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第 02 讲 勾股定理的逆定理
【题型1：勾股定理的逆定理的运用】
【题型2：直角三角形的判断】
【题型3：勾股定理的逆定理应用】
【题型4：勾股数的应用】
考点1：勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三
角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否
为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的
c2 a2 b2
直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐
c
角三角形，其中 为三角形的最大边.
【题型1：勾股定理的逆定理的运用】
【典例1】（2023春•怀柔区期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（
）A．3，4，6 B．2， ， C．1，2， D．6，8，10
【答案】D
【解答】解：A、∵32+42＝25，62＝36，
∴32+42≠62，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵22+（ ）2＝7，（ ）2＝5，
∴22+（ ）2≠（ ）2，
∴不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵12+（ ）2＝3，22＝4，
∴12+（ ）2≠22，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵62+82＝100，102＝100，
∴62+82＝102，
∴能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2023春•郾城区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形是（ ）
A． ， ， B．1，2，3
C．0.3，0.4，0.5 D． ， ，
【答案】C
【解答】解：A、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，故符合题意；D、（ ）2≠（ ）2+（ ）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2023春•临潼区期末）在以下列数值为边长的三角形中，不是直角三角形的
是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17
【答案】C
【解答】解：A、因为52+122＝132，所以是直角三角形，不符合题意；
B、因为62+82＝102，所以是直角三角形，不符合题意；
C、因为72+232≠252，所以不是直角三角形，符合题意；
D、因为82+152＝172，所以是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（2023春•长寿区期末）若△ABC的三边长为a，b，c，则下列不是直角三角
形的是（ ）
A．a＝6，b＝7，c＝8 B．a＝1， ，
C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝3，b＝4，c＝5
【答案】A
【解答】解：A、∵a2+b2＝62+72＝85，c2＝82＝64，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故A符合题意；
B、∵a2+c2＝12+（ ）2＝3，b2＝（ ）2＝3，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝1.52+22＝6.25，c2＝2.52＝6.25，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
【题型2：直角三角形的判定】
【典例2】（2023春•庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝
∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：
12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①由∠A＝∠B﹣∠C，可知：∠B＝90°，是直角三角形．
②由a2＝（b+c）（b﹣c），可得a2+c2＝b2，是直角三角形．
③由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可知不是直角三角形．
④由a：b：c＝5：12：13，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形．
故选：C．
【变式2-1】（2023春•江津区期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、
c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝1：2：3 B．a2＝b2+c2
C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【答案】A
【解答】解：A、∵a：b：c＝1：2：3，
设a＝x，b＝2x，c＝3x，
∵（x）2+（2x）2≠（3x）2，
∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵a2＝b2+c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠B+∠C＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°× ＝90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【变式2-2】（2023春•山亭区期中）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c
＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条
件有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故①正确；
②∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；故②正确；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故③正确；
④∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°，
∴△ABC不是直角三角形；故④错误；
综上：能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③；
故选：A．
【变式2-3】（2023春•北京期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝b＝1，c＝
【答案】B【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°× ＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2＝12+12＝2，c2＝（ ）2＝2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【典例3】（2023春•北京期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为
1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）△ACD为直角三角形，理由见解答；
（2）四边形ABCD的面积为 ．【解答】解：（1）△ACD为直角三角形，
理由：由题意得：AC2＝32+32＝18，
CD2＝22+22＝8，
AD2＝12+52＝26，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD＝90°；
（2）在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC＝90°，
∴S ＝ AB•BC＝ ×3×3＝ ；
Rt△ABC
在Rt△ACD中，AC＝ ，CD＝ ，
∴S ＝ AC•CD＝ ×3 ×2 ＝6
Rt△ACD
∴S ＝S +S ＝ +6＝ ，
四边形ABCD Rt△ABC Rt△ACD
∴四边形ABCD的面积为 ．
【变式3-1】（2023春•良庆区期末）计算：如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的
三个顶点都在小正方形的格点上．
（1）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点C到AB边的距离．
【答案】（1）三角形ABC不是直角三角形，理由见解答；
（2）点C到AB边的距离为 ．
【解答】解：（1）三角形ABC不是直角三角形，
理由：由题意得：AC2＝12+22＝5，AB2＝22+32＝13，
BC2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2≠AB2，
∴三角形ABC不是直角三角形；
（2）设点C到AB边的距离为h，
由（1）可得AB＝ ，
∵△ABC的面积＝ AB•h＝3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3，
∴ h＝9﹣1﹣ ﹣3，
解得：h＝ ，
∴点C到AB边的距离为 ．
【变式3-2】（2023春•绵阳期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝
12，BD＝9．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求点D到AC、BC的距离之和．
【答案】（1）见解析；
（2）16.8．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，
∴BC＝15；
在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2，即122+AD2＝202，
∴AD＝16，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，
S ＝S +S ，
△ADC △ADE △CDE
，即20DE＝16×12，
∴DE＝9.6，
，即15DF＝9×12，
∴DF＝7.2，
∴DE+DF＝9.6+7.2＝16.8．
【变式3-3】（2023春•泸县校级期中）如图所示，每个网格正方形的边长为 1cm，△ABC
的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）求△ABC的周长．
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．
（3）求边AB上的高．
【答案】（1） ；（2）锐角三角形，3.5；（3） ．
【解答】解：（1）由勾股定理得：AC＝ ＝ ，AB＝ ＝ ，BC
＝ ＝ ，则△ABC的周长为 ；
（2）
∵AC＝ ，AB＝ ，BC＝ ，
∴AC2+BC2≠AB2，
如图，△ACD中，AC2+CD2＝（ ）2+（ ）2＝10，AD2＝（ ）2＝
10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠DCA＝90°，
∴∠ACB＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，
△ABC的面积S＝3×3﹣ ×1×3﹣ ×1×2﹣﹣ ×2×3＝3.5；
（3）设C到AB的距离为a，
则 ×AB×a＝3.5，
∵AB＝ ，
∴a＝ ，
∴点C到AB边的距离是 ．
【题型3：勾股定理的逆定理应用】
【典例4】（2023春•虞城县期末）如图，等腰三角形 ABD的腰长为13cm，底边BD＝
10cm，C为其内部一点，且BC＝8cm，CD＝6cm．
（1）判断△BCD的形状并说明理由；（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）36cm2．
【解答】解：（1）直角三角形，理由如下：
在△BCD中，CD＝6，BC＝8，BD＝10，
∴CD2+BC2＝62+82＝100＝102＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形；
（2）由（1）知：△BCD是直角三角形且∠C＝90°，
∴ ，
过点A作AE⊥BD于E，
根据等腰三角形“三线合一”可知：点E为BD中点，
∴BE＝DE＝5，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AE＝ ＝12，
∴ ，
∴阴影部分面积为＝S ﹣S ＝36（cm2）．
△ABD △BCD
【变式5-1】（2023春•惠城区校级期中）如图，已知 AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝
13，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
【答案】四边形ABCD的面积为36．【解答】解：如图所示，连接AC，
∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，
∴△ABC是直角三角形，
∴ ， ，
∵CD＝12，DA＝13，AC＝5，52+122＝132，即AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，
∴ ，
∵S ＝S +S ，
四边形ABCD △ABC △ACD
∴S ＝6+30＝36，
四边形ABCD
∴四边形ABCD的面积为36．
【变式6-2】（2023春•南开区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝
7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：∠D＝90°；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）234．
【解答】（1）证明：连接AC，∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，
即∠D＝90°；
（2）解：∵S ＝S +S ，
四边形ABCD △ABC △ADC
∴S ＝ •BC+ AD•CD，
四边形ABCD
＝
＝234．
【变式4-3】（2023春•休宁县期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝
12，CD＝3，AD＝4．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）AC的长为5；
（2）四边形ABCD的面积为36．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝17，BC＝8，
∴AC＝ ＝ ＝5，∴AC的长为5；
（2）∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
＝ AD•CD+ AC•BC
＝ ×4×3+ 12×5
＝6+30
＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
考点2：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【题型4：勾股数】
【典例5】（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13
【答案】A
【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股数，符合题意；
B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；
C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股数，不符合题意；
D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
【变式5-1】（2023秋•福田区校级期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载
于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10
【答案】D
【解答】解：A、22+32≠42，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，故不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、82+62＝102，故是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式5-2】（2023秋•六盘水期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．1， ， C．7，24，25 D．2，3，4
【答案】C
【解答】解：A．因为 ， 不是整数，所以不是勾股数，此项不符合题意；
B．因为 ， 不是整数，所以不是勾股数，不符合题意；
C．因为72+242＝252，所以是勾股数，此项符合题意；
D．因为22+32≠42，所以不是勾股数，此项不符合题意．
故选：C．
【题型5：勾股定理的应用】
【典例6】（2022秋•古县期末）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上．他先拉住风筝线，
垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好
接触地面．求风筝距离地面的高度AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设AB＝x米，则AC＝（x+1）米，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
【变式6-1】（2023秋•肇东市校级期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯
子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为： ＝24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25＝ ，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【变式6-2】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民
放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了
测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②
根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为
1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）21.6米；
（2）8米．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12米，
∴DM＝8米，
∴BM＝ ＝ ＝17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
【变式6-3】（2023秋•东台市期中）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个
土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问：（1）在离A站多少km处？
（2）判定三角形DEC的形状．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km；
（2）△DEC是直角三角形，理由如下：
∵△DAE≌△EBC，
∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，
∠DEA+∠D＝90°，
∴∠DEA+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
即△DEC是直角三角形．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•秦淮区期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，12，13
【答案】D
【解答】解：A、12+22＝5≠32，故不能组成直角三角形，不符合题意；
B、22+32＝13≠42，故不能组成直角三角形，不符合题意；
C、42+52＝41≠62，故不能组成直角三角形，不符合题意；
D、52+122＝169＝132，故能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
2．（2023秋•公主岭市期末）如图，一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面
离木杆底端4米处，木杆折断之前的高度为（ ）
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
【答案】B
【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，
∴折断的部分长为 ＝5（米），
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故选：B．
3．（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13
【答案】A
【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股数，符合题意；
B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；
C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股数，不符合题意；
D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
4．（2022秋•运城期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条
件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25
【答案】B
【解答】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC
为直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝ ×180°＝75°，故不能判定△ABC是直
角三角形；
C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；
故选：B．
5．（2022秋•古县期末）如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A，
B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得AB＝100m，BC
＝60m，AD＝20m，EC＝10m，则池塘的宽度DE是（ ）
A．80m B．60m C．50m D．40m
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝100m，BC＝60m，
∴AC＝ ＝ ＝80（m），
∴DE＝AC﹣AD﹣EC＝80﹣20﹣10＝50（m），
∴池塘的宽度DE为50米．
故选：C．
6．（2022秋•萨尔图区期末）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯
表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米 B．7米 C．8米 D．9米【答案】B
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝ ＝4，
∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4＝7米．
故选：B．
7．（2022秋•普宁市期末）如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，
打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
【答案】D
【解答】解：根据勾股定理求得，AB＝ ＝10（m），
∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
8．（2023春•益阳期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子
底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将
梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】A
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．
故选：A．
9．（2022秋•东台市期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然
后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
【答案】A
【解答】解：∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝ AB＝4cm，
在Rt△ACD中，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：
AD＝ ＝5（cm）；
∵CD⊥AB，
∴∠DCA＝∠DCB＝90°，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴AD＝BD＝5cm，
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．
10．（2023秋•法库县期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12
米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．13米 D．14米
【答案】C
【解答】解：
建立数学模型，两棵树的高度差AC＝10﹣5＝5m，间距AB＝DE＝12m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝ ＝13m．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．（2023秋•丰顺县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB
＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高 1.6米的
学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则
AD＝ 1. 5 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝ ＝ ＝1.5（米）
故答案为：1.5．
12．（2023秋•法库县期末）如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为 4cm，3cm，
12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的长度为h cm，则
h的取值范围为 3 ≤ h ≤ 4 ．
【答案】3≤h≤4．
【解答】解：当吸管放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长＝16﹣12＝4（cm），
当吸管放进盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长＝ ＝5（cm），高为12cm，
由勾股定理得：盒里面吸管长度＝ ＝13（cm），
∴吸管露在盒外的长度最短＝16﹣13＝3（cm），
∴吸管露在盒外的部分h（cm）的取值范围是3≤h≤4，
故答案为：3≤h≤4．
13．（2023 秋•龙港区期末）如图，正方形网格中，点 A，B，C 都在格点上，则
∠CAB+∠ACB＝ 45 ° ．【答案】45°．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，交CB的延长线于D，
又∵AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
故答案为：45°．
14．（2023•双流区开学）如图，强大的台风使一根旗杆断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4
米处，断裂前旗杆总长为8米，则旗杆在离地面 3 米处折断倒下．
【答案】3．
【解答】解：设旗杆在离地面x米处折断倒下．
由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
故答案为：3．
15．（2022秋•河南期末）如图，直角△ABC中，AC＝7，AB＝25，则内部五个小直角三
角形的周长为 5 6 ．【答案】56．
【解答】解：直角△ABC中，
，
五个小直角三角形的周长为：
AC+BC+AB＝7+24+25＝56，
故答案为：56．
三．解答题（共4小题）
16．（2023秋•公主岭市期末）一块田地的形状如图所示，已知AB＝13m，BC＝12m，CD
＝3m，AD＝4m，∠ADC＝90°，求该田地的面积．
【答案】该田地的面积是24m2．
【解答】解：连接AC，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，可得 （m），
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴该田地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积
＝ AC•BC﹣ AD•CD＝ ×5×12﹣ ×4×3
＝30﹣6
＝24（m2），
答：该田地的面积是24m2．
17．（2023春•天山区校级期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠
岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D
的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝ ＝12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），
∴AD＝ ＝ ＝ （米），
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣ （米），
答：船向岸边移动了（12﹣ ）米．
18．（2022秋•姜堰区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交
CB于点E，AD＝3，BD＝ ，CD＝4．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）求点E到AB边的距离．【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴∠ACB＝90°；
（2）解：过点E作EF⊥AB，
∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，
∴CE＝EF，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
即点E到AB的距离为 ．
19．（2023秋•衢江区期中）学过《勾股定理》后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆
AB的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离 CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图
2）．
（1）若旗杆的高度AB＝x米，那么绳子的长度可以表示为 （ x +1 ） 米（用含x的
代数式表示）．
（2）求旗杆AB的高度．
【答案】（1）（x+1）；
（2）旗杆AB的高度为9米．
【解答】解：（1）设AB＝x米，则绳子长为（x+1）米，
故答案为：（x+1）；
（2）在Rt△ACE中，AC＝x米，AE＝（x﹣1）米，CE＝6米，
由勾股定理得：（x﹣1）2+62＝（x+1）2，
解得：x＝9，
答：旗杆AB的高度为9米．
