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专题12 勾股定理的实际应用分类训练（解析版）
专题诠释：本专题总结了最近常考的勾股定理实际应用类型共计二十种。全部精选最新试题，
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类型一 勾股定理之大树折断模型
1．（2022秋•辉县市期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离
树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（ ）
A．20米 B．18米 C．16米 D．15米
思路引领：利用勾股定理进行求解即可．
解：设大树在折断之前的高是xm，
由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，
解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴大树在折断之前的高是18m；
故选：B．
总结提升：本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2022秋•郯城县校级期末）如图，一根竖直的木杆在离地面 3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与
地面成30°角，则木杆折断之前高度约为 m．
思路引领：根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，求出折断后的顶端落在地面上的那段
的高度，再加上竖直的高度，即为木杆折断之前高度．
解：如图，由题意，得：∠BAC＝90°，AB＝3m，∠C＝30°，
则：BC＝2AB＝6m，∴木杆折断之前高度约为：AB+BC＝9m；
故答案为：9．
总结提升：本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握30°角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
3．（2022秋•达川区期末）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面 6米B处折断倒
下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米
思路引领：先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分
的和即可得出结论．
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC=√AB2+AC2=√62+82=10（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．
故选：D．
总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度，再根据
大树的高度＝AB+BC进行解答．
4．（2022秋•泰山区期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．
问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，
抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 x尺，则可列方程
为 ．
思路引领：根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+62＝（10﹣x）2．总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解
决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结
合的思想的应用．
类型二 勾股定理之小鸟飞行距离问题
5．（2022秋•绿园区校级期末）如图，有两棵树，一棵高 8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从
一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．6m B．8m C．10m D．18m
思路引领：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，
运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（m），间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=√82+62=10（m）．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进
行求解．
6．（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球
从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点
C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
思路引领：由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．
解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，
设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，
∵∠AOB＝90°，
∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，
又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，
∴62+（18﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝10（cm）．
答：机器人行走的路程BC是10cm．
总结提升：本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条
件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．
类型三 求河宽
7．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，
实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的
宽度AB．（两岸可近似看作平行）
思路引领：根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．
解：设AB＝x米，则BC＝（x+10）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：m2+702＝（m+10）2，
解得 m＝240，
答：河宽240米．
总结提升：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
类型四 求旗杆高度
8．（2022秋•城关区校级期末）如图所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面
还多了0.8m，当他把绳子下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．
你知道他是怎样算出来的吗？思路引领：设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m，由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解方程即可；
解：设旗杆高为x m，那么绳长为（x+0.8）m，
由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解得x＝9.6．
答：旗杆的高度为9.6 m．
总结提升：本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
9．（2022春•平阴县期末）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子
拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，则可算出旗杆的高度是（ ）米．
A．9 B．11 C．12 D．15
思路引领：设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设旗杆的高度为x米，依题意得：
x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12；
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决
实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键．
类型五 勾股定理之梯子滑动问题
10．（2022秋•烟台期末）一架长5m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为3m．若梯子顶端下滑
1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（ ）
A．1m B．小于1m C．大于1m D．无法确定
思路引领：已知AB，BC，在直角△ABC中即可计算AC，梯子底端水平向外滑动1m，即AC ＝4米，
1A B ＝AB＝5米，在直角△CA B 中，根据勾股定理即可计算CB ，底端滑动的距离为CB ﹣CB．
1 1 1 1 1 1
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5米，BC＝3米，由勾股定理得AC＝4米，
△A BC 中，∠C＝90°，A B ＝5米，A C＝3米，由勾股定理得B C＝4米，
1 1 1 1 1 1
∴BB ＝B C﹣BC＝1（米）．
1 1
∴梯子底端在水平方向上滑动了1m，
故选：A．
总结提升：本题考查的是勾股定理的应用，关键是根据勾股定理解答．
11．（2022秋•长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到
左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜
靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
思路引领：在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，
然后可得CD的长．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√2．42+0．72=2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD=√A'B2-A'D2=√2．52-1．52=2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，故选：D．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．（2022秋•蒲城县期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图
（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，
在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防
车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，
OE的长即为消防车的高3m）．
思路引领：在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．
解：在Rt△ABO中，
∵AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m），
∴AO=√AB2-OB2=√152-92=12（m），
在Rt△COD中，
∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m），
∴OC=√CD2-OD2=√152-122=9（m），
∴AC＝OA﹣OC＝3（m），
答：AC为3m．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2022秋•临汾期末）如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子
DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师
傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处lm．
（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？
（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？F
思路引领：（1）由勾股定理求出DN＝4m，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出梯子底部与墙角的距离，即可得出结论．
解：（1）由题意得：AD＝1m，∠DNE＝90°，DE＝5m，NE＝3m，
∴DN=√DE2-N E2=√52-32=4（m），
∴AN＝AD+DN＝1+4＝5（m），
答：该火车站墙面破损处A距离地面有5m高；
√ 24
（2）梯子顶部到地面的距离为4.8m时，梯子底部与墙角的距离为： 52-( ) 2=1.4（m），
5
则梯子底部需要向墙角方向移动的距离为：3﹣1.4＝1.6（m），
答：梯子底部需要向墙角方向移动1.6m．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型六 解决水杯中筷子的问题
14．（2022秋•张店区校级期末）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为 6cm，高为16cm，现有一
根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）
A．6cm B．5cm C．9cm D．（25﹣2√73）cm
思路引领：吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
解：∵底面半径为半径为6cm，高为16cm，
∴吸管露在杯口外的长度最少为：25-√122+162=25﹣20＝5（厘米）．
故选：B．
总结提升：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再
利用勾股定理解答．15．（2022春•舒城县校级月考）如图，小明有一个圆柱形饮水杯．底面半径是 6cm，高是16cm，上底面
贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24cm的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小
忽略不计）范围是（ ）
A．8≤a≤10 B．4≤a≤8 C．4≤a≤2√73 D．4≤a≤10
思路引领：先画出图形，即△ABC，∠ABC＝90°，则AB＝2×6＝12cm，BC＝16cm，根据勾股定理求得
AC＝20cm，当直吸管按AC位置放置时，露在杯外部分a最短，当直吸管按BC位置放置时，露在杯外
部分a最长，于是有16≤24﹣a≤20，解不等式求出不等式的解集即可．
解：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝16cm，
∵圆柱形饮水杯的底面半径是6cm，
∴AB＝2×6＝12（cm），
∴AC=√AB2+BC2=√122+162=20（cm），
∵16≤24﹣a≤20，
∴4≤a≤8，
∴直吸管露在杯外部分a的长度范围是4≤a≤8，
故选：B．总结提升：此题重点考查勾股定理的应用、圆柱的底面直径、高等知识，正确地作出所需要的辅助线是
解题的关键．
16．（2022秋•海淀区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁
高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
思路引领：首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
17．（2022春•绵阳期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，
长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长
方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（ ）A．（10﹣5√2）cm B．3cm C．（10﹣4√2）cm D．5cm
思路引领：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，根据勾股定理求解即可．
解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI=√AC2+CG2，
而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，
∴GI=√25+52=√50=5√2，
∴GJ长度的最小值为（10﹣5√2）cm．
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出GI的最大值是解题的关键．
类型七 判断受某某因素影响的范围
18．（2022秋•内江期末）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学
生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距
离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 m B．5m C．6m D．8m
思路引领：连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出
AF、CF的长，进而可得AB的长．
解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，
因为测温仪的有效测温距离为5m，
所以AC＝BC＝5m，
又测温仪C与直线AB的距离为3m，
在Rt△ACF中，据勾股定理得：AF=√AC2-CF2=√52-32=4（m），
同理得BF＝4m，
所以AB＝8m，
即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．
故选：D．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决
实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合
的思想的应用．
19．（2022春•宁津县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5
米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离 BC为1.2米，头顶离感
应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6
思路引领：过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），
则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．
解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
6
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米= 米，
5
3
在Rt△ADE中，AD＝1.5米= 米，
2
√ 3 6
由勾股定理得：AE=√AD2-DE2=
( )
2-(
)
2=0.9（米），
2 5
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，故选：D．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（2022春•南平期末）为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所
示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体
温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，
此时人头顶到测温仪的距离AD等于（ ）
A．1.0米 B．1.25米 C．1.2米 D．1.5米
思路引领：过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=√AE2+DE2=√0．62+0．82=1（米），
故选：A．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求
得线段AD的长度．
21．（2022春•沂水县期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎
光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的
距离为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
思路引领：根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，
由勾股定理得AC=√AE2+CE2=√32+42=5（m），
故离门5米远的地方，门铃恰好自动响起．
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
22．（2022秋•张店区校级期末）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公
路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路MN的距离AB＝480米，若宣讲车P周围800米以内能听
到广播宣传，宣讲车P在公路MN上延M到N的方向行驶时．
（1）请问学校A能否听到宣传，请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是256米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传．
思路引领：（1）根据学校A到公路MN的距离为480米＜800，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ=√10002-8002=640米，求得PQ＝1280米，于是得到结论．
解：（1）学校能听到宣传，
理由：∵学校A到公路MN的距离为480米＜800米，∴学校能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响学校，行驶Q点结束对学校的影响，
则AP＝AQ＝800米，AB＝480米，
∴BP＝BQ=√8002-4802=640（米），
∴PQ＝1280米，
∴影响学校的时间为：1280÷256＝5（分钟），
∴学校A总共能听到5分钟的宣传．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
23．（2022秋•开江县校级期末）如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，
且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受
噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
思路引领：（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，
进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．
解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
150×200
∴CD= =120（m），
250
∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED=√EC2-CD2=√1302-1202=50（m），
∴EF＝100（m），
∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
总结提升：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再
利用勾股定理解答．
类型八 求台阶上地毯的长度
24．（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度
至少要（ ）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
思路引领：先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
解：在Rt△ABC中，AC=√AB2-BC2=4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选：C．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解
答本题的关键．
25．（2022秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高 5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，
已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
思路引领：地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾
股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
解：由勾股定理得AB=√AC2-BC2=√132-52=12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
类型九 判断汽车是否超速
26．（2022秋•浑南区月考）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 60
千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正
前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，
判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．思路引领：根据勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶76.8千米，进而得出答案．
解：小汽车已超速，理由如下：
根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC=√AB2-AC2=√402-242=32（米），
∵小汽车1.5秒行驶32米，
∴小汽车行驶速度为76.8千米/时，
∵76.8＞60，
∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出BC的长是解题的关键．
27．（2021秋•南海区月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70
千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正方
50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
（1）求小汽车6秒走的路程；
（2）求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
思路引领：（1）过点A作AD⊥BC，可得AD＝50米，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，则有AE
＝130米，利用勾股定理可求得DE的长，即小汽车6秒所走的路程；
（2）利用速度＝路程÷时间，即可判断．
解：（1）过点A作AD⊥BC，设汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图所示：由题意可得：AD＝50米，AE＝130米，
在Rt△ADE中，
DE=√AE2-AD2
=√1302-502
＝120（米），
答：小汽车6秒走的路程为120米；
（2）小汽车6秒中的平均速度为：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小时），
∵72＞70，
∴小汽车超速了．
总结提升：本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
类型十 根据条件选址问题
28．（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为
两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB
上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距
离．
思路引领：由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形
CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）
km，将BC＝10代入关系式即可求得．
解：∵C、D两村到E站距离相等，
∴CE＝DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．
设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，
将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，
解得x＝15，
∴E站应建在距A站15km处．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．
类型十一 勾股定理之航海问题
29．（2022秋•城关区校级期末）如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母
护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海
里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是
（ ）
A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东 60° D．南偏西 60°
思路引领：直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而
得出答案．
解：由题意可得：BO＝16×1.5＝24（海里），
AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，
则此时：AO2+BO2＝AB2，
故△AOB是直角三角形，
则∠BOA＝90°，
∵∠AOD＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴2号舰的航行方向是：南偏东60°．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△AOB是直角三角形是解题关键．
30．（2022秋•金台区月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以
6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（ ）海里．
A．8 B．10 C．12 D．13
思路引领：根据题意可知∠AOB＝90°，然后求出出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6
（海里），最后根据勾股定理求解即可．
解：∵甲渔船离开港口O向东北方向航行，乙渔船离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB＝90°，
∴出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），
∴AB=√OA2+OB2=√82+62=10（海里），
故选：B．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
31．（2022秋•伊川县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海
里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若
C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
思路引领：首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船
的速度．
解：根据题意得：AB＝12×2＝24，BC＝30，∠BAC＝90°．…（1分）
∴AC2+AB2＝BC2．
∴AC2＝BC2﹣AB2＝302﹣242＝324
∴AC＝18．…（4分）
∴乙船的航速是：18÷2＝9海里/时．…（6分）
总结提升：本题考查了勾股定理的知识及方向角的内容，解题的关键是正确的整理出直角三角形求解．32．（2022秋•青岛期末）如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方
向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17
海里，问乙船的航速是多少？
思路引领：先根据方位角求出∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，然后根据勾股定理求出
AB=√BC2-AC2=√172-82=15，最后根据速度公式算出速度即可．
解：根据题意可知：∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝16×0.5＝8（海里），
在Rt△ABC中AB=√BC2-AC2=√172-82=15（海里），
15
乙船的航速是： =30（海里/时），
0.5
答：乙船的航速是30海里/时．
总结提升：本题主要考查了方位角，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出AB的长度．
类型十二 求最短路径
33．（2021秋•武山县期末）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发
沿着 BC 行走了 700m，到达 D 处，AD 恰为∠CAB 的平分线，则此时这个人到 AB 的最短距离为
（ ）
A．1000m B．700m C．300m D．1700m
思路引领：根据角平分线的性质得出DC＝D点到AB的距离，进而解答即可．
解：∵AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC，
∴DC＝D点到AB的距离，
∵BC＝1000m，BD＝700m，∴DC＝300m，
∴D点到AB的最短距离＝300m，
故选：C．
总结提升：本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
34．（2022秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，
B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新
建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH
＝3.6千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
思路引领：（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（4.8）2+（3.6）2＝36，
BC2＝36，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3.6，CH＝6，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣3.6）2+62，
解这个方程，得x＝6.8，
答：原来的路线AC的长为6.8米．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．35．（2022秋•榆树市期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D
处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站
B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
思路引领：（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
1 1
∴CD= AC×BC÷ ÷AB＝12（km）．
2 2
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD=√BC2-CD2=16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
总结提升：本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用
勾股定理．
类型十三 勾股定理之小船移动问题
36．（2022秋•长安区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另
一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：AC BC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝8米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）思路引领：（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出AC、BC的长，然后根据CE＝AC﹣BC即可求解．
解：（1）∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（BC+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终
保持不变，
∴AC＝BC+CE，
故答案为：＝；
（2）连接AB，则点A、B、F三点共线，
在Rt△CAF中，AC=√AF2+CF2=√122+52=13（米），
∵BF＝AF﹣AB＝12﹣8＝4（米），
在Rt△CBF中，BC=√CF2+BF2=√52+42=√41（米），
∵AC＝BC+CE，
∴CE=AC-BC=(13-√41)（米），
∴男孩需向右移动的距离为(13-√41)米．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．
37．（2022秋•平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的
长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米．
思路引领：在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定
理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB=√BC2-AC2=√172-82=15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD=√CD2-AC2=√100-64=6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准
确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
38．（2022秋•新华区校级期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，
已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米．
（1）求滑道BD的长度；
（2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，则求出DF的长．（精确到0.1米，参考数据：√3≈
1.732）
思路引领：（1）由题意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE，设滑道BD的长度为
x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，由勾股定理得出方程，解方程即可；
4
（2）设AF＝a米，则BF＝2a米，由勾股定理得AB=√3a（米），则√3a＝﹣4，解得a= √3，即可
3
解决问题．
解：（1）由题意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE，
∵BC＝1，CE＝4，
∴AE＝1，AB＝4，
设滑道BD的长度为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+（x﹣1）2＝x2，
17
解得：x= ，
217
答：滑道BD的长度为 米；
2
（2）∵∠BFA＝60°，
∴∠ABF＝90°﹣∠BFA＝30°，
∴BF＝2AF，
设AF＝a米，则BF＝2a米，
∴AB=√BF2-AF2=√(2a) 2-a2=√3a（米），
∴√3a=4，
4
解得：a= √3，
3
4
∴AF= √3（米），
3
17 15
由（1）可知，AD= -1= （米），
2 2
15 4
∴DF=AD-AF= - √3≈5.2（米）．
2 3
答：DF的长约为5.2米．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是
解题的关键．
类型十四 勾股定理之荡秋千问题
39．（2022秋•高新区校级期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点 A处绕着点O经过最低点
B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点
C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
思路引领：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可
求点C与点B的高度差CE．
解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
{∠AFO=∠OGC
∠OAF=∠COG，
AO=OC
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故选：B．
总结提升：考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的
示意图．领会数形结合的思想的应用．
40．（2022秋•市北区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地 0.5米，将它往前推3米时，
踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
思路引领：设OA＝OB＝x米，用x表示出OC的长，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出关于x
的方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设OA＝OB＝x米，
∵BC＝DE＝3米，DC＝1.5米，
∴CA＝DC﹣AD＝1.5﹣0.5＝1（米），OC＝OA﹣AC＝（x﹣1）米，
在Rt△OCB中，OC＝（x﹣1）米，OB＝x米，BC＝3米，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+32，
解得：x＝5，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
41．（2022秋•卧龙区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解
决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，
更因为应用广泛而使人入迷．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），
踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
21 15 9
A． B． C．6 D．
2 2 2思路引领：设绳长为xm，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．
解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
15
解得：x= ，
2
15
∴绳索AC的长是 ．
2
故选：B．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理，运用勾股定理解决问
题．
类型十五 求图形面积问题
42．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．如果∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，如果
要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）
A．5000a元 B．60000a元 C．120000a元 D．150000a元
思路引领：由勾股定理求出BC＝400米，再求出△ABC的面积，从而得出答案．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，
∴BC=√AB2-AC2=√5002-3002=400（米），
1 1
∴S△ABC =
2
AC•BC =
2
×300×400＝60000（平方米），
∴共需要资金为60000a元．
故选：B．
总结提升：此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积的计算，由勾股定理求出BC的长是解题的关键．
43．（2021秋•岱岳区期末）“绿水青山，就是金山银山”，党的十八大以来，生态文明建设，可持续发
展理念深入人心，我们泰安的城市绿化率持续增加．△ABC是某小区一块三角形空地，已知∠A＝
150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在这块空地上种草皮，每平方米草皮费用按120元计算，则这块空地
种植草皮需要资金（ ）元．A．36000 B．24000 C．18000 D．12000
1 1
思路引领：先作△ABC的高BD，求出∠BAD＝30°，再得出BD =
2
AB，再根据S△ABC =
2
•AC•BD求出
三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米120元，即可得出答案．
解：作△ABC的高BD，
∵∠BAC＝150°，
∴∠BAD＝30°，
1 1
∴BD= AB= ×30＝15（m），
2 2
1 1
∴S△ABC =
2
•AC•BD =
2
×20×15＝150（m2），
∵这种草皮每平方米120元，
∴购买这种草皮至少要150×120＝18000（元），
故选：C．
总结提升：此题考查了含30度角的直角三角形，关键是作出辅助线，求出三角形的高和面积，熟练掌
握30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
44．（2022秋•青岛期末）如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝
10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 ．思路引领：分别延长AD，BC交于点E，证△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和
△CDE的面积即可求解．
解：如图，分别延长AD，BC交于点E．
∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，
∴AB＝BE，CD＝DE，
∵AB＝10m，CD＝5m，
∴BE＝10m，DE＝5m，
1 1 1 1
∵S△ABE =
2
AB•BE =
2
×10×10＝50（m2），S△CDE =
2
CD•DE =
2
×5×5＝12.5（m2），
∴四边形ABCD的面积＝S△ABE ﹣S△CDE ＝50﹣12.5＝37.5（m2）
即这块土的面积为37.5m2．
故答案为：37.5m2．
总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，
利用四边形ABCD的面积＝S△ABE ﹣S△CED 来求解．
45．（2022秋•城关区校级期末）如图有一块四边形的空地ABCD，其中∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4
米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面积．思路引领：连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形
ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积
解答即可．
解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
1 1
∴S四边形ABCD ＝S△ACB ﹣S△ACD =
2
AC•BC -
2
AD•CD
1 1
= ×5×12- ×4×3＝24（m2）．
2 2
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题
较为简单．
46．（2022秋•沙坪坝区期末）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重
劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地
ABCD．经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，DA＝12m，请计算该四边形土地的面积．
思路引领：连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三
角形，从而用求和的方法求面积．解：连接AC，
由勾股定理得：AC=√32+42=5（m），
∵AC2+DA2＝25+144，CD2＝169，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
1 1 1
四边形土地的面积＝S Rt△ABC +S Rt△ACD = 2 AB•BC + 2 AC•DA = 2 （3×4+5×12）＝36（m2），
故该四边形土地的面积为36m2．
总结提升：此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，解答本题的关键是作
出辅助线，求出图形的总面积．
47．（2022春•长清区期末）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到
一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学
小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（
）
A．169cm2 B．25cm2 C．49cm2 D．64cm2
思路引领：在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE的长，根据4个直角三角形是全等的，得到AH＝BE
＝5，从而得到小正方形的边长，进而求出面积．
解：在Rt△ABE中，
AE=√AB2-BE2=√132-52=12cm，
∵4个直角三角形是全等的，
∴AH＝BE＝5cm，∴小正方形的边长＝AE﹣AH＝12﹣5＝7cm，
∴阴影部分的面积＝72＝49（cm2），
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的
关键．
类型十六 求水池深度问题
48．（2022秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC
的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，则水池的深度AC为多少米．
思路引领：首先设水池的深度为x米，则竹竿长为（x+2）米，然后再利用勾股定理可得方程x2+42＝
（x+2）2，再解即可．
解：设水池的深度为x米，由题意得：
x2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3．
答：水池的深度为3米．
总结提升：此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是
解决实际问题常用的方法．
49．（2022春•襄州区期末）如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯
子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
思路引领：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为直径为10cm的杯子，可根据勾股
定理列方程求解．解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，
∵杯子的直径为10cm，
∴杯子半径为5cm，
∴x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
12+1＝13（cm）．
答：筷子长13cm．
故选：C．
总结提升：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，以及各边的长．
类型十七 寻宝问题
50．（2022秋•渠县校级期末）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，
又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点
到埋宝藏点的直线距离是多少？
思路引领：通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．
解：过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8千米，
在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=√AD❑ 2+BD❑ 2=10千米，
答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．
总结提升：本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意
找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．类型十八 零件尺寸问题
51．（2022春•香坊区期末）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：
mm），可以计算出两图孔中心B和C的距离为（ ）mm．
A．120 B．135 C．30√61 D．150
思路引领：如图，在Rt△ABC中，AC＝180﹣60＝120（mm），AB＝150﹣60＝90（mm），然后利用勾
股定理即可求出两圆孔中心B和C的距离．
解：如图，在Rt△ABC中，AC＝180﹣60＝120（mm），AB＝150﹣60＝90（mm），
∴BC=√AC2+AB2=150（mm），
∴两圆孔中心B和C的距离为150mm．
故选：D．
总结提升：此题主要考查勾股定理在实际中的应用，首先正确从图中找到所需要的数量关系，然后利用
公式即可解决问题．
类型十九 勾股定理之走“走捷径”问题
52．（2022秋•顺义区期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而
避开路的拐角∠ACB（∠ACB＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路 AB．某学习实践小组
通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立
“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
思路引领：由勾股定理求出AB＝10米，即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6米，BC＝8米，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10（米），
∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（米），
∴他们只为少走4米的路，
故答案为：4．
总结提升：本题主要考查勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
53．（2022•东宝区校级模拟）如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径
（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长
为（ ）
A．（16﹣8√2）m B．（16-√2）m C．（16﹣4√2）m D．（8﹣8√2）m
思路引领：利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可．
解：由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√82+82=8√2（m），
∴少走的路长为AB+BD﹣AD＝8+8﹣8√2=16﹣8√2（m），
故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AB+BD﹣AD是解题的关键．
54．（2022春•武邑县校级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从A处快速到达图
书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何
忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
思路引领：利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC=√AB2-BC2=√172-82=15（米），
∴AC+BC﹣AB＝15+8﹣17＝6（米），故选：A．
总结提升：本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型二十 橡皮筋拉长问题
55．（2022春•夏津县期末）如图，长为12cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向
上拉升8cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
思路引领：根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
解：根据题意得：AD＝BD，AC＝BC，AB⊥CD，
1
则在Rt△ACD中，AC= AB＝6cm，CD＝8cm；
2
根据勾股定理得：AD=√AC2+CD2=√62+82=10（cm）；
所以AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣12＝8（cm）；
即橡皮筋被拉长了8cm；
故选：C．
总结提升：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾
股定理求出AD是解决问题的关键．
56．（2021春•潢川县月考）如图，一条伸直的橡皮筋AB的两端被固定在水平桌面上，C是AB上的一点，
AB＝5cm，AC＝4cm，将橡皮筋从C点向上垂直拉升2cm到D点．
（1）求橡皮筋比原来拉长了多少cm；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由．
思路引领：（1）根据勾股定理求出AD和DB，即可得到结论；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可．
解：（1）∵AB＝5cm，AC＝4cm，CD＝2cm，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD=√AC2+CD2=√42+22=2√5（cm），
在Rt△ACD中，
由勾股定理得，DB=√CD2+BC2=√22+12=√5（cm），
AD+DB﹣AB＝2√5+√5-5＝（3√5-5）（cm）
答：橡皮筋比原来拉伸了（3√5-5）cm；
（2）△ABD是直角三角形，
理由如下：∵AB2＝52＝25，AD2+DB2＝（2√5）2+（√5）2＝20+5＝25，
∴AB2＝AD2+DB2，
∴△ABD是直角三角形．
总结提升：此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
