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专题13.3 轴对称图形（九大题型）重难点题型
题型1 轴对称图形的性质与辨别
【方法技巧】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重
合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
1．（2022·重庆一中七年级期末）下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川绵阳·中考真题）下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·湖南湘西·中考真题）下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西西安·中考模拟）△ABC与 关于直线l对称，则∠B的度数为________．
5．（2022·海南·一模）如图，点 为 内一点，分别作出 点关于 ， 的对称点 ， ，连结交 于 ，交 于 ，若线段 的长为 ，则 的周长为______ ．
6．（2022·广西崇左·八年级期末）如图， 和 关于直线 对称，下列结论：（1）
；（2） ；（3）直线 垂直平分 ；（4）直线 平分 ．正确的
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型2 轴对称性质的运用
方法技巧：常见应运用有：折叠（剪纸）、台球桌面、光的反射和镜面对称等问题。
折叠问题中，折痕就是图形的对称轴，折叠前后的图形关于对称轴对称。
1．（2022·浙江温州·一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯
运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为______．
2．（2021·广东佛山·一模）如图，在矩形 中， ，一发光电子开始置于 边的点 处，
并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，
每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与 边的
碰撞次数是_________．
3．（2020·青海·中考真题）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏无锡·二模）把一张边长为8cm的正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打
开后得到一个正多边形．
（1）如果打开后得到一个正方形，则这个正方形的边长为______．（2）有以下5个正多边形：①正五边
形；②正六边形；③正八边形；④正十边形；⑤正十二边形，其中打开后可以得到是______．（只填序
号）
5．（2022·四川成都·七年级期中）把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若
∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，则∠C''FE＝_______．
6．（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学二模）仔细观察图1，体会图1的几何意义，用图1的方法和结论
操作一长方形纸片得图2或图3或…， ， 均是折痕，当 在 的内部时，连接 ，若
， ， 的度数是_______________．题型3 线段垂直平分线性质与判定及运用
【解题技巧】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
垂直平分线的性质判定：到一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点；外心性质：外心到该三角形三顶点的距离相等。
1．（2022·静宁县阿阳实验学校八年级期末）如图， 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中
转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．
2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆
弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的周
长为_________．3．（2022·河南开封·一模）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；
步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
步骤3：连接CD，且过A，B作直线。则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．
4．（2022·江西·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点
D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）
A．2 B．12 C．5 D．7
5．（2021·黑龙江绥化·中考真题）（1）如图，已知 为边 上一点，请用尺规作图的方法在边
上求作一点 ．使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果 ，则 的周长是_______ ．6．（2022·西城区·八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图， ，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足 ．
求作：线段OB上的一点C，使 的周长等于线段 的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经
找到，即 得周长等于OB的长，那么由 ，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得 ，那么就可以得到 ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找
到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
题型4 角平分线的运用
【解题技巧】角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
1．（2022·湖南邵阳·八年级期中）如图， 的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分
线将 分为三个三角形，则 等于（ ）．
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶52．（2022·福建漳州·八年级期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线 ，另一把直尺压住射线 并且与第一把直尺交于点 ，小明说：“射线
就是 的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点
3．（2022·河北承德·八年级期末）如图，在 中， 平分 ，则
的面积为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
4．（2022·安徽·八年级期末）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点
（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则
为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°5．（2022·陕西渭南·三模）如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点
D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）
6．（2022·湖北）（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ， ，求证：
．
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： ．
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： ．
题型5 等腰三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等腰三角形的性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。
3）有两条边相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
1．（江西省吉安市峡江县2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷）已知等腰三角形的其中二边长
分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．13 D．15
2．（2021·江苏九年级二模）顶角是 的等腰三角形叫做黄金三角形．如图， 是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
3．（2022年广西梧州市中考数学真题）如图，在 中， 是 的角平分线，过点D
分别作 ，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（河北省秦皇岛市第七中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，点A、B在直线l
的同侧，点C在直线l上，且 是等腰三角形．符合条件的点C有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2022年福建省南平市初中毕业班综合练习（一）数学试题）已知，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于
D，求证：∠A=2∠CBD．6．（2022年青海省中考数学真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们
的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若 和 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： ；
(2)解决问题：如图2，若 和 均为等腰直角三角形， ，点A，D，E在同一
条直线上，CM为 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量
关系并说明理由.
图1 图2
题型7 等边三角形的性质与判定
【解题技巧】掌握等边三角形的性质与判定：
1）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
2）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1．（山东省枣庄市山亭区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，AB//CD，△ACE为等边三
角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（ ）A．40° B．30° C．20° D．15°
2．（福建省宁德市古田县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）如图，等边 中， ，
垂足为 ，点 在线段 上， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（陕西省安康市紫阳县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题（A卷））如图，在等边△ABC
中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且 ，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．（广东省深圳外国语学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，C为线段AE上一动点
（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于
点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
5．（湖北省孝感市孝南区2021-2022学年八年级上学期作业检测数学试题）如图，已知等边三角形ABC
的边长为4，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于
M，则EM的长为______．
6．（福建省三明市永安市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）已知：如图，△ABC是等边三角形，
边长为6，点D为动点，AD绕点A逆时针旋转60°得到AE．
(1)如图1，连接BD，CE，求证 ；
(2)如图2， ，连接DE，求证：点B，D，E三点在同一条直线上；
(3)如图3，点D在△ABC的高BF上，连接EF，求EF的最小值．题型8 轴对称作图
1．（2021·贵州黔南·八年级期中）如图，已知△ABC的顶点分别为A（－2，2），B（－4，5），C（－
5，1）和直线m（直线上各点的横坐标都为1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形 ，并写出点 的坐标；
（2）作出△ABC关于y轴对称的图形 ，并写出点 的坐标．
2．（2021·广东惠州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点M与
关于直线l成轴对称．
（1）在题图中画出直线l及线段 关于直线l对称的线段 ；（2）求 的面积．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 ，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出 关于直线 的对称图形 （要求点 与 ， 与 ， 与 相对应）．
（2）在直线 上找一点 ，使得 的周长最小．
4．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期末）如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
(1)利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，
并说明你的理由；(3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．
5．（2022·江苏无锡·七年级期中）如图：在正方形网格中有一个 ，按要求进行下列作图（只能借助
于网格）：(1)画出 中BC边上的高AD；(2)画出先将 向左平移5格，再向下平移2格后的 ；
(3)画一个 （要求各顶点在格点上，P不与A点重合），使其面积等于 的面积．并回答，满足
这样条件的点P共______个．
6．（2022·江苏常州·七年级期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点 、 、 、 、 、 都在格
点上．(1)过点 画直线 的垂线，垂足为 ，过点 画直线 的垂线，交 于点 ．
①请在网格中画出垂线 、 ；②线段 与 的大小关系是： _____ ．
(2)将 向上平移1个单位，再沿直线 翻折，得到 ．
①请在网格中画出 ；② 与 的大小关系是： ______ ．
题型9 等腰三角形与全等三角形综合题
1．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直
平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分
别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于
点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）
OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）2．（2021·四川八年级期末）如图1，在等边三角形 中， 于 于 与 相交于
点 ．（1）求证： ；（2）如图2，若点 是线段 上一点， 平分
交 所在直线于点 ．求证： ．（3）如图3，若点 是线段 上一点（不与点 重合），连接
，在 下方作 边 交 所在直线于点 ．猜想： 三条线段之间的数量
关系，并证明．
3．（2021·山东济南市·八年级期末）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点
A作AH∠BC于点H，交BO于点P．（1）求线段OP的长度；（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；
（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线
段A延长线于N点，则S －S 的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该
BDM ADN
△ △
式子的值．4．（2021·江苏景山中学八年级期末）（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝
120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BE＋BF与
的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等
边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF
与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如
图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这
三者之间的数量关系是 ．（直接写出结论即可）
5．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，
则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 ．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或等边三角形 D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，
不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三
角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需
∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC
于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重
合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果
存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由： 是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边
三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出
△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）6．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边
上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；（3）当ME＝ 时，求CE的值．7．（2021·四川）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边
△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，连接CD、
BE，求证：DC＝BE；（3）如图3，若∠ACB=90°，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF．
8．（2021·山东八年级期末）已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．
（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在
BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．
