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专题11 倍长中线证全等
1．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合
作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 B ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 C ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的
已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
3．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三
边的关系即可判断中线AD的取值范围是 1. 5 ＜ AD ＜ 6. 5 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个
50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数
量关系，并说明理由．
【解答】（1）解：如图①，将△ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD，则
△ACD≌△EBD，
∴AD＝DE，BE＝AC＝5，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，
故答案为：1.5＜AE＜6.5；
（2）证明：如图②，延长FD至N，使DN＝DF，连接BN、EN，
在△FDC和△NDB中，
，
∴△FDC≌△NDB（SAS）
∴BN＝FC，
∵DF＝DN，DE⊥DF，
∴EF＝EN，
在△EBN中，BE+BN＞EN，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF，
理由如下：如图③，延长AB至点H，使BH＝DF，连接CH，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，
∴∠HBC＝∠D，
在△HBC和△FDC中，，
∴△HBC≌△FDC（SAS）
∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，
∴∠BCE+∠FCD＝50°，
∴∠ECH＝50°＝∠ECF，
在△HCE和△FCE中，
，
∴△HCE≌△FCE（SAS）
∴EH＝EF，
∴BE+DF＝EF．
4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上
的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长 AD到点E使DE＝AD，再连接
BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即
可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线
法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点
F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若
AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
5．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足 AE＝BD＝DC，FA＝FE．求
∠ADC的度数．
【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，
在△ADC和△GDB中， ，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，
∵FA＝FE，∴∠CAD＝∠AEF，
∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，
∴BG＝BE＝AC，
∵AE＝DC＝BD，
∴AE+ED＝DH+ED，
∴AD＝EH，
在△DAC和△HEB中，
，
∴△DAC≌△HEB（SAS），
∴CD＝BH，
∴BD＝BH＝DH，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．
故答案为：60°．
6．如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．
求证：BE∥CF．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴∠BED＝∠CFD，
∴BE∥CF．
7．【教材呈现】如图八年级上册数学教材第69页的部分内容：
（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值
范围是 1 ＜ AD ＜ 5 ．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点 E是BC的中点，若 AE是
∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝
∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．
【解答】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．
8．（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝
AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围
是 1 ＜ AD ＜ 5 ；
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF．
【解答】（1）解：如图1中，
∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为1＜AD＜5．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
9．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE
＝BE．【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∵∠C＝80°，
∴∠C＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF＝BC，
∵AP＝BC，
∴AP＝AF，
∴∠APF＝∠F，
∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，
∴∠BPE＝∠PBE，
∴PE＝BE．
10．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【解答】证明：延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，
∵AE是△ABD的中线，
∴BE＝ED，
在△ABE与△FDE中
，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF＝∠ADC，
∵AB＝DC，∴DF＝DC，
在△ADF与△ADC中
，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．
11．【发现问题】
小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：
如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范围．【探究方法】
小强所在学习小组探究发现：延长 AD 至点 E，使 ED＝AD，连接 BE．可证出
△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与 AD转化到同一个△ABE中，进而
求出AD的取值范围．
方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，
我们把这种方法叫做倍长中线法．
【应用方法】
（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；
【拓展应用】
（2）已知：如图2，AD是△ABC的中线，BA＝BC，点E在BC的延长线上，EC＝BC．写出
AD与AE之间的数量关系并证明．
【解答】解：（1）如图1中，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝6，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴8﹣6＜AE＜8+6，
∴2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7；
（2）结论：AE＝2AD．理由：延长AC到F，使得CF＝AC，连接EF，取EF的中点H，连接CH．
∵AC＝CF．FH＝EH，
∴CH＝ AE，
在△ACB和△FCE中，
，
∴△ACB≌△FCE（SAS），
∴AB＝EF，
∵AB＝BC，
∴EC＝EF＝BA＝BC，
∵AD，CH分别是△ABC，△ECF的中线，
∴AD＝CH，
∴AD＝ AE．
12．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC中，AB＝
8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值
范围是 1 ＜ AD ＜ 7 ；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明
边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请
直 接 利 用 （ 2 ） 的 结 论 ， 试 判 断 线 段 AD 与 EF 的 数 量 关 系 ， 并 加 以 证 明 ．【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
13．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆
时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可
判断．中线AD的取值范围是 1 ＜ AD ＜ 4 ；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点
E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，以C为顶点作∠ECF，使得角的两
边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，且EF＝BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关
系，并加以证明．
【解答】解：（1）阅读理解：
∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（2）问题解决：
解：（1）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵CD＝DB，DF＝DG，∠CDF＝∠BDG，
∴△CDF≌△BDG（SAS）
∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF；（3）问题拓展：∴∠A+2∠ECF＝180°，
理由如下：延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBN＝180°，
∴∠D＝∠CBN，且CD＝CB，DF＝BN，
∴△CDF≌△CBN（SAS）
∴CF＝CN，
∵EF＝BE+DF，
∴EF＝BE+BN＝EN，
在△CEF和△CEN中，
，
∴△CEF≌△CEN（SSS）
∴∠FCE＝∠NCE＝ ∠FCN＝ ∠DCB，
∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠A+2∠ECF＝180°．
