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专题 11 一元一次方程的的概念和解法
【思维导图】
◎考点题型1 从算式到方程
方程概念：含有未知数的等式叫做方程.
备注：判断式子是否为方程，两点缺一不可：①是等式；②是含有未知数．
例．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤
；⑥ ，是方程的是（ ）
A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
变式1．（2022·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏·苏州中学二模）根据“x与5的和的4倍比x的 少2”列出的方程是（ ）
A． B．C． D．
变式3．（2022·浙江杭州·一模）在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．某日地表温度是
18℃，地下某处A的温度是25℃．设A处在地表以下x千米，则（ ）
A． B．
C． D．
◎考点题型2 方程的解
方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
备注：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
例．（2022·河北沧州·七年级期末）若关于 的方程 的解是 ，则 的值是（ ）
A．1 B．5 C．-1 D．-5
变式1．（2022·浙江金华·七年级期末）小亮在解方程 时，由于粗心，错把 看成了 ，结果
解得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·广东惠州·七年级期末）方程 的解是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·湖南湘西·七年级期末） 是下列哪个方程的解（ ）
A． B．
C． D．
◎考点题型3 一元一次方程
一元一次方程概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方
程.
备注：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有
未知数．
（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) .
（3）一元一次方程的最简形式是： ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）.例．（2022·江苏·七年级专题练习）下列是一元一次方程的是（ ）
A．x＝﹣1 B．2x＋y＝5 C． 1 D．x2﹣2x﹣3＝0
变式1．（2022·四川省遂宁市第二中学校七年级期中）已知方程 是关于x的一元一次方程，
则m的值是（ ）
A．0 B．1 C． 1 D．0或1
变式2．（2022·广东江门·七年级期末）若 是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
变式3．（2022·四川·威远中学校七年级期中）方程（a+2）x2+5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，则a+m＝（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
◎考点题型4等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果 ，那么 (c为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果 ，那么 ；如果 ，那么 .
备注：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上 得x＋ ，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
(4)
例．（2022·河南郑州·七年级期末）已知等式 ，则下列式子中不成立的是（ ）A． B． C． D．
变式1．（2022·河北邢台·七年级期末）设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，
情况如图所示，则下列天平中，状态不正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·河北保定·七年级期末）已知 是有理数（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
变式3．（2022·湖北十堰·七年级期末）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
◎考点题型5 解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 注意事项
(1)不要漏乘不含分母的项
在方程两边都乘以各分母的最小公倍
去分母
数 (2)分子是一个整体的，去分母后应
加上括号
(1)不要漏乘括号里的项
先去小括号，再去中括号，最后去大
去括号
括号
(2)不要弄错符号
把含有未知数的项都移到方程的一 (1)移项要变号
移项 边，其他项都移到方程的另一边(记住
移项要变号) (2)不要丢项
合并同类
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变
项
系数化成
1
在方程两边都除以未知数的系数a， 不要把分子、分母写颠倒得到方程的解 ．
备注：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合
并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意
去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
例．（2022·河南信阳·七年级期末）解方程：
变式1．（2022·河南信阳·七年级期末）解方程：
(1) ；
(2) ．
变式2．（2022·山东潍坊·七年级期末）解方程：
(1)
(2)
(3)
变式3．（2022·河北衡水·七年级期末）（1）计算： ；
（2）解方程： ；
（3）化简求值： 的值，其中 .
◎考点题型6 拓展
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
备注：此类问题一般先把方程化为 的形式，分类讨论：(1)当 时，无解；（2）当 时，原方程化为： ；（3）当 时，原方程可化为：
或 .
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时， ；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
例．（2022·湖南·长沙市华益中学七年级阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ．
变式1．（2020·江西·新余四中七年级期中）若方程 的解与关于 的方程
的解相同，求 的值．
变式2．（2022·贵州六盘水·七年级期末）对于任意的有理数 ， ， ， 定义新运算：
．例如： ．
(1)计算： __________
(2)若 ，求 的值．
变式3．（2022·江苏·七年级专题练习）已知整式 ，其中“■”处的系数被墨水污
染了．当 ， 时，该整式的值为16．
(1)则■所表示的数字是多少？
(2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由．
