文档内容
第 02 讲 二次根式的乘除（4 个知识点+4 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
① ≥0； a≥0（双重非负性）．
②（ ）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③ ＝|a|＝ （算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝ • （a≥0，b≥0） ＝ （a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把
被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中
每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
知识点2．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数
中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
知识点3．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： ＝ • （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： • ＝ （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质： ＝ （a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 • ＝ （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a
＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（ ）×（ ）≠﹣4×﹣9；同样的
在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．知识点4．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：① ＝ ＝ ；② ＝ ＝ ．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如： ﹣ 的有理化因式可以是 + ，也可以是a（ + ），这里的a可以是
任意有理数．
知识复习
一．二次根式的性质与化简（共19小题）
1．（2023秋•东平县期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋•衡阳期末）已知实数 在数轴上的对应点位置如图，则化简
的结果是
A． B． C．1 D．
3．（2023秋•曲阳县期末）若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2023秋•雨花区期末）计算 的结果为
A． B． C． D．25．（2023春•蓬莱区期末）化简二次根式 得
A． B． C． D．
6．（2023秋•秀英区校级期中）若 ，则实数 在数轴上的对应点一定在
A．原点左侧 B．原点右侧
C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧
7．（2023 春•兰陵县期末）实数 ， ， 在数轴上的对应点如图所示，化简
的结果是
A． B． C． D．
8．（2024•沙坪坝区校级开学）表示有理数 ， ， 的点在数轴上的位置如图所示，请
化简 ．
9．（2024•渝中区校级开学）若 ，且 ，则 的值是 ．
10．（2023秋•方城县期末） ．
11．（2024•垫江县开学）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： +|b
﹣2|+|b﹣a|＝ ．
12．（2023秋•隆回县期末）当 时，化简： ．
13．（2023•平潭县校级开学）二次根式 的值等于 ．
14．（2023•冷水滩区校级开学）如图，已知A、B、C三点分别对应数轴上的数a、b、c，那么 ＝ ．
15．（2023 春•金乡县期末）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简：
．
16．（2023秋•怀化期末）先阅读下列解答过程：
形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数 ， ，使 ， ，即
，那么便有 ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，
由于 ， ，即 ，
所以 ．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）化简： （请写出计算过程）；
（3）化简： ．
17．刘劦思在《文心雕龙》中说：“造化赋形，支体必双；神理为用，事不孤立；夫心生
文辞，远裁还虑，高下相须，自然成对．”在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关
问题，比如 的对偶式是 ，可以用来无理式的有理化．请运用上述方法解决以下问题：
（1）已知实数 ， 满足 ，求 的值．
（2）求不超过 的最大整数．
18．（2022秋•惠民县期末）像 ， 这样的根式叫做复合二次根式．
有 一 些 复 合 二 次 根 式 可 以 借 助 构 造 完 全 平 方 式 进 行 化 简 ， 如 ：
．
再如： ．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ；
（2）化简： ；
（3）若 ，且 ， ， 为正整数，求 的值．
19．（2022秋•市中区期末）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算： （仿照上式写出过程）
二．最简二次根式（共5小题）20．（2022秋•丰城市校级期末）下列二次根式： 是最简二
次根式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
21．（2023秋•南安市期末）写出一个最简二次根式 ．
22．（2022秋•思明区校级期末）已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，
则 ．
23．（2023春•莱阳市期中）已知 ， ， ，其中 ，
为最简二次根式，且 ，求 的值．
24．（2018春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式
（1）
（2）
（3）
三．二次根式的乘除法（共10小题）
25．（2023秋•桂平市期末）下列运算正确的是
A． B． C． D．
26．（2023秋•沈丘县期末）若 成立，则 的值可以是
A． B．0 C．2 D．3
27．（2023春•城区校级期中）化简 结果为
A．0 B． C． D．428．（2022秋•市中区期末）等式“ ”中，括号内应填入
A．6 B．3 C． D．
29．（2023春•禹州市期中）计算 的结果是
A． B． C． D．
30．（2023春•交城县期末）观察下列各组式子：
① ， ；
② ， ；
③ ， ．
可猜想得到： ，上述探究过程体现的数学思想方法是
A．从特殊到一般 B．类比 C．转化 D．公理化
31．（2023 秋•昌黎县期末）小明做数学题时，发现 ； ；
； ； ；按此规律，若 ， 为正整
数），则 ．
32．（2023秋•金山区期末）计算： ．
33．（2023春•大化县期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问
题
化简： ．解：隐含条件 ，解得： ．
．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 ．
【类比迁移】
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（ 3 ） 已 知 ， ， 为 的 三 边 长 ． 化 简 ：
．
34．（2023春•岳池县期末）先来看一个有趣的现象： ，这里
根号里的因数2经过适当的演变，3竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为
“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如： 、 等等
（1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证；
（2）你能只用一个正整数 来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
四．分母有理化（共8小题）
35．（2023秋•山亭区期末）陈老师在黑板上写了一个式子： ，“□”中
的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
36．（2023•中原区校级开学）从“+、﹣、×、÷”中选择一种运算符号，填入算式“（
）□ ”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
37．（2023春•巴彦县期中）从“ ， ， ， ”中选择一种运算符号，填入算式“
”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是
A． B． C． D．
38．（2023秋•漳州期末）化简： ．
39．（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
按上述规律，计算 ．
40．（2023秋•玉门市期末）计算： ； ．
41．（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 这样的式子，其实我们还可以将其进一
步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
参照上面的方法化简： ．
42．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：
；
；
．
（1）求 的值；
（2）计算： ．
强化训练
一、单选题
1．（2024·全国·八年级假期作业）观察数据并寻找规律： ， ， ， ，
……，则第2021个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024下·全国·八年级专题练习）下列推理过程中，对应符号表示正确的是（ ）
已知 ，用含a，b的式子表示 ．
解： ，
，
．
A．“ ”代表 B．“*”代表0.04，“★”代表0.02C．“ ”代表50，“★”代表2 D．“*”代表2
3．（2024下·全国·八年级专题练习） 的倒数是（ ）
A． B． C．－6 D．
4．（2024下·全国·八年级专题练习）计算 （ ）的结果是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024下·全国·八年级专题练习）在解决如下问题“已知 ， ，用含 ，
的代数式表示 ”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法：
甲： ．
乙： 因为 ，所以 ．
对于这两种解法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
6．（2024下·全国·八年级专题练习）以下各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·八年级竞赛）若 ，其中 都是
整数，则 的值为（ ）．
A． B．4 C．6 D．88．（2024下·全国·八年级专题练习）与根式 的值相等的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024下·全国·八年级专题练习）若 是最简二次根式，则m，n的值为
（ ）
A．0， B． ，0 C．1， D．0，0
10．（2022下·湖北省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）已知n是正整数， 是整数，
则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．（2024下·江西·八年级专题练习）计算： ．
12．（2024下·全国·八年级专题练习）计算 ．
13．（2024下·八年级课时练习）计算： ÷ =
14．（2024下·全国·八年级专题练习）从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算
式 里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结
果）
15．（2024下·全国·八年级专题练习）有一个密码系统，其原理如下面的框图所示，当输
出的值为 时，输入的 ．
16．（2024下·全国·八年级专题练习）若 是最简二次根式，写出一个符合条件的x的
值： ．17．（2024下·全国·八年级专题练习）已知 ．
（1）将 化为最简二次根式是 ；
（2）若 ，则“■”表示的数是 ．
18．（2024下·全国·八年级专题练习）计算： ．
三、解答题
19．（2024下·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ．
20．（2024下·八年级课时练习）计算：
(1)
(2)
21．（2024·全国·八年级假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)(4) ．
22．（2024·全国·八年级假期作业）观察以下等式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________________．
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并给出证明过程．
23．（2024·全国·八年级假期作业）化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
24．（2024下·全国·八年级专题练习）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？
为什么？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
25．（2024下·全国·八年级专题练习）计算
(1)
(2)26．（2024下·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
