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考点 11 复数（核心考点讲与练）
1.复数的有关概念
内容 意义 备注
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0
复数的概念
数，其中实部为a，虚部为b 且b≠0，则a＋bi为纯虚数
a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，
复数相等
c，d∈R)
⇔
a＋bi与c＋di共轭⇔ a ＝ c 且 b ＝－
共轭复数
d(a，b，c，d∈R)
建立平面直角坐标系来表示复数的平 实轴上的点都表示实数；除了原点
复平面 面叫做复平面， x 轴 叫实轴，y轴叫 外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象
虚轴 限内的点都表示虚数
设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向
复数的模 |z|＝|a＋bi|＝
量OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量
组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z ( a ， b ) (a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
3.复数的运算
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
(1)加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
(2)减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
(3)乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0).1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把
复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ＝(a，b).
4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在
一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，
不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i的幂写成最
简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a，b∈R)的
形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a＋bi(a，
b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.复数的概念
1. （2021届广东省七校第三次联考） 复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. （2022广东省深圳市高三质量评估）若复数 为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
3.（多选题）复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的实部为3 B． 的虚部为2 C． D．
4. （2021广东省江门市蓬江区培英高中5月冲刺）已知 是虚数单位，若复数 满足 ，则 （
）．
A. B. 2 C. D. 4
复数的运算
1.（2020福建宁德市六校联考）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. （2021浙江省舟山中学高三10月月考）若 ，则 =___________ ， __________ ；
3. （2021福建省高三高考考前练习卷）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式
推动了复数领域的研究．根据该公式，可得 （）．
A. 1 B. C. D.
复数的几何意义
1.（2021重庆市南开中学高三下学期质量检测）已知方程 在复数范围内有一根
为 ，则复数 在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.（2022湖南省湘潭市高三一模）已知 为虚数单位，复数 ， ，则复数 对应的复平
面上的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. （2022重庆市第十一中学高三9月月考）在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
1. （2021年全国高考乙卷） 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （2021年全国高考甲卷）已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【
3. 2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
4.【2020年高考全国III卷理数】复数 的虚部是（ ）A. B. C. D.
5.【2020年新高考全国Ⅰ】 （ ）
A. 1 B. −1
C. i D. −i
6.【2020年高考全国II卷理数】设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.
一、单选题
1. （2022·河北唐山·一模） 复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. （2022·海南·模拟预测）已知复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. （2022·福建漳州·二模） 复数z满足 ，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. （2022·北京·模拟预测）在复平面内，复数 ，则 的虚部是（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
5. （2022·湖北·一模）欧拉公式 （e为自然对数的底数， 为虚数单位）由瑞士数学家
Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则 （ ）
A. -1 B. 1 C. - D.
6. （2022江西省景德镇一中月考）在复平面内，平行四边形 的三个顶点，A，B，C对应的复数分
别为 ， ， ( 为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7. （2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程
的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程 中的 用 来替换，得到方程 ；
第二步，利用公式 将 因式分
解；
第三步，求得 ， 的一组值，得到方程 的三个根： ， ，
（其中 ， 为虚数单位）；
第四步，写出方程 的根： ， ，
.
某同学利用上述方法解方程 时，得到 的一个值： ，则下列说法正确的
是（ ）
A. B. C. D.
8. （2022·山东济宁·一模） 已知复数 （i为虚数单位），复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A. 复数 在复平面内对应的点位于第二象限
B.
C.
D. 的最大值为
9. （2022·重庆市求精中学校一模） 复数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D.
三、填空题
10. （2022·天津·一模）复数 ___________.
