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2025-2026 学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇
编
专题 12 因式分解
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2018秋•雨花区校级月考）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2019秋•天心区校级月考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结
果是（ ）
A．（x﹣y+4）（x﹣y+2） B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）
C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2） D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）
3．（2024•岳麓区校级期末）计算：652﹣352＝（ ）
A．30 B．300 C．900 D．3000
4．（2022•长沙模拟）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x
C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4
5．（2021秋•开福区校级期中）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（ ）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
6．（2021秋•望城区期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．4x2﹣4x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2+xy+2y2 D．9+x2﹣4x
7．（2021秋•开福区校级期末）下列各式因式分解正确的是（ ）
A．x2+1＝（x+1）2 B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
8．（2019秋•芙蓉区校级月考）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，
则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
9．（2020秋•开福区校级月考）下列因式分解正确的是（ ）
A．2ax2﹣4ax＝2a（x2﹣2x） B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x2+4xy+4y2＝（x+2y）2 D．m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n2）
学科网（北京）股份有限公司10．（2019•岳麓区校级开学）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+4 C．a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4
评卷人 得 分
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2022•开福区三模）因式分解25x﹣xy2＝ ．
12．（2018秋•岳麓区校级期末）因式分解：2a2+8a+8＝ ．
13．（2017春•芙蓉区校级月考）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝ ．
14．（2020秋•长沙月考）分解因式：mx2﹣6mx+9m＝ ．
15．（2019•天心区一模）因式分解：x3﹣9x＝ ．
16．（2022•开福区一模）分解因式：x2﹣4x＝ ．
17．（2019春•开福区月考）分解因式：2m2﹣8＝ ．
18．（2021秋•开福区校级期末）已知x2﹣3x﹣1＝0，则2x3﹣3x2﹣11x+1＝ ．
19．（2019秋•长沙县期末）如图所示，根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解＝ ．
20．（2018秋•天心区校级月考）把多项式ax2+2axy+ay2分解因式的结果是 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2021秋•长沙县期末）因式分解：
（1）x（a﹣1）+（1﹣a）； （2）3m2+6mn+3n2．
22．（8分）（2021秋•开福区校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ．
故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．
23．（8分）（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可
以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣
21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相
等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣
7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝ 代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，
由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表
示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
24．（8分）（2021秋•望城区期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式
继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a﹣7b，求整式M的
最小值．
学科网（北京）股份有限公司25．（8分）（2021秋•长沙期中）阅读理解：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k
为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是 ，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形
AGJK，求阴影部分的面积．
学科网（北京）股份有限公司26．（6分）（2021秋•开福区校级期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多
项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决
问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最
大值，最小值等问题．
例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值
解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020
＝（x﹣6）2+1984
∵（x﹣6）2≥0，
∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0，
∴（x﹣6）2+1984≥1984，
∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984，
∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984．
例如：分解因式：x2﹣120x+3456
解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122
＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）．
（1）分解因式x2﹣46x+520；
（2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值；
（3）当m，n为何值时，代数式m2﹣2mn﹣2m+2n2﹣4n+2030有最小值，并求出这个最小
值．
27．（7分）（2019秋•天心区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那
么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神
秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？
学科网（北京）股份有限公司28．（9分）（2019秋•开福区校级期末）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的
分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数
之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝ ．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的
最佳分解，所以F（12）＝ ．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位
上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个
数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
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