（2023下·山东烟台·七年级统考期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了
估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大
小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不
断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率
(1)表中的 ________；
(2)请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到 ）
(3)试估算摸到红球的概率是________（精确到 ）
(4)试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)这个不透明的口袋中红球有15个
【分析】（1）根据题目表中的数据，直接计算摸到白球的频率 即可得到答案；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在 左右；
（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．
【详解】（1）解：由表中数据可知摸到白球的频率 ；故答案为： ；
（2）解：由表格中计算的频率过程可知，当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
故答案为： ；
（3）解：由题意得：摸到白球的概率为 ，
则摸到红球的概率是 ，
故答案为： ；
（4）解：设红球的个数为x，根据题意，
得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
答：这个不透明的口袋中红球有15个．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率
=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1．
【变式训练】
1．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个
可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止
时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
40
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000
0
落在“可乐”区域的次数 24
60 122 298 b 604
m 0
落在“可乐”区域的频
0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604
率”
(1) ______， ______；
(2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是
______；（结果精确到0.1）(3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？
【答案】(1)0.6，472；
(2)0.6；0.6；
(3)144°．
【分析】（1）根据频率的定义计算m=298时的频率和频率为0.59时的频数；
（2）从表中频率的变化，可得到估计当 很大时，频率将会接近 ，然后根据利用频率估计概率
得“可乐”的概率约是 ；
（3）可根据获得“洗衣粉”的概率为 − ，然后根据扇形统计图的意义，用 乘以
即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角．
【详解】（1）解： ÷ ≈ ； ；
故答案为： ， ；
（2）解：估计当 很大时，频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率
约是 ；
故答案为： ； ；
（3）解： ，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是 ．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这
个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．（2023下·宁夏银川·七年级校考期末）小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游
戏，他们共做了100次试验，结果如下：
朝上的点
1 2 3 4 5 6
数
出现的次 2
16 14 25 12 13
数 0
(1)计算“点数1朝上”的频率和“点数6朝上”的频率；
(2)小亮说：“若投掷1000次，则出现点数4朝上的次数正好是200次”，小亮的说法_________
（填“正确”或“不正确”）；
(3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
【答案】(1)“点数1朝上”的频率0.16；“点数6朝上”的频率0.13
(2)不正确(3)
【分析】（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为16，13，即可求得
“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率．
（2）由一次试验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确；
（3）利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：“1点朝上”的频率为： ；
“6点朝上”的频率为 ；
（2）解：小亮的判断依据是： （次），此依据是错误的；
因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近；
所以小亮的判断是错误的．
故答案为：不正确；
（3）解：任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中不小于4一共有3种情况，
∴ ．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况
数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值．
一、单选题1．（2023下·广东云浮·九年级校考期末）下列事件，是必然事件的为（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．打开电视正在播放世界杯
C． 是无理数 D．明天太阳从西方升起
【答案】C
【分析】利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；
B、打开电视正在播放世界杯，是随机事件，故不符合题意；
C、 是无理数，是必然事件，故符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了随机事件以及不可能事件、必然事件的定义，解题的关键是掌握：在一定条件
下，必然发生的事情叫做必然事件，不可能发生的事情叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的
事情叫做随机事件．
2．（2023下·四川达州·七年级校考期末）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．度量三角形的内角和，结果不可能是 B．买一张电影票，座位号是奇数
C．打开电视机，它正在播放花样滑冰 D．明天晚上会看到月亮
【答案】A
【分析】确定事件就是一定不发生或一定发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A、度量三角形的内角和，结果是不可能是 ，是确定事件，选项正确；
B、买一张电影票，座位号是奇数是不确定事件，选项错误；
C、打开电视机，它正在播放花样滑冰是不确定事件，选项错误；
D、明天晚上会看到月亮是不确定事件，选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了确定事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的
事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2023下·四川达州·七年级校考期末）有四根细木棒，长度分别为 ，则随机
抽出三根木棒，能够组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用列举法得到所有四种可能的结果数，再根据三角形三边的关系得到能够组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：从四根细木棒中随机抽出三根木棒，所有结果为① ；② ；
③ ；④ ，其中①③④满足三角形的三边关系能够组成三角形，所
有能够组成三角形的概率 ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率、三角形的三边关系的应用等知识点，通过列举法展示所有
等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或
B的概率是解答本题的关键．
4．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）一个小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的
停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域里的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用面积之比计算概率即可．
【详解】设每个正方形的面积为１个单位，根据题意，全部面积为９，
阴影的面积为3，
故它最终停留在黑色区域里的概率是 ，
故选C．
【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握面积之比等于概率是解题的关键．
5．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．某种彩票的中奖机会是 ，则买 张这种彩票一定会中奖．
B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式．
C．若甲数据的方差 ，乙数据的方差 ，则乙数据比甲数据稳定．
D．一组数据3，1，4，1，1，6，1的众数和中位数都是1．
【答案】D【分析】根据可能性大小、调查方式、方差的意义、众数和中位数的定义，分别进行判断．方差越
小，数据波动越小，越稳定；众数是一组数中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据从小到大
或从大到小排列，中间的那个数或中间两个数的平均数．
【详解】解：A．某种彩票的中奖机会是 ，则买 张这种彩票不一定会中奖．故选项错误，不
符合题意；
B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式．故选项错误，不符合题意；
C．甲数据的方差 ，乙数据的方差 ，则甲数据比乙数据稳定．故选项错误，不符
合题意；
D．一组数据3，1，4，1，1，6，1按照从小到排列为1，1，1，1，3，4，6，
其中1出现次数最多，即众数为1，中位数为1，故选项正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题
6．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）事件“打开电视机，正在播放天气预报”，这是
事件（填“随机”，“必然”或“不可能”）．
【答案】随机
【分析】根据随机事件的定义：事前无法确定是否发生的事件是随机事件．
【详解】根据定义，该事件属“随机”事件．
故答案为：随机．
【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件的定义，掌握相关定义是解题的关键．
7．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜
色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球至少有1个红球”是 事件．
（填“必然”，“不可能”或“随机”）
【答案】必然
【分析】必然事件：在一定条件下,一定会发生的事件；不可能事件：在一定条件下,一定不会发生
的事件；随机事件：在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件 ．
【详解】解：∵袋中装有3个红球，1个黑球，
∴从中任意摸出2球，必然会摸到红球，
故“摸出的球至少有1个红球”是必然事件，
故答案为：必然．
【点睛】本题考查事件的分类．掌握各类事件的定义是解题关键．
8．（2023下·四川达州·七年级校考期末）有 张卡片分别写有 至 是个数字，将它们放入纸盒中，任意摸出一张，则 摸到数字 ； 摸到偶数 ； 摸到不是数字 的偶
数 ．
【答案】
【分析】根据题意得出有数字 的有一张，偶数有 ， ， ， ， ，不是数字 的偶数有 ， ，
， ，再根据概率公式计算即可．
【详解】解： 张卡片分别写有 至 十个数字，有数字 的有一张，偶数有 ， ， ， ， ，
共 个，
摸到数字 ， 摸到偶数 ， 摸到不是数字 的偶数 ；
故答案为： ， ， ．
【点睛】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率 所求情况
数与总情况数之比．
9．（2023下·辽宁锦州·七年级统考期末）苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将
调查数据整理后结果如表所示：
移植总数 400 750 1500 3500 6000 9000
成活数 369 662 1335 3203 5430 8073
成活的频率
根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为 ．（精确到 ）
【答案】
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，
根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的
概率．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不等增加，这种花苗种植成活的概率稳定在 左右，
故估计这种花苗移植的成活概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
10．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角
形都是等腰直角三角形）．随机抛一个小球停留在某块地板砖上，则小球停留在阴影区域的概率是．
【答案】 /
【分析】停留在阴影区域的概率就是阴影部分占地板砖面积的比值，据此求解即可．
【详解】设原图中最小的等腰直角三角形的面积为 ，
则阴影部分有4块这样的等腰直角三角形，面积为 ，
空白部分有12块这样的等腰直角三角形，面积为 ，
∴这个地板砖的面积为： ，
∴停留在阴影区域的概率是：
即小球停留在阴影区域的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算公式是解题的关键．
三、解答题
11．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）淘气和笑笑做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们
共做了100次试验，结果如下：
朝上的点
1 2 3 4 5 6
数
出现的次 2
15 14 25 13 13
数 0
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
(2)笑笑将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数为1的概率；
(3)淘气将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）用“1点朝上”的频率除以总试验次数，即可求出“1点朝上”的频率；用“6点朝
上”的频率除以总试验次数，即可求出“6点朝上”的频率；
（2）根据概率公式求解即可；
（3）根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：“1点朝上”的频率为 ，
“6点朝上”的频率为 ．
（2）解：朝上的点数为1的概率 ．
（3）解：∵朝上的点数不小于4，
∴有4、5、6这3种可能性，
∴朝上的点数不小于4的概率 ．
【点睛】本题主要考查了频率，用概率公式求概率，解题的关键是掌握频率=频数和试验总次数之
比，概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2023上·重庆南川·九年级统考期末）小明和小亮做游戏：取四张扑克，上面分别标有数字
2、3、4、5，（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后
放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为7的概率；
(2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出
判断，并说明理由．
【答案】(1)
(2)公平的，见解析
【分析】（1）先画树状图或列表，求出16种情况，并求出和，再依据公式求解即可．
（2）分别求出和为奇数和偶数的概率，发现概率相同，即可判断游戏规则对双方是公平的.
【详解】（1）解：（1）列表如下：
2 3 4 52 2+2=4 2+3=5 2+4=6 2+5=7
3 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8
4 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9
5 5+2=7 5+3=8 5+4=9 5+5=10
由表可知，总共有16种结果，其中和为7的有4种，则这两数和为7的概率由表可知，总共有16
种结果，其中和为7的有4种，则这两数和为7的概率
（2）这个游戏规则对双方公平.
理由：因为P（和为奇数）= ，
P（和为偶数）= ，
所以这个游戏规则对双方是公平的.
【点睛】本题考查概率的求法，记忆公式和列举出所有可能出现的结果是解题的关键．
13．（2023下·广东云浮·九年级校考期末）广东多地推进林长制，筑牢粤北生态屏障，通过三
“长”联动，实现点“绿”成金．现将质地大小完全相同，上面依次标有“点”“绿”“成”
“金”字样的四个彩球放入同一个不透明的袋子．
(1)叶子在袋子中随机摸出一个彩球，摸中标有“绿”字彩球的概率为 ；
(2)若叶子在袋子中随机摸出一个彩球不放回，再摸出一个彩球，请用画树状图或列表法求出两次
摸球能拼出“成金”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率的定义直接可得答案；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸球能拼出“成金”的结果有2种，由概率公式求
解即可．
【详解】（1）解：袋子中有标有“点”“绿”“成”“金”字样的四个彩球，从中随机摸出一球，
共有4种可能出现的结果，其中摸出“绿”字只有1种，
叶子在袋子中随机摸出一个彩球，摸中标有“绿”字彩球的概率为 ；
（2）把标有“点”“绿”“成”“金”字样的四个彩球分别记为A、B、C、D， 画树状图如下：共有12种等可能的结果，分别为：“点绿”、“点成”、“点金”、“绿点”“绿成”、“绿
金”、“成点”、“成绿”、“成金”、“金点”、“金绿”、“金成”，两次摸球能拼出“成
金”的结果有2种，
两次摸球能拼出“成金”的概率为 ．
【点睛】此题考查了概率，用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知
识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科
技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工
智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完
全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能
(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法
求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【答案】(1)
(2)抽取到的两张卡片内容一致的概率为 ．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．【详解】（1）解：∵共有4张卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
故答案为： ；
（2）解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回
试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．（2023下·四川达州·七年级校考期末）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、
3、4、5、6、7这六个数字，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字
(1)转到数字10是 （从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”选一个填入）；
(2)转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ；
(3)现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？
【答案】(1)不可能事件
(2)
(3)① ；②【分析】（1）根据事件的分类进行分析，即可得到答案；
（2）由题意可知，转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，大于3的结果有4种，
再利用概率公式，即可得到答案；
（3）①根据三角形的三边关系可知，能构成三角形的结果有5种，再利用概率公式，即可得到答
案；
②根据等腰三角形的定义可知，能构成等腰三角形的结果有2种，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，转盘分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，
即转到数字10是不可能事件，
故答案为：不可能事件；
（2）解：由题意可知，转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，大于3的结果有4
种，
转出的数字大于3的概率是 ，
故答案为： ；
（3）解：①由三角形的三边关系可知，三角形的第三边大于1，小于7，
由题意可知，转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，能构成三角形的结果有5种，
这三条线段能构成三角形的概率是 ；
②当转出的数字为 或 时，构成的三角形是等腰三角形，
由题意可知，转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，能构成等腰三角形的结果有2
种，
这三条线段能构成等腰三角形的概率是 ．
【点睛】本题考查了事件的分类，概率公式，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，灵活运用相
关知识解决问题是解题关键．
16．（2023下·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不
同的12个小球，其中红球4个，黑球8个．
(1)先从袋子中取出 （ ）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件
A、请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件
m的值 _________ _________(2)从袋子中取出 个红球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是 ，求 的值．
【答案】(1)4；2或3
(2)3
【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；
（2）利用概率公式列出方程，求得 的值即可．
【详解】（1）解：当袋子中全为黑球，即先从袋子中取出4个红球时，再从袋子中随机摸出1个
球，摸到黑球是必然事件；
，当摸出2个或3个红球时，摸到黑球为随机事件，
事件 必然事件 随机事件
的
4 2或3
值
（2）解：依题意，得 ，
解得 ，
所以 的值为3．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件 出现 种可能，那么事件 的概率 ．也考查了必然事件与随机事件．
17．（2023上·辽宁锦州·九年级统考期末）北京冬奥会在2022年2月4日至20日举行，北京成为
奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示
的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是___________；
(2)小亮决定将其中两张邮票送给好朋友小明，若冬奥会会徽邮票记作A类邮票，吉祥物冰墩墩邮
票记作B类邮票，吉祥物雪容融邮票记作C类邮票，将5张邮票背面朝上洗匀后，让小明从中随机抽取2张邮票，抽得的邮票就送给小明，求小明抽取两张邮票都是“吉祥物冰墩墩”的概率．（请
用列表法或画树状图法求解）
【答案】(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是
(2)P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩）＝
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）利用列表法列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果，求出概率即可；
【详解】（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 ；
（2）列表如下：
A
A
由表知，共有20种等可能结果，其中抽取两张邮票都是冰墩墩的有2种结果
∴P（抽取两张邮票都是吉祥物冰墩墩） ．
【点睛】该题主要考查了概率计算，解答本题的关键是熟悉概率计算公式以及列表法或者树状图法
求概率．
18．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）某校生物兴趣小组要研究某种植物种子的发芽率，下表
是该兴趣小组在相同的实验条件下得到的一组数据：
120
试验的种子数 200 500 2000 3000 5000
0
发芽的种子数 189 474 1146 1898 2856 4765
发芽的频率 0.945 0.948 x 0.949 y 0.953
(1)填空： ________， ________；（结果保留三位小数）
(2)任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是________．（精确到0.01）(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗310棵，试估算至少需要准备多少粒种子进行发芽培育．
【答案】(1)0.955，0.952
(2)0.95
(3)327
【分析】（1）用发芽种子数除以试验的种子数即可得出 、 的值；
（2）根据频率估计概率求解；
（3）用需要这种植物幼苗数量除以种子能发芽的概率即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是
（3）解：
故估算至少需要准备 粒种子进行发芽培育．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固
定的近似值就是这件事的概率．
