文档内容
第 02 讲 平行线及其判定与性质+平移（10 个知识点+10 种
题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
知识点2．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出
一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直
线平行时应用．
知识点3．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说
成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说
成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单
说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
知识点4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相
等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内
角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相
等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
知识点5．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系
来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
知识点6．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知
事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”
后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的
正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
知识点7．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，
即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证
必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证
方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
知识点8．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简
称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
知识点9．平移的性质（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和
大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两
个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
知识点10．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应
点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
知识复习
一．平行线（共5小题）
1．（2023春•敦化市期末）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和 平行 两种
位置关系．
【分析】根据两直线的位置关系解答即可．
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，
故答案为：平行．
【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同一平面内，两条直线的位置关系有两
种：平行和相交（重合除外）．
2．（2023春•宣化区期中）如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位
置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
【分析】根据平行公理解答即可．
【解答】解：观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置
关系是平行．
故选：A．
【点评】考查了平行线，本题利用平行公理求解，需要熟练掌握．3．（2023春•青龙县期中）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种 相交 ， 平
行 ．
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行或相交．
【解答】解：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交，平行．
故答案为：平行，相交
【点评】本题考查了在同一平面内两条直线的位置关系．
（多选）4．（2023春•潍城区期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，
图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与直
线l平行，AM∥CB，CF⊥l，∠BCD＝60°，∠BAC＝46°，∠CBD＝50°，CF＝24寸，
下列说法正确的是（ ）
A．∠MAC＝72° B．∠EBD＝130°
C．CD的长为24寸 D．车轮周长为48 寸
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理以及圆的周长计算公π式解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠CBA＝60°，
∵∠BAC＝46°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CBA﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣46°＝74°，故A选项不符合题意；
∠EBD＝180°﹣∠CBD＝180°﹣50°＝130°，故B选项符合题意；
CD的长度无法计算，故C选项不符合题意；
∵车轮的圆的半径为CF的长度，即24寸，
∴车轮的周长为：2 ×24＝48 （寸），故D选项符合题意，
故选：BD． π π
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的
关键．
5．（2023春•宝坻区校级月考）平行用符号 ∥ 表示，垂直符号用 ⊥ 表示，直线
AB与CD平行，可以记作为 AB ∥ CD ．【分析】根据平行和垂直符号以及平行线的表示方法求解即可．
【解答】解：平行用符号∥表示，垂直符号用⊥示，直线AB与CD平行，可以记作为
AB∥CD，
故答案为：∥，⊥，AB∥CD．
【点评】本题主要考查了平行符号，垂直符号，平行线的表示方法，熟知相关知识是解
题的关键．
二．平行公理及推论（共3小题）
6．（2023春•西乡塘区校级期中）如图，在同一平面内OA⊥l，OB⊥l，垂足都为点O，则
OA与OB重合的理由是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即
可判断．
【解答】解：在同一平面内OA⊥l，OB⊥l，垂足都为点O，则OA与OB重合的理由是：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：D．
【点评】本题考查垂线的性质，关键是掌握：在同一平面内，过一点有且只有一条直线
与已知直线垂直．
7．（2023春•绥棱县期末）过已知直线外一点有且 只有 一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行公理解答即可．
【解答】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：只有．
【点评】本题考查的是平行公理及其推论，熟知经过直线外一点，有且只有一条直线与
这条直线平行是解题的关键．
8．（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ．
【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得
出答案．
【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一
点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．
三．平行线的判定（共7小题）
9．（2023秋•南召县期末）如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，要使AB∥CD，则
需添加 ∠ ACD ＝ 90 ° （答案不唯一）． （只填出一种即可）的条件．
【分析】由平行线的判定，即可得到答案．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
若∠ACD＝90°，则∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴要使AB∥CD，可添加∠ACD＝90°（答案不唯一）．
故答案为：∠ACD＝90°（答案不唯一）．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
10．（2023秋•长治期末）下列各图中，能画出AB∥CD的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可．【解答】解：由同位角相等两直线平行可知：①正确；由垂直于同一条直线的两条直
线平行可知②、③正确；根据内错角相等两直线平行线可知④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平行线的判定掌握平行线的判定定理是解题的关键．
11．（2023秋•凤翔区期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点 C叠放在一起，其中
∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是 ∠ BCD ＝∠ ACE ；∠BCE与
∠ACD的数量关系是 ∠ BCE + ∠ ACD ＝ 180 ° ；
【类比探究】（2）若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，试
探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB，画出图形并简要说明理由；
【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC
的位置关系．
【分析】（1）依据∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，可得∠BCD＝∠ACE；
依据∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，即可得到∠BCE+∠ACD＝180°；
（2）分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当∠ACD等于60°或
120°时，CE∥AB；
（3）根据∠BCE＝3∠ACD，∠BCE+∠ACD＝180°，即可求出∠ACD的度数；根据平
行线的判定以及垂直的定义得到此时DE与AC的位置关系．
【解答】解：（1）∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE；
∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°+∠ACE+∠ACD＝90°+90°＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°．故答案为：∠BCD＝∠ACE；∠BCE+∠ACD＝180°；（2）分两种情况：
①如图1所示，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
②如图2所示，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB；
（3）设∠ACD＝ ，则∠BCE＝3 ．
由（1）可知，∠αBCE+∠ACD＝18α0°，
∴3 + ＝180°，
∴ α＝4α5°，即∠ACD＝45°，
此α时DE⊥AC或DE∥AC．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题
的关键．
12．（2023秋•兰州期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平
分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．
1 1
【分析】先利用角平分线定义得到∠3= ∠ADC，∠2= ∠ABC，而∠ABC＝∠ADC，
2 2
则∠3＝∠2，加上∠1＝∠2，则∠1＝∠3，于是可根据平行线的判定得到DC∥AB．
【解答】证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
1 1
∴∠3= ∠ADC，∠2= ∠ABC，
2 2
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平
行；同旁内角互补，两直线平行．
13．（2023秋•泗县期末）完成下面证明：如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3．求证AB∥CD．
证明：∵CB平分∠ACD
∴∠1＝∠2（ 角平分线的定义 ）
∵∠1＝∠3．
∴∠2＝∠ 3 ．
∴AB∥CD（ 内错角相等两直线平行 ）．
【分析】根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，而∠1＝∠3，则得到∠2＝∠3，根据“内
错角相等两直线平行”即可得到结论．
【解答】证明：∵CB平分∠ACD
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
∵∠1＝∠3．
∴∠2＝∠3．
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，3，内错角相等两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
14．（2023秋•沈丘县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝
∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴ CE ∥ BF （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ），
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 9 0 ）°，
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ），
∴AB∥CD．（ 内错角相等，两直线平行 ）【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换），
∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°，
∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相
等；等量代换；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌
握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
15．（2023秋•萧县期末）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．
（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨
∠E和∠F的数量关系；
（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当
∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH．【分析】（1）依据AC平分∠DAB，∠1＝∠2，即可得到∠2＝∠BAC，进而判定
CD∥AB．
（2）当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝30°，依据∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F＝
∠2＝30°．
（3）依据DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，进而得到∠ADH＝∠CDH，据此可得当
1
∠GDC＝∠ADH时，∠CDG＝∠CDH＝∠ADH，即可得到∠CDH= ×180°＝60°．
3
【解答】解：（1）如图，∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠BAC，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAC，
∴CD∥AB．
（2）当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝30°，
∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，
∴∠2是△CEF的外角，
∴∠E+∠F＝∠2＝30°．
（3）∵DH∥BC，AC⊥BC，
∴DH⊥AC，
又∵∠1＝∠2，
∴∠ADH＝∠CDH，
∴当∠GDC＝∠ADH时，∠CDG＝∠CDH＝∠ADH，
1
∴∠CDH= ×180°＝60°．
3
故当∠CDH为60度时，∠GDC＝∠ADH．【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条
所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行．
四．平行线的性质（共3小题）
16．（2023秋•郸城县期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点
M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论：
①∠AMF 与∠DNF 是对顶角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；
④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的性质对各项进行判断即可．
【解答】解：①∠AMF与∠DNF不是对顶角，错误；
②∵PG∥AB，AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠PGM＝∠GNH，∵∠GNH＝∠DNF，
∴∠PGM＝∠DNF，正确；
③∵AB∥PG∥CD，∴∠BMN＝∠MGP，∠PGH＝∠GHN，∵∠MGP+∠PGH＝90°，
∴∠BMN+∠GHN＝90°，正确；
④ ∵ AB∥ CD∥ PG ， ∴ ∠ AMG+∠ MGP ＝ 180° ， ∠ CHG+∠ PGH ＝ 180° ，
∵∠MGP+∠PGH＝90°，∴∠AMG+∠CHG＝180°+180°﹣90°＝270°，正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
17．（2023秋•衡阳期末）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数
学问题：如图，已知 AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC 的度数是（ ）
A．30° B．29° C．28° D．27°
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据
三角形外角性质，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE．
【解答】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE＝92°，
∴∠CFE＝92°，
又∵∠DCE＝121°，
∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角
相等．
18．（2023秋•阳城县期末）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸
带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图3，测得∠1＝∠2
C．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4D．在图4，展开后测得∠1+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意；
B、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；
C、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b，故此选项不符合
题意；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．
五．平行线的判定与性质（共8小题）
19．（2023秋•寻乌县期末）将一副直角三角板ABC，ADE按如图1所示位置摆放，其中
∠ACB＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．若将三角板
ADE绕点A按每秒3°的速度顺时针旋转180°，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，
当线段DE与三角板ABC的一条边平行时，t＝ 1 0 秒或 3 0 秒或 4 0 秒 ．
【分析】由线段DE与三角板ABC的一条边平行可知有三种情况：（1）当DE∥BC时，
点E落在线段AC上，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（2）当DE∥AC时，则
∠BAE＝90°，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（3）当DE∥AB，则∠CAE＝
90°，由此可求出旋转角，进而可求出t的值．
【解答】解：设旋转角为 ，则旋转的时间t＝ ÷3（秒），
∵在顺时针旋转180°的过程α 中，线段DE与三角α板ABC的一条边平行，
∴有以下三种情况：
（1）当DE∥BC时，
∵∠ACB＝∠AED＝90°
∴点E落在线段AC上时，∴旋转角 ＝∠BAC＝30°，
∴t＝ ÷3＝α30÷3＝10（秒）；
（2）α当DE∥AB时，则∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AED＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AED＝90°，
∴旋转角 ＝∠BAE＝90°，
∴t＝ ÷3＝α90÷3＝30（秒）；
（3）α当DE∥AC时，则∠CAE+∠AED＝180°，
∵∠AED＝90°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AED＝90°
∴旋转角 ＝∠BAC+∠CAE＝120°，
∴t＝ ÷3＝α120÷3＝40（秒）；
综上所α述：t＝10秒或30秒或40秒．
故答案为：10秒或30秒或40秒．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟
练掌握平行线的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论．20．（2023秋•唐河县期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作CP∥AB，
PD∥AB，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行判断即可．
【解答】解：∵点P是直线AB外一点，过点P分别作CP∥AB，PD∥AB，
∴点C、P、D三个点必在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线
平行）．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记过直线外一点有且只有
一条直线与这条直线平行．
21．（2024•渝中区校级开学）如图，BE平分∠ABC，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，试
说明DF∥AB．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2（① 角平分线的定义 ），
∵∠E＝∠1（已知），
∴∠E＝∠2（等量代换），
∴② AE ∥ BC （内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（③ 两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠3+∠ABC＝180°（已知），
∴④ ∠ A ＝∠ 3 （同角的补角相等）
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）．【分析】根据题意结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
∵∠E＝∠1（已知），
∴∠E＝∠2（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠3+∠ABC＝180°（已知），
∴∠A＝∠3（同角的补角相等）
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；AE∥BC，两直线平行，同旁内角互补；∠A＝∠3．
【点评】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题
的关键．
22．（2023秋•商水县期末）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE
平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠1＝∠2，从而利用等量代换可得∠1＝∠3，
然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答；
（2）根据已知可得∠AFE＝∠2+30°，然后利用平行线的性质可得∠AFE＝∠FED＝
∠2+30°，从而利用角平分线的定义可得∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，再利用平角定义
可得∠3+∠AED＝180°，最后进行计算可求出∠2＝40°，从而求出∠AFE的度数，即可解答．
【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）∵∠AFE﹣∠2＝30°，
∴∠AFE＝∠2+30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED＝∠2+30°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，
∵∠3+∠AED＝180°，
∴∠3+2∠2+60°＝180°，
∵∠3＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠AFE＝∠2+30°＝70°，
∴∠AFE的度数为70°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．（2023秋•齐河县期末）下列说法中不正确的个数为（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系，垂直的性质，平行线平行公理及推
论，点到直线的距离等逐一进行判断即可．
【解答】解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①
不正确；
因为过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；
⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确．
所以不正确的有①②④⑤四个．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、点到直线的距离、平行线、平行公理及推论，
解决本题的关键是综合以上知识．
24．（2023秋•洛阳期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知
∠BAC＝125°，∠D＝75°，且AB∥DE，则∠ACD＝ 20 ° ．
【分析】过点 C 作 CF∥AB，则∠FCA＝∠BAC＝125°，由平行公理的推论得到
CF∥DE，从而∠FCD＝180°﹣∠D＝105°，再根据∠ACD＝∠FCA﹣∠FCD即可求解．
【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，
∴∠FCA＝∠BAC＝125°
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE，
∴∠FCD＝180°﹣∠D＝180°﹣75°＝105°，
∵∠ACD＝∠FCA﹣∠FCD＝125°﹣105°＝20°．
故答案为：20°
【点评】本题考查平行公理的推理，平行线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解
题的关键．
25．（2023秋•漳州期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，则∠A与∠D相等吗？
请把下面解答过程补充完整（填写理由或数学式）．
解：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠3（ 对顶角相等 ），∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AE∥FD（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠A＝∠ BFD （两直线平行，同位角相等）．
∵∠B＝∠C（已知）．
∴ AB ∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠BFD＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
∴∠A＝∠D（ 等量代换 ）．
【分析】先证明∠2＝∠3，从而可得AE∥FD，由平行线的性质得∠A＝∠BFD，由∠B
＝∠C可证AB∥CD，从而∠BFD＝∠D，等量代换可证结论成立．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）．
∵∠B＝∠C（已知）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠BFD＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
∴∠A＝∠D（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；BFD；AB；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本
题的关键．
26．（2023秋•衡阳期末）如图1，直线AB与直线l ，l 分别交于C，D两点，点M在直
1 2
线l 上，射线DE平分∠ADM交直线l 于点Q，∠ACQ＝2∠CDQ．
2 1
（1）证明：l ∥l ；
1 2
（2）如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l 于点F，∠ACQ＝70°．
2
①若∠QFD＝20°，则直接写出∠FQD的度数是 15 ° ；②点N在射线DE上，满足∠QCN＝∠QFD，连接CN，请补全图形，探究∠CND与
∠FQD满足的等量关系，并证明．
【分析】（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定进行解答即
可；
（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；
②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，
∵DE平分∠ADM，
1
∴∠ADE＝∠EDM= ∠ADM，
2
又∵∠ACQ＝∠ADE+∠CQD，∠ACQ＝2∠CDQ．
∴∠EDM＝∠CQD，
∴l ∥l ；
1 2
（2）解：①∵l ∥l ，
1 2
∴∠ADM＝∠ACQ＝70°，
∵DE平分∠ADM，1
∴∠ADE＝∠EDM= ∠ADM＝35°，
2
又∵∠EDM＝∠QFD+∠FQD，
∴∠FQD＝35°﹣20°＝15°，
故答案为：15°；
②证明：∠CND＝∠FQD或∠CND﹣∠FQD＝35°，理由如下：
如图3，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠NCQ＝∠CTD，
又∵∠QCN＝∠QFD，
∴∠CTD＝∠QFD，
∴NT∥FQ，
∴∠CND＝∠FQD；
1
如图4，由①可得∠CDQ＝∠CQD= ∠ACQ＝35°，
2
∵∠CND＝∠CQN+∠QCN，∠QCN＝∠QFD，
∴∠CND＝∠CQN+∠QFD，
∴∠CND＝35°+∠QFD，
即：∠CND﹣∠QFD＝35°，
∵∠QFD＝∠FQC＝∠CQD﹣∠FQD＝∠QDM﹣∠FQD＝35°﹣∠FQD，
∴∠CND﹣∠QFD＝∠CND﹣（35°﹣∠FQD）＝35°，
∴∠CND﹣∠FQD＝35°．
综上所述，∠CND与∠FQD满足的等量关系为∠CND＝∠FQD或∠CND﹣∠FQD＝
35°．【点评】本题考查平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的前
提．
六．命题与定理（共5小题）
27．（2023春•从化区期末）下列命题属于真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．相等的角是对顶角
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．同位角相等
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例
排除不正确选项，从而得出正确选项．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；
B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
D、两直线平行，同位角相等，是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题
设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以
写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫
做定理．
28．（2023秋•吴兴区期末）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 假 命题
（填“真”或“假”）
【分析】根据全等三角形的判定进行判断．
【解答】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题
设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以
写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定
理．
29．（2023秋•射洪市期末）把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”
改写成“如果…那么…”的形式： 同一平面内，如果的两条直线垂直于同一条直线，
那么这两条直线平行 ．
【分析】首先分清原命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论．
【解答】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如
果…，那么…”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【点评】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如
果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
30．（2023秋•长丰县期末）“对顶角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么这两个
角是对顶角 ．（用“如果…那么…”的形式写出）
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶
角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点评】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题
的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．
其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
31．（2023秋•淮阳区期末）如图，有如下三个论断：
①AB∥CD；②∠1＝∠2；③BE∥CF，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，
组成一个真命题，并证明．
【分析】可以有①②得到③（答案不唯一）．【解答】解：可以选①② ③．
即：若AB∥CD，∠1＝∠2⇒，则BE∥CF．
理由：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥FC．
【点评】此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误
的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了平行线的性质．
七．推理与论证（共5小题）
32．（2023春•昆明期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第
三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做
裁判，依次进行．半天训练结束时，甲共当裁判5局，乙、丙分别进行了8局、6局比
赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 9 局比赛，其中最后一局比赛的
裁判是 甲 .（填“甲”“乙”或“丙”）
【分析】先确定了乙与丙打了5局，乙与甲打了3局，丙与甲打了1局，进而确定三人
一共打的局数和甲当裁判的局数，即可得到答案．
【解答】解：∵甲共当裁判5局，
∴乙、丙之间打了5局，
又∵乙、丙分别进行了8局、6局比赛，
∴乙与甲打了8﹣5＝3局，丙与甲打了6﹣5＝1局，
∴甲、乙、丙三人共打了3+1+5＝9（局），
∵甲共当裁判5局，而从1到9共5个奇数，4个偶数，
∴甲当裁判的局为奇数局，
∴最后一局比赛的裁判是甲，
故答案为：9，甲．
【点评】本题考查统计和概率的推理与论证．解本题关键根据题目提供的特征和数据，
分析其存在的规律和方法．并递推出相关的关系式．从而解决问题．
33．（2023春•通州区期末）某次数学前测中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、
C三个选项中，只有一个是正确的．
如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分
甲 C A B C B 4
乙 C B B C C 3
丙 C C B B B 2
丁 C C B B A
则甲同学错的是第 五 题；丁同学的得分是 3 ．
【分析】由甲乙丙丁同学的得分情况，即可推出5道题的答案，由此即可解决问题．
【解答】解：第一题的答案是C，第三题的答案是B，否则乙只能得2分．
∵丙同学得分是2分，
∴丙同学的二、四、五题全错，
∴甲同学错的是第五题，
∵乙同学得分是3分，
∴乙同学二、五题是错的，
∴第五题答案是A，
∴5道题的答案是CABCA，
∴丁同学的一、三、五题是对的，
∴丁同学的得分是3分．
故答案为：五，3．
【点评】本题考查推理和论证，关键是由甲乙丙丁同学的得分情况，确定5道题的答案．
34．（2023春•金乡县月考）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一
个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名
将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：
甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．
已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 C A D B
．
【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛
盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
【解答】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误，
于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，
故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾，
所以：甲说的：C是亚军错误；②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，
于是乙说：D是殿军错误，则乙说的A得亚军就正确，
故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
【点评】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．
35．（2023秋•丰泽区校级期中）小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，
C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相
撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两
个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球
发生碰撞，会变成一个B型小球．现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型
小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说
法是（ ）
①最后剩下的小球可能是A型小球；
②最后剩下的小球一定是B型小球；
③最后剩下的小球一定不是C型小球．
A．① B．②③ C．③ D．①③
【分析】①和②可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的 A、B数
量的奇偶性来判断③的正确与否．
【解答】解：假设12个A球中每两个A球进行碰撞，则可以得到6个C球，9个B球中
让其中8个B球每两个进行碰撞，则可以得到4个C球，加上原来的C球，共20个C
球，让这20个C球互相碰撞，重复进行直至剩下一个C球，再和剩下的B球碰撞，可
以得到一个A球，由此可知①正确，②错误．
事实上，无论怎么碰撞，A球数量与B球数量奇偶性总是不一样（一奇一偶）．
（AA）→C，A与B一奇一偶；
（BB）→C，A与B一奇一偶；
（CC）→C，A与B一奇一偶；
（AB）→C，A与B一奇一偶；
（AC）→B，A与B一奇一偶；
（BC）→A，A与B一奇一偶．由此可知，A与B的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是C型小球，③
正确．
故选：D．
【点评】本题是一个推理与论证的题目，主要考查对实际问题中数据变化的分析能力和
综合推理能力，发现A、B数量的奇偶性始终不一样是解答本题的关键．
36．（2022春•青岛期末）[实际问题]：
某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可
以从50张面值分别为1元、2元、3元、……、50元的奖券中（面值为整数），一次任
意抽取2张、3张、4张、……等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某
顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
[问题建模]：
从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取m（1＜m＜n）个整数，
这m个整数之和共有多少种不同的结果？
[模型探究]：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决
问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小
是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结
果？
表②
所取的2个 1，2 1，3 1，4 2，3 2，4 3，4
整数
2个整数之 3 4 5 5 6 7
和
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其
中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 9 种
不同的结果．
（4）从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个
整数之和共有 （ 2 n ﹣ 3 ） 种
不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 4 种不同的
结果．
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 7 种不同
的结果．
（3）从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个
整数之和共有 （ 3 n ﹣ 8 ） 种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之
和共有 （ 4 n ﹣ 1 5 ） 种不同的结果．
[归纳结论]：
从1，2，3，……，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取m（1＜m＜n）个整数，
这m个整数之和共有 [ m （ n ﹣ m ） +1 ] 种不同的结果．
[问题解决]：
从50张面值分别为1元、2元、3元、……、50元的奖券中（面值为整数），一次任意
抽取5张奖券，共有 22 6 种不同的优惠金额．
【分析】根据整数的总个数n，与任取的m个整数，分别计算这m个整数之和的最大值、
最小值，进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况．
【解答】解：探究一：
（3）从1，2，3，4，5，6这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和最小值为1+2
＝3，最大值为5+6＝11，这2个整数之和共有11﹣3+1＝9种不同情况；
故答案为：9；
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整
数之和最小值为1+2＝3，最大值为n+n﹣1＝2n﹣1，这2个整数之和共有2n﹣1﹣3+1＝
2n﹣3种不同情况；
故答案为：（2n﹣3）；探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3＝
6，最大值为2+3+4＝9，这3个整数之和共有9﹣6+1＝4种不同情况；
故答案为：4；
（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值为1+2+3
＝6，最大值为3+4+5＝12，这3个整数之和共有12﹣6+1＝7种不同情况；
故答案为：7；
（3）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整
数之和的最小值为1+2+3＝6，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）＝3n﹣3，这3个整数之
和共有3n﹣3﹣6+1＝3n﹣8种不同结果，
故答案为：（3n﹣8）；
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和
的最小值为1+2+3+4＝10，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）＝4n﹣6，因此这
4个整数之和共有4n﹣6﹣10+1＝4n﹣15种不同结果，
故答案为：（4n﹣15）．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取m个整数，这m个整数之和
m(m+1)
的最小值为1+2+…+m= ，最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+（n
2
m(m−1) m(m−1) m(m+1)
﹣m+1）＝nm− ，因此这a个整数之和共有nm− − +1＝
2 2 2
m（n﹣m）+1种不同结果，
故答案为：[m（n﹣m）+1]；
问题解决：
将n＝50，m＝5，代入m（n﹣m）+1得；5×（50﹣5）+1＝226，
故答案为：226．
【点评】本题考查用代数式表示数字的变化规律，确定任取的a个整数之和的最大值和
最小值是得出正确答案的关键．
八．生活中的平移现象（共2小题）
37．（2023秋•盐城期末）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图形平移与翻折变换的性质解答即可．
【解答】解：由图可知，ABC利用图形的翻折变换得到，D利用图形的平移得到．
故选：D．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关
键．
38．（2023秋•海门区期末）如图，在一块长为am，宽为bm的长方形草地上，有一条弯
曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的绿地面积是 b
（ a ﹣ 1 ） m2．
【分析】根据小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，可得路的宽度是1米，根据
平移，可把路移到左边，再根据矩形的面积公式，可得答案．
【解答】解：小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，
路的宽度是1米，
草地的长是（a﹣1）米，
故这块草地的绿地面积为（a﹣1）b（m2）．
故答案为：b（a﹣1）．
【点评】本题主要考查了生活中的平移现象，利用矩形的面积公式得出是解题关键．
九．平移的性质（共2小题）
39．（2024•沙坪坝区校级开学）如图，将周长为 10cm的△ABC沿BC 方向平移得到△DEF，连接AD，四边形ABFD的周长为15cm，则平移的距离为 2. 5 cm．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形 ABFD 的周长＝AD+AB+BF+DF＝
AD+CF+10＝15，即可得出答案．
【解答】解：∵将周长为10cm的△ABC沿BC方向平移得到△DEF，四边形ABFD的周
长＝AD+AB+BF+DF＝AD+CF+10＝15，AD＝CF，
∴2AD＝5，
解得：AD＝2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，
对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到 CF＝AD，DF
＝AC是解题的关键．
40．（2023秋•宁阳县期末）如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向
平移a cm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 1 2 cm．
【分析】根据平移的性质得到DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝a cm，根据周长公式计算，得
到答案．
【解答】解：由平移的性质可知：DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝a cm，
∴EC＝（5﹣a）cm，
∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+3+4＝12（cm），
故答案为：12．
【点评】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点
所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．一十．作图-平移变换（共4小题）
41．（2023•垦利区二模）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画
法如下：
①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角
尺的最短边紧贴：
②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．
小明这样画图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【分析】先利用平移的性质得到∠1＝∠2＝60°，然后根据同位角相等两直线平行可判
断a∥b．
【解答】解：利用平移的性质得到∠1＝∠2＝60°，
所以a∥b．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、
平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离
确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了平行线的判定．
42．（2023秋•宿迁期末）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，每个小正方形
的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，三角形ABC的三个顶点都在
格点上，利用网格画图．
（1）画出三角形ABC向右平移8个单位长度后三角形A′B′C′的位置；（2）过点A画BC的平行线，并标出平行线所过格点Q；
（3）过点A画BC的垂线，并标出垂线所过格点P；
19
（4）三角形A′B′C′的面积为 ．
2
【分析】（1）利用平移的性质可画出△A′B′C′；
（2）根据平行线的性质作出直线AQ；
（3）根据网格中画垂线的画法，可找出格点P；
（4）利用△A'B'C'所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示；
（3）如图所示；
1 1 1 19
（4）三角形A′B′C′的面积=5×4− ×4×1− ×5×1− ×4×3= ，
2 2 2 2
19
故答案为： ．
2
【点评】本题主要考查了平移的性质，网格中平行线和垂线的画出，三角形的面积等知
识，明确网格中画平行线和垂线的方法是解题的关键．
43．（2023秋•田阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为（1，2）．
（1）点A的坐标是 （ 2 ，﹣ 1 ） 点B的坐标是 （ 4 ， 3 ） ．
（2）画出将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的
三角形A'B'C'．请写出三角形A'B'C'的三个顶点坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）根据点的坐标的表示方法写出A、B点的坐标；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）；
故答案为（2，﹣1）；（4，3）；
（2）如图，三角形A'B'C'为所作；A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）；
1 1 1
（3）三角形ABC的面积＝3×4− ×3×1− ×3×1− ×2×4＝5．
2 2 2【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关
键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
44．（2023春•汕尾期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣3，
6），C（﹣5，3），D（m，n）是三角形ABC的边AB上任意一点，三角形ABC经过
平移后得到三角形A B C ，点D的对应点为点D （m+5，n﹣4）．
1 1 1 1
（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标．
1 1 1
（2）在图中画出三角形A B C ．
1 1 1
（3）求出三角形ABC的面积．
【分析】（1）根据点D和D 的坐标即可确定平移，即可求出答案；
1
（2）根据（1）中答案画出图形即可；
（3）网格中用分割法求面积．
【解答】解：（1）∵点D（m，n）的对应点为点D （m+5，n﹣4），
1
∴三角形 ABC 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度后得到三角形
A B C ，
1 1 1
∴A （3，﹣2），B （2，2），C （0，﹣1）；
1 1 1
（2）由（1）得：A （3，﹣2），B （2，2），C （0，﹣1），
1 1 1
如图，三角形A B C 即所求．
1 1 1（3）解：如图所示：
1 1 1 11
S =S −S −S −S =3×4− ×2×3− ×1×4− ×1×3=
三 角 形ABC▭DEAG △CDB △BEA △CGA 2 2 2 2
【点评】本题考查了作图—平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、
平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离
确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
强化训练
一、单选题
1．（2022下·辽宁沈阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；B．平面内，不相交的两条直线必平行；
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
D．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离的定义、平行公理、平行线定义及垂线进行判断即可．
【详解】A.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
B.平面内，不相交的两条直线必平行，原说法正确，符合题意；
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；；
D.直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原说法错误，不符合题
意；
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义、平行公理、平行线定义及垂线，熟练掌握知
识点是解题的关键．
2．（2023下·山东日照·七年级统考期末）下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行
【答案】A
【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．
【详解】解：A、若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，因此原说法错误，符
合题意；
B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确，不符合题意；
C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意；
D、在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行，说法正确，不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题主要考查垂线段最短，平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解
决本题的关键．
3．（2024下·全国·七年级专题练习）下列推理正确的是 （ ）
A．因为 ， ，所以 B．因为 ， ，所以C．因为 ， ，所以 D．因为 ， ，所以
【答案】C
【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．根据平
行公理的推论逐项判断即得答案．
【详解】解：A、由 ， ，不能推出 ，所以本选项推理错误，不符合题意；
B、由 ， ，不能推出 ，所以本选项推理错误，不符合题意；
C、由 ， ，能推出 ，所以本选项推理正确，符合题意；
D、由 ， ，不能推出 ，所以本选项推理错误，不符合题意．
故选：C．
4．（2024下·四川成都·七年级校考阶段练习）如图 ，那么（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定．根据“同位角相等，两直线平行”即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：C．
5．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）如图，直线 经过点 ， ，当
________ 时， ．
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的判定定理，即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
故选：B．
6．（2024下·全国·七年级假期作业）一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原
来的方向相同，则这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐 ，第二次向右拐
B．第一次向右拐 ，第二次向左拐
C．第一次向右拐 ，第二次向右拐
D．第一次向左拐 ，第二次向左拐
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意画出对应的示意图，结合平行线的判定
条件进行求解即可．
【详解】解：A．如图所示，
由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来相同，故A符合题意；
B．如图所示，由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故B不符合题意；
C．如图所示，
由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故C不符合题意；
D．如图所示，
由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故D不符合题意．
故选A．
7．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期中）如图，点 E 在 的延长线上，下列条件
中能判断 的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，判定方法有：内错角相等，两直线平行；同位角相等，
两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理解答即可．
【详解】解： ． ，内角错相等，两直线平行可得 ，不能判断 ，
故本选项不符合题意；
． ，内角错相等，两直线平行可得 ，可以判断，故本选项符合题意；
． ，内角错相等，两直线平行可得 ，不能判断 ，故本选项
不符合题意；
． ，根据同旁内角互补，两直线平行可得 ，不能判断
，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．（2023下·山东滨州·七年级校考期末）在同一平面内， 是直线，下列关于它们位
置关系的说法中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理的推论判断求解即可．
【详解】解：若 ，则 ，故A错误，不符合题意；
若 ，则 ，故B错误，不符合题意；
若 ，则 ，故C错误，不符合题意；
若 ，则 ，故D正确，符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定定理
与性质定理是解题的关键．
9．（2024下·全国·七年级假期作业）下列生活现象中，属于平移现象的是（ ）
A．急刹车时汽车在地面滑行 B．风车的转动
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上 D．钟摆的摆动
【答案】A
【解析】略
10．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，在四边形 中， ，
平分 ， ， ，点 在直线 上，满足 ．
若 ，则 的值是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线和灵
活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
分类讨论：①当点H在点F的上方时，设 ，根据时平行线的性质和垂直的性质
可得 、 ，再根据角平分线的性质可得
即 ，再结合 可得
，然后可得 ，再根据 列式
即可求得k；同理可求，②当点H在点F的下方时k的值．
【详解】解：如图，当点H在点F的上方时，设 ，，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点H在点F的下方时，，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
二、填空题
11．（2024·全国·七年级竞赛）一辆汽车在公路上行驶，经过两次向右拐弯后（第一次拐弯
后，行驶了一段路程再第二次拐弯），行驶方向仍与原来的行驶方向平行．已知这辆汽车
在这三段公路上都是沿直线行驶，且第一次是向右拐弯 ，那么第二次向右拐弯的最小
度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出图示即可求解．
【详解】解：如图所示：由题意得： ，
∴第二次向右拐弯的最小度数是： ，
故答案为： ．
12．（2024下·七年级课时练习）如图， ， 于E， 交 于F，已知
，则 ．
【答案】 /50度
【分析】根据两直线平行同位角相等可求得 的度数，再根据垂直的定义即可求得
∠2的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
∵ 于E，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
13．（2024下·湖南长沙·七年级专题练习）如图， 为一长条形纸带， ，将
沿 折叠，C、D两点分别与 对应，若 ，则 的度数为
．【答案】 /108度
【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意 ，设 ，则
，构建方程即可解决问题．
【详解】解：由翻折的性质可知： ，
∵ ，
，
∵ ，
∴设 ，则 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
14．（2024下·七年级课时练习）如图，直线 ，若 ， ，则
的度数为 ．
【答案】 /42度
【分析】依据已知，即可得到 ，再根据 ，即可得出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
15．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，三角形 中， ， 是边 上的两点，
是边 上一点，连接 并延长．交 的延长线于点 ．现有以下条件：① 平分
；② ；③ ．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，
构成一个真命题，并加以证明．
条件： ；
结论： ．（填序号）
【答案】 ①② ③
【详解】条件：①②
结论：③
证明： 平分 ，
．
，
， ．
．（答案不唯一）
16．（2024下·全国·七年级专题练习）命题“同位角相等”的条件是 结论
是 ，它是 命题．
【答案】 如果两个角是同位角 那么这两个角相等 假
【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．据此
解答即可．
【详解】解：命题“同位角相等”的条件是“如果两个角是同位角”，结论是“那么这两
个角相等”．此命题是错误的，故是假命题．
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，假
17．（2024下·全国·七年级课堂例题）如图，将 向右平移 格，再向上平
移 格得到 ．【答案】
【分析】本题考查图形的平移，根据点 的平移方式即可得答案．解决本题的关键是观察
发现各对应点之间的转换关系．
【详解】解：∵从点 看，向右移动 格，向上移动 格即可得到 ，
∴将 向右平移 格，再向上平移 格得到 ．
故答案为： ，
18．（2024·全国·七年级竞赛）在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别为 、
、 ，将 向下平移2个单位长度后再向左平移6个单位长度得到 ，
点A、 、 的对应点分别为点 、 、 ，连接 、 ，则五边形 的面积为
．
【答案】30
【分析】本题考查了作图-平移变换及平面直角坐标系中多边形面积的求法，解决本题的关
键是根据平移的性质准确画出图形．
根据平移的性质即可在图中画出 ，五边形 ，即可求出面积．【详解】
如图所示，
，
故答案为：30．
三、解答题
19．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）补全下面的图形，使之成为长方体
的直观图，并标出顶点的字母；
（2）图中与棱 平行的棱有 ；
（3）图中棱 和面 的位置关系是 ．
【答案】（1）见解析；（2） 、 、 ；（3）平行
【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可．
（2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可．
（3）因为线与面没有交点，所以平行．
【详解】解：（1）如图即为补全的图形；（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；
故答案为：CD、EF、GH；
（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了平行线的判断，理解平行线的定义是解题关键．
20．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知点P在 的边 上，
(1)过点P画线段 ，垂足为E：
(2)过点E画直线 ．
(3)画出图中 所有的邻补角：
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）利用三角尺画线段 即可；
（2）利用直尺与三角尺画 即可；
（3）分别延长 ， 即可．
【详解】（1）解：如图，线段 即为所画的线段；
（2）如图，直线 即为所画的平行线；（3）如图，
， 即为所画的角．
【点睛】本题考查的是利用直尺与三角尺画垂线，平行线，邻补角的含义，熟记垂线与平
行线的含义进行作图是解本题的关键．
21．（2023下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知点E、D、C、F
在一条直线上， ， 平分 ， ．
（1） 与 平行吗？请说明理由；
（2） 与 的位置关系如何？为什么？
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；
解：（1） ，理由如下：
∵ （平角的定义），
（已知），
∴ （ ），∴ （ ）．
（2） 与 的位置关系是： ．
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义），
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （ ）．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的判定．掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
（1）根据同角的补角相等，以及同位角相等，两直线平行，作答即可；
（2）根据角平分线的定义以及内错角相等，两直线平行，作答即可．
【详解】解：解：（1） ，理由如下：
∵ （平角的定义），
（已知），
∴ （同角的补角相等），
∴ （同位角相等，两直线平行）．
（2） 与 的位置关系是： ．
∵ 平分 （已知），
∴ （角平分线的定义），
又∵ （已知），
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行）．
22．（2022下·河北石家庄·七年级统考阶段练习）如图， ， ，
．问 吗？为什么？
【答案】 ，理由见解析.
【分析】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理内容：内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，是解题关键．
【详解】解： ．理由如下：
，
．
，
．
，
．
∴ （内错角相等两直线平行）
23．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市十二中校考期中）如图，已知， ，
， 大小相等吗？请说明理由．
请完成填空并补充完整．
解：因为 （已知）
又因为 （邻补角的意义）
所以 （ ）
所以 （内错角相等，两直线平行），
所以 （两直线平行，内错角相等）
因为 （已知）
所以 （等量代换），
∴ （同位角相等两直线平行）
∴ （两直线平行，同位角相等）．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；
根据平行线的判定方法和平行线的性质填空即可．
【详解】解：因为 （已知）又因为 （邻补角的意义）
所以 （同角的补角相等），
所以 （内错角相等，两直线平行），
所以 （两直线平行，内错角相等）
因为 （已知）
所以 （等量代换），
∴ （同位角相等两直线平行）
∴ （两直线平行，同位角相等）．
故答案为： ， ，同角的补角相等．
24．（2024下·全国·七年级假期作业）请在如图所示的方格纸中画出小船向右平移4个单
位长度（方格纸中每一小格为1个单位长度）的图形．
【答案】平移后的小船如图所示．
【解析】略
25．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，线段AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上
的点，过点D作DE∥AB，连接AE， ．将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，
连接DQ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．【答案】(1)见解析
(2)
【详解】解：（1）证明： ， ．
， ， ．
（2）如图，过点D作DF∥AE交AB于点F，则 ．
∵ ，
由平移的性质，得 ，
， ．
， ，
，
，
26．（2024下·七年级单元测试）如图，将网格中的图形平移，使点A移到点 处．
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)画出平移后的图形．
【答案】(1)平移的方向是点A到点 的方向，平移的距离是线段 的长度(2)见解析
【详解】解：（1）如图，连接 ，平移的方向是点A到点 的方向，平移的距离是线段
的长度．
（2）如图，该图形即为所求．
