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专题11 利用平方根立方根的概念解方程50道
1．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
【分析】（1）方程变形后，利用立方根定义计算即可求出x的值；
（2）方程整理后，利用平方根定义计算即可求出x的值．
【详解】（1）解：方程变形得： ，
开立方得： ；
（2）解：方程整理得： ，
开方得： 或 ，
解得： 或 ．
【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．求下列各式中的 ：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解： ，，
．
（2）解： ，
，
则 ．
【点睛】本题考查平方根和立方根，会利用平方根和立方根的定义解方程是解答的关键，注意一
个正数的平方根有两个，且互为相反数．
3．求下列各式中 的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用平方根的性质解答， ；
（2）利用立方根的性质解答，即可求解．
【详解】（1）解：开平方，得 ，
解得 或 ；
（2）解：移项，得 ，
开立方，得 ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是
解题的关键．
4．解方程：
(1)
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直接开平方法求解即可；
（2）先将27移到方程右侧，再开立方即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了用开平方法和开立方法解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关
键．
5．求下列各式中的x：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的概念直接开方求解即可；
（2）根据立方根的概念直接开方求解即可．
【详解】（1）∴ ；
（2）
．
【点睛】此题考查了平方根的概念和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的概念和立方
根的概念．
6．求下列各式中x的值．
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）开平方，移项，合并同类项即可求解；
（3）去分母，开立方，移项，合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：
，
当 时， ；当 时， ，
∴ ， ．
（2）解：
∴ ．
【点睛】本题主要考查直接开方法解方程，根据平方根与立方根的概念解方程是解题的关键．
7．求下列各式中的x：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义进行求解即可；
（2）根据立方根的定义进行求解，即可得出答案．
【详解】（1） ，
，
；
（2） ，
，
．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
8．解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于 ，那么这个数x就叫做 的平方根；
进行计算即可；
（2）根据等式的性质以及立方根的定义：如果一个数x的立方等于 ，那么这个数x就叫做 的
立方根；进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
两边同除 得： ，由平方根的定义知： ，
即 ；
（2） ，
移项得： ，
两边同除2得： ，
根据立方根的定义得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
9．求满足下列条件的x的值：
(1) ；
(2)
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用移项，直接开平方即可求解；
（2）移项，直接开立方，再移项即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴ ， ．
（2）解：．
【点睛】本题主要考查直接开方法解方程，掌握开平方法，开立方法解方程是解题的关键．
10．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
【分析】（1）直接开平方解答即可；
（2）先移项，再开平方解答即可．
【详解】（1）解：
∴ ．
（2）解：
∴ 或 ．
【点睛】本题考查利用平方根解方程，解题的关键是理解平方根．
11．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】(1)根据平方根的定义求解即可．
(2)根据立方根的定义计算即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键．
12．求下列各式中 的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）移项，系数化为1，开立方即可得；
（2）移项，系数化为1，开平方即可得．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解： ，
，，
，
或 ，
或 ．
【点睛】本题考查了解方程，解题的关键是掌握平方根，立方根的意义，并正确计算．
13．求下列各式中的x的值．
(1)
(2)
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用平方根解方程；
（2）利用立方根解方程．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程．熟练掌握平方根和立方根的概念，是解题的关键．14．求下列各式中 的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）移项，系数化为1，开平方即可得；
（2）先系数化为1，开立方即可得．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查了平方根与立方根解方程，解题的关键是掌握平方根，立方根，并正确计算．
15．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1) 或 ．
(2) 或 ．【分析】（1）先把方程化为 ，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先把方程化为 ，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： 或 ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ．
【点睛】本题考查的是利用直接开平方法解方程，二次根式的化简，掌握“利用直接开平方法解
方程”是解本题的关键．
16．利用平方根、立方根的定义，求满足下列各式的未知数 ．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】 根据平方根的定义即可求出答案．
根据立方根的定义即可求出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基
础题型．
17．求下列各式中x的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用平方根解题即可．
（2）利用立方根解题即可．
【详解】（1）解：
或
（2）解：
【点睛】本题主要考查利用平方根及立方根解方程，能够熟练运用平方根及立方根公式是解题关
键．
18．求下列各式中的x．
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了根据求平方根和立方根的方法解方程，熟知平方根和立方根的定义是解
题的关键．
19．求下列各式中的x：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）先把方程化为 ，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）先把方程化为 ，再利用立方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：
∴ ，∴ 或 ．
（2）
∴ ，
∴ ，
解得：
【点睛】本题考查的是利用平方根的含义与立方根的含义解方程，掌握“平方根与立方根的含
义”是解本题的关键．
20．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或4
(2)
【分析】（1 ）首先移项，然后利用平方根的定义即可求解；
（2 ）首先移项，然后利用立方根的定义首先求出 ，然后即可求解．
【详解】（1）解：
∴ ，
∴ ，
解得： 或4；
（2）解：
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】此题主要考查了利用平方根、立方根的性质解方程，熟练掌握平方根、立方根的性质．
21．解方程：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用方程思想，平方根的定义计算即可；
（2）利用方程思想，立方根的定义计算即可．
【详解】（1）解：
∴ ，
∴ ，
解得∶ ；
（2）解：
∴ ，
∴ ，
解得∶ ．
【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是
解题的关键．
22．求 值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根的定义即可进行求解；
（2）根据平方根的定义即可进行求解．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
，
．
（2）解：∵ ， ，
∴ 或 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了根据平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立
方根的定义，注意一个正数有两个立方根．
23．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的知识解方程即可；
（2）根据立方根的知识解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了根据平方根和立方根解方程，注意利用平方根解方程时会出现两种情况．
24．求下列各式中的 ：
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用求一个数的立方根即可解方程；
（2）利用平方根即可解方程．
【详解】（1）
；
（2）
或 ，
即： 或 ．
【点睛】本题考查了运用立方根和平方根求解方程的知识，掌握立方根和平方根的求解方法是解
答本题的关键．
25．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) 或 ；
(2)
【分析】（1）方程两边直接开平方，得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）将方程变形为 ，然后利用立方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：
开平方得， ，即 或 ，
解得 或 ；
（2）解：
移项得， ，
方程两边同除以3，得 ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，理解掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
26．求下列各式中x的值．
(1)
(2)
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）先将方程移项，然后根据平方根的定义即可求解；
（2）先将方程移项，然后根据立方根的定义即可求解．
【详解】（1） ，
，
，
，
解得： 或 ；
（2） ，
，，
解得： ．
【点睛】本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．平
方根：如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算
术平方根．立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根．
27．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）运用直接开平方求解；
（2）先移项，再系数化为1，然后运用求立方根法求解．
【详解】（1）解：
，
或 ，
， ；
（2）解： ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查利用平方根与立方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根与立方根是解题的关
键．
28．求下列各式中的x(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）直接根据平方根的定义去掉括号，得到两个一元一次方程，求解即可；
（2）先将方程变形，再开立方求解即可．
【详解】（1）解：
∴ 或
解得： ， ；
（2）
解得： .
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的概念解方程，熟练掌握相关定义是解题的关键．
29．解方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)【分析】(1)根据求一个数的平方根，即可求得；
(2)根据求一个数的立方根，即可求得．
（1）
解：由原方程得： ，
，
解得 或 ；
（2）
解： ，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根及立方根的应用，熟练掌握和运用求一个数的平方根及立
方根的方法是解决本题的关键．
30．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) 或6
(2)
【分析】（1）方程整理后，利用平方根性质计算即可求出解；
（2）利用立方根性质计算即可求出解．
（1）
解：
∴ ，
∴ ，
解得： 或6；（2）
解：
∴ ，
解得： ．
【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
31．求x的值
(1)
(2)
【答案】(1)x= ；
(2) ．
【分析】（1）整理后，根据立方根，即可解答；
（2）整理后，根据平方根，即可解答．
（1）
解： ，
∴ ，
∴x+1= ，
∴ ；
（2）
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了立方根、平方根，解题的关键是熟记平方根的定义．平方根的定义：如果一
个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．32．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)x=3或 ；
(2)x=2
【分析】（1）根据平方根的定义解决此题；
（2）根据立方根的定义解决此题．
（1）
解：∵ ，
∴ ．
∴x=3或 ；
（2）
解：∵ ，
∴ ．
∴x=2．
【点睛】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握立方根以及平方根的定义是解决本题的关键．
33．解方程
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先移项，两边都除以4，再利用平方根的定义求解；
（2）直接根据立方根的定义求解．
（1）
解：
解得： ；（2）
解：
解得： .
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键，
注意正数的平方根有两个，且互为相反数．
34．解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可求解；
（2）先移项，然后两边同时除以3，进而根据立方根的定义解方程即可求解．
（1）
解： ，
，
解得 或 ；
（2）
解： ，
，
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．
35．解下列方程
(1) ．(2) ．
【答案】(1)x＝﹣2，x＝4
1 2
(2)x＝﹣1.8
【分析】（1）先系数化为1，再运用平方根的定义求解即可；
（2）移项，系数化为1，再运用立方根的定义求解即可．
（1）
，
系数化为1得（x﹣1）2＝9，
开平方得x﹣1＝±3，
解得x＝﹣2，x＝4．
1 2
（2）
，
∴ ，
开立方得 ，
解得x＝﹣1.8．
【点睛】本题主要考查了立方根和平方根，熟记定义是解题的关键．
36．求下列各式中的x：
(1)
(2) ．
【答案】(1) ，或
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义进行计算即可；
（2）根据立方根的定义进行计算即可．
（1）∴ ，或
（2）
∴
【点睛】本题考查了立方根和平方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
37．利用平方根（或立方根）的概念解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先移项，然后根据平方根解方程即可；
（2）根据立方根解方程即可．
（1）
解：
，
∵ ，
∴ 或 ；
（2）
解：∴ ．
【点睛】本题主要考查利用平方根与立方根解方程，熟练掌握平方根与立方根是解题的关键．
38．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程化为 ，再利用平方根的定义即可求解；
（2）将方程变形为 ，然后利用立方根的定义即可求解．
（1）
解： ，
方程两边同除以2，得 ，
解得 ；
（2）
解：
方程两边同除以3，得 ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，理解掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
39．求下列各式中的x
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)x＝±(2)x＝0
【分析】（1）移项，系数化成1，再根据平方根的定义求出即可；
（2）系数化成1，再根据立方根定义求出即可．
（1）
解：将 移项得
，
两边除以25得
，
开平方得
；
（2）
解：将 开立方得
，
．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的应用，能理解平方根和立方根定义是解此题的关键．
40．求下列各式中x的值．
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根的性质开立方解方程即可；
（2）利用平方根的性质开平方解方程即可．
（1）
解：由 得： ，
解得： ；
（2）
解：由 得： ，解得： ．
【点睛】本题考查解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义和性质是解答的关键，注意开平方时
有两个解．
41．求满足条件的 的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过移项、系数化为1、开平方进行求解；
（2）通过移项、开立方进行求解．
（1）
解：
∴
（2）
解：
．
【点睛】此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方
程的方法求解．
42．求下列各式中的x：
(1)(2)
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫a的平方根，即可求得x
的值；
（2）利用立方根的定义：如果一个数的立方等于a，这个数就叫a的立方根，即可求得x的值．
【详解】（1）解：∵
∴ 或 ，
∴ 或 ．
（2）解：∵
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查利用平方根和立方根的定义解方程：注意一个正数的平方根有两个，一个数的
立方根只有一个．
43．求下列各式中的x．
(1)x2＝49；
(2) ．
【答案】(1)x=±7
(2)y=11或y=－5
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可．
（2）根据平方根的定义计算即可．
（1）
x²=49
x= ；
（2）
(y−3) =64y－3=±8
y=11或y=－5．
【点睛】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的计算是解决该问题的关键．
44．求下列式子中的 的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义，可得答案：
（2）根据立方根的定义，可得答案．
（1）
解：
或 ；
（2）
解：
．
【点睛】本题考查了解方程，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．
45．求满足下列条件的 的值
(1) ；
(2) ．【答案】(1) 或
(2)
【分析】利用平方根定义，即一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫
做 的平方根，以及立方根的定义，即一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个
数 就叫做 的立方根，进行求解即可．
（1）
解： ，
，
开方得： ，
则 或 ；
（2）
解： ，
，
开方得： ，
．
【点睛】本题考查利用平方根、立方根的定义解方程，灵活运用整体思想是解题的关键．
46．求下列各式中的x的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用平方根解方程即可得；
（2）利用立方根解方程即可得．
（1）
解： ，，
或 ，
或 ．
（2）
解： ，
，
．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
47．求出下列等式中x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．
（1）
解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程，熟知平方根和立方根的求解方法是解题的关键．
48．求下列各式中的x的值
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【分析】（1）开平方根，即可求出答案；
（2）先移项整理，然后开立方根，即可求出答案．
（1）
解：整理，得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 .
（2）
解：整理得 ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查了利用平方根、立方根求未知数的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进
行化简．
49．求下列各式中x的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求平方根的方法解方程即可
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键．
50．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)x＝
【分析】（1）移项后直接开平方求解；
（2）方程两边同时开立方即可求解．
（1）
解：
4x＝ 7
（2）
∵ ＝64
∴2x﹣1＝4
∴x＝【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．关键是熟记一个正数有两个平方根，它们互为相反
数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立
方根是负数，0的立方根是0．
