文档内容
专题 13 平方差公式与完全平方公式
考点一 运用平方差公式进行计算 考点二 平方差公式与几何图形
考点三 运用完全平方公式进行运算 考点四 求完全平方式中的字母系数
考点五 整式的混合运算——化简求值 考点六 通过对完全平方公式变形求值
考点七 完全平方公式在几何中的应用 考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题
考点一 运用平方差公式进行计算
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便
计算的有（ ）
（1） （2） （3） （4）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：
，其中x＝1，y＝2；
3．（2022·河南平顶山·七年级期末）运用整式乘法公式先化简，再求值．
其中，a＝－2，b＝1．考点二 平方差公式与几何图形
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可
以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部
分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；
宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算： ．2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的
阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表
示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算： ；
(3)【拓展】计算： ．
考点三 运用完全平方公式进行运算
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【变式训练】
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值： ，
其中x=-1，y=2．2．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1) ；
(2) ．
考点四 求完全平方式中的字母系数
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若 是完全平方式，则k的值为____________．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
2．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）若 是关于 的完全平方式，
则 ______．
考点五 整式的混合运算——化简求值
例题：（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值
．其中x＝2，y＝-1．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）先化简再求值：
，其中a＝﹣ ，b＝﹣2．
2．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1) ，其中 ， ；(2) ，其中 ， ．
考点六 通过对完全平方公式变形求值
例题：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式 的值．
【变式训练】
1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
考点七 完全平方公式在几何中的应用
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚
线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式： ， ， ．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若 ， ，则 _______．
【变式训练】
1．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸
片， 种纸片是边长为 的 正方形， 种纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 、宽为 的长方形，
并用 种纸片一张， 种纸片一张， 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为 的矩形， 则需要 号卡片 1 张， 号卡片 2 张， 号卡片________
张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ： ， ，求 的值；②已知 ，求 的值．
2．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用
剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则 =_____．
(3)知识迁移：设A= ，B=x+2y﹣3，化简 的结果．
(4)知识延伸：若 ，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．
求解过程如下：因为 ，因为 ，所以 ，即
的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？(2)你能否求出 的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求 的最大值．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道 ，所以代数式 的最小值为 学习了
多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用 来求一些多项式的最小值．
例如，求 的最小值问题．
解： ，
又 ， ， 的最小值为 ．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究： ______ ______；
(2)求 的最小值．
(3)比较代数式： 与 的大小．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的
多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后
总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式 的最小值是_____；
(2)知识运用：若 ，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若 ，求y+2x的最小值．
一、选择题
1．（2022·山东烟台·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·云南文山·七年级期中）若代数式 是完全平方式，则k等于（ ）
A． B．8 C．16 D．
3．（2022·山东聊城·七年级期末）如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A．6 B．5 C．2 D．
4．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知 ， ，则代数式
的值为（ ）
A．8 B． C．9 D．5．（2022·四川·达州市达川区翠屏实验学校七年级期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b
的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个
等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2
二、填空题
6．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）化简： ______．
7．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）已知a+b＝3，a－b＝5，则 ＝__________．
8．（2022·山东烟台·八年级期中）关于 的二次三项式 是完全平方式，则 的值是
______________．
9．（2021·江苏·南通市八一中学八年级阶段练习）已知实数a，b满足 ，则 的最小值
为______．
10．（2022·广西贵港·七年级期末）已知 ，则 ______．
三、解答题
11．（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）计算：
(1) ；
(2) （运用乘法公式计算）．
12．（2022·四川·渠县琅琊中学七年级期中）先化简，再求值：，其中x=2，y=﹣1．
13．（2022·山东·滕州市鲍沟镇鲍沟中学七年级阶段练习）（1）化简：
．
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
14．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）观察下列各式：
（x－1）（x+1）= －1；
（x－1）（ +x+1）= －1；
（x－1）（ +x+1）= －1；
......
(1)根据以上规律：（x－1）（ +x+1）= ；
(2)归纳总结：（x－1）（ +.....+x+1）= ；
(3)根据以上规律：求 +......+2+1的值
15．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为
b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图 中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，请用含a、b的代数式表示： ______，
______；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
(3)运用（2）中得到的公式，计算： ．
16．（2022·全国·九年级专题练习）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特点
可以解决很多数学问题．
解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周长的最大值．
17．（2022·广东汕头·八年级期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块
小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积方法1：_________________；方法2：_________________.
(2)观察图b，写出下面三个式子 ， ， 之间的等量关系_________;
(3)根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知 ， ，则 ________；
②已知 ， ，求 的值．(写出解答过程)
