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专题 11 线段上的动点与几何图形动角的探究问题之六大题型
线段上动点求时间问题
例题：（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有 ， ， ， 四个点， ，
， ．
(1)线段 ______
(2)动点 ， 分别从A点， 点同时出发，点 沿线段 以3 /秒的速度，向右运动，到达点
后立即按原速向A点返回；点 沿线段 以1 /秒的速度，向左运动； 点再次到达A点时，
两点同时停止运动．设运动时间为 （单位：秒）
①求 ， 两点第一次相遇时，运动时间 的值；
②求 ， 两点第二次相遇时，与点A的距离．
【变式训练】
1．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）如图， 的边 上有一动点P，从距离O点18cm
的点M处出发，沿线段 ，射线 运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线 运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．
(1)当点P在 上运动时，t为何值，能使 ？
(2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，
求出t的值；如果不能，请说出理由；
(3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线 上，t为何值时，它们相距1cm．
线段上动点定值问题
例题：（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）线段 和 在数轴上运动，A开始时与原点重合，
且
(1)若 ，且B为线段 的中点，求线段 的长．
(2)在（1）的条件下，线段 和 同时开始向右运动，线段 的速度为5个单位/秒，线段
的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有 ，求t的值．
(3)在（1）的条件下，若线段 和 同时开始向左匀速运动，线段 的速度为m个单位/秒，
线段 的速度为n个单位/秒，设M为线段 中点，N为线段 中点，此时线段 的长为定
值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】当点C在线段AB上， 时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作 ．
例如，点C是AB的中点时，即 ，则 ；
反之，当 时，则有 ．
因此，我们可以这样理解：“ ”与“ ”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若 ， ，则 ________；若 ，则
________．
(2)【拓展与延伸】
已知线段 ，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度
从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到
达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时， 的值是个定值，求m的
值；
②t为何值时， ．
几何图形中动角定值问题例题：（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知 ， ． 平分 ，
平分 ．
(1)如图1，当 重合时，求 的值；
(2)如图2，当 从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（ ），在旋转
过程中 的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值：若发生变化，
请说明理由．
(3)在（2）的条件下，当 时，求t的值．
【变式训练】
1．（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）如图， ， ，射线 平分
，射线 平分 （本题中的角均为大于 且小于 的角）．
(1)如图，当 ， 重合时，求 的度数；(2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是否为定值？
若是定值，求出 的值，若不是，请说明理由．
(3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有怎样的
数量关系？
几何图形中动角数量关系问题
例题：（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点
在直线 上， ， 分别平分 ， ，可求得 ．（不用求解）
【问题改编】点 在直线 上， ， 平分 ．
(1)如图2，若 ，求 的度数；
(2)将图2中的 按图3所示的位置进行放置，写出 与 度数间的等量关系，并写
明理由．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．(1)①探究 与 的关系：因为 ，所以
，即 ______ ．
②探究 与 的关系：因为 ，
，所以 ______．
(2)若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置：
①直接写出 与 的关系：______；
②探究 与 的关系，并仿照（1）①中的探究写出推过程．
几何图形中动角求运动时间问题
例题：（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，点O是直线 上一点．将射线 绕点O逆
时针旋转，转速为每秒 ，得到射线 ；同时，将射线 绕点O顺时针旋转，转速为 转速
的3倍，得到射线 ．设旋转时间为t秒（ ）．
(1)当 秒时（如图1），求 的度数；
(2)当射线 与射线 重合时（如图2），求t的值；
(3)是否存在t值，使得射线 平分 ？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．【变式训练】
1．（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）如图，直线 与EF相交于点O， ，将一直
角三角尺 （含 和 ）的直角顶点与O重合， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)图中互余的角有 对；
(3)将三角尺 以每秒 的速度绕点O顺时针旋转，同时直线 以每秒 的速度绕点O顺时针
旋转，设运动时间为 ．
①当t为何值时，直线 平分 ．
②当 时，直线 平分 ．
线段与角中动态的新定义型问题
例题：（2022上·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）如图①，点C在线段 上，图中共
有3条线段： 和 ，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段 的“巧点”．
(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
②若线段 ，C是线段 的“巧点”，则 _________．（用含m的代数式表示出所有可
能的结果）
(2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为 ，点B所表示的数为20．动点P从点A
出发，以每秒 的速度沿 向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒 的速度沿 向
终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，
求当t为何值时，点Q恰好是线段 的“巧点”．
【变式训练】
1．（2023上·山东济南·七年级统考期末）新定义：如果 的内部有一条射线 将 分
成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线 为 的n倍分线，例如，如
图1， ，则 为 的4倍分线． ，则 也是 的4
倍分线．
(1)应用：若 ， 为 的二倍分线，且 则 ________°；
(2)如图2，点A，O，B在同一条直线上 为直线 上方的一条射线．
①若 ， 分别为 和 的三倍分线，（ ， ）已知，，则 ____________°；
②在①的条件下，若 ， 的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；
若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知 ，且 ， 所在射线恰好是分别为 和 的三倍分线，
请直接写出 的度数．
一、解答题
1．（2022上·江苏南京·七年级统考期末）如图， 是直线 上一点，射线 绕点 顺时针旋转，
从 出发，每秒旋转 ，射线 绕点 逆时针旋转，从 出发，每秒旋转 ，射线 与
同时旋转，设旋转的时间为 秒，当 旋转到与 重合时， 、 都停止运动．
(1)当 时， ；
(2)当射线 与 旋转到同一条直线上时，求 的值；
(3)当 时， ．
2．（2023上·湖南株洲·七年级统考期末）如图， 是 的平分线， 是 的平分线．(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数；
(3)你发现 与 有什么等量关系？请你给出结论并予以说明．
3．（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，
且 ，
(1)填空： ， ；
(2)在线段 上有一点C，满足 ，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以
每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度
沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当 时， 的值是否发生变化？若不变求出其
值；若变化，写出范围．
4．（2023上·福建莆田·七年级统考期末）如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．观察分
析：(1)若 ，则 ；
若 ，则 ；
(2)请你猜想 与 有何关系，并说明理由；
(3)如图2，若将两个同样的三角尺 锐角的顶点A重合在一起，请你猜想 与 有何关
系，请说明理由；
(4)如图3，如果把任意两个锐角 、 的顶点O重合在一起，已知 ，
都是锐角），请你直接写出 与 的关系．
5．（2023上·贵州黔东南·七年级统考期末）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B
在A点的左边，且 ．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴
向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，
规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)【解决问题】：
①当 秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；
②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)【探索问题】：
若 为 的中点， 为 的中点，直接写出线段 与线段 的数量关系．
6．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图1，平面上顺时针排列射线 ， ，， ， ， 在 外部且为钝角， ，射线 ，
分别平分 ， （题目中所出现的角均小于 且大于 ）．
(1)若 ， ______， ______；
(2) 的值是否随着 的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理
由；
(3)在（1）的条件下，将 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转得到 （ ， 的对应
边分别是 ， ），若旋转时间为t秒（ ），当 时，求出t的值．
7．（2023上·四川成都·七年级统考期末）在同一平面内，以点 为公共顶点的 和 ，
满足 ，则称 是 的“二倍关联角”．已知 （本题所涉及
的角均小于平角）．
(1)如图 ，若 ， 在 内，且 是 的“二倍关联角”，则
；(2)如图 ，若射线 、 同时从射线 出发绕点 旋转，射线 以 秒的速度绕点 逆时
针方向旋转，到达直线 后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线 以 秒的
速度绕点 逆时针方向旋转，射线 到达直线 时，射线 、 同时停止运动，设运动时间
秒，当 为何值时， 是 的“二倍关联角”；
(3)如图 ， 保持大小不变，在直线 上方绕点 旋转，若 是 的“二倍关联
角”，设 ，请直接用含 的代数式表示 的大小．
8．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：
（1）已知：如图线段 长为 ，点 从点A以 的速度向点 运动， 点运动时间为 ，
则 ______， ______
（2）已知：如图，在长方形 中， ， ，动点 以 的速度从A点沿
着 运动，运动时间为 ，用含 的式子表示 ______
拓展与延伸：
（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点 从点 出发，沿着线段 向点 运动，速度为
， 、 同时出发，运动时间为 ．其中一点到达终点 ，另一个点也停止运动．当点 在上运动时， 为何值时， ？
9．（2022上·全国·七年级期末）新定义问题
如图①，已知 ，在 内部画射线 ，得到三个角，分别为 、 、
．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线 为 的“幸运线”．
（本题中所研究的角都是大于 而小于 的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①， ，射线 为 的“幸运线”，则 的度数为_______；
【解决问题】
（3）如图②，已知 ，射线 从 出发，以每秒 的速度绕 点逆时针旋转，同
时，射线 从 出发，以每秒 的速度绕 点逆时针旋转，设运动的时间为 秒（ ）．
若 、 、 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所
有可能的 值．10．（2023上·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段 上，且 时，我们称
n为点C在线段 上的点值，记作 ．如点C是 的中点时，则 ，记作
；反过来，当 时，则有 ．因此，我们可以这样理解： 与
具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点C在线段 上，若 ，则 _______；若 ，则 _______；
(2)如图2，已知线段 ，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为
，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为 ．请用含有t的式子表示
和 ，并判断它们的数量关系．
拓展运用：
(3)已知线段 ，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度
分别为 和 ，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运
动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式 成立．
