高一数学试题（B）参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合要求的．
1．B 2．D 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．ABD 10．ABD 11．BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．[ 1,1] 13．-6（2 分） -4 （3 分）
a t
(0 ≤ 2)
2
≤
14．y
=a(2
< < 4) （分界处等号位置不唯一，故答案不唯一）
a t 1
+ (4 a ≤ < 10)
6 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
解：（1）由已知 ⊆ A ，
B
< a −2,
所以2 < 1,
2
a−2
>7,
...............4 分
a < −1 >2,
或a
所以
< 1,
> 3或 < −3,
a
所以a< −3；...............6 分
（2）由已知 ⊆ B，
A
则当 A=φ时， a≥a2−2，所以 − ≤a ≤2，...............8 分
< a −2, a < −1 >2,
2 或a
当 A =φ时，a≥1, 所以
a≥1,
a 2 −2 ≤7, − ≤
a≤3,所以2<a ≤3， ...............12 分
综上得 1− ≤a≤3................13 分
高一数学答案（B）第 1 页（共 4 页）16．（15 分）
解：（1）由偶函数 ( ) f x 在[0, +∞)上单调递减，则在(-∞, 0)上单调递增，...........2 分
又 f (2)＝0，则 f (-2)＝0，...............3 分
则 x 2<2,
−
2
− <x2−2< 2,
所以0<x2<4, ...............6 分
所以−2<x< 2且≠0,
x
不等式解集为{ | 2− <x<2 且 0}；...............7 分
≠
（2）a2 −2a+3=(a−1 2+2≥2,..........1 0分
)
又因为f x ( )在[0,+ )上递减,
所以 f 2−2a+3 )≤f(2)= f(−2),..........13分
a
所以 f 2−2a+3)≤f( 2) . ...... .1 5分
a .. .
17．（15 分）
解：原不等式可化为（ax－3）（x－2）＞0；..........2 分
当 a＝0 时，化为 x＜2；..........4 分
3
当 a＞0 时，化为 − ）（x－2）＞0，..........5 分
a
（x
①当 3 3
时，得 或 x＜2；.........7 分
a＞2，即 0＜a ＜ ＞ a
x
2
②当 3
时，得 x≠2；..........9 分
a =2，即 a = 2
③当 3 3 3
＞ 时，得 x＞2 或＜ ，..........11 分
a＜2，即 a 2 a
x
3 ）（x－2）＜0，得 3
当 a＜0 时，化为
− a a＜ x＜2．..........13 分
（x
综上所述：原不等式的解集：当 a＜0 时为（3
a，2）；当 a＝0 时为（﹣∞，2）；
时为（﹣∞，2）∪（3
当 0＜ 时为（﹣∞，2）∪
＜ 2 a，+∞）；当 a= 2
a （2，+∞）；
3
时为（﹣∞，3
当 a
＞ 2 a）∪（2，+∞）．..........15
分高一数学答案（B）第 2 页（共 4 页）18．（17 分）
解：（1）由已知 ( ) f x 定义域 ≠ 1且 ≠ ，关于原点对称，..........1 分
为{ | x x −1}
2 2
1 ( + x ) 1+x
f(−x)= −1 x 2 ) = 1−x 2 =f ) x ( ，..........3 分
(− −
所以 ( ) f x 为偶函数；...........4 分
（2） ∀x ∈ +∞ ，且 x <x ，..........5 分
1 2
x , (1,
2 1+x2 1+x2 (1+x 2 ) −x2 )−(1+x2 )(1−x2) 2x2 − x2 )
f x) −f x ( = 2 − 1 = 2 1 1 2 = 2 1
2 ) 1−x2 1−x2 (1 (1−x2)(1−x2 ) (1 − (x2 ) −x2 )
1 2 1 2 1 2 1
2(x −x)(x +x), (1
= 2 1 2 1 .... ......8分
(1−x2)(1−x2
)
2 1
因为x x ∈(1，+ 且x<x所以x−x >0,1−x2 <0,1−x 2<0,
1 2 1 2 2 1 1 2
所以f x )− f ∞x) , > 0所以f x ( )在(1,+ )上为增函数. ..........10分
2 ( )
2 −(1−x2) 2
（3）f ( ) = = −1因为x2≥0 ,所以1−x2≤1且−x2≠0 ，..........12 分
1 −x2 1−x2
, 1
1 2 2
当0 < − x2≤1时, ≥1 ,所以 ≥2,所以 − ≥1 1,..........14分
1−x2 1−x2 1−x2
1 1 2
当1−x2<0时, <0 ,所以 <0,所以 − < −1,..........16分
1−x2 1−x2 1−x2
所以f x ( )值域为 − ∞ ∪[1, + ). ..........17 分
（ −, 1) ∞
19．（17 分）
1
3
解：（1）证明：因 f x ( = x 在[0, 3]上单调递增，
为 ) 9
又f(0)=0，f (3)=3 ，
1
3
所以当x∈[0，3]时，f x ( = x ∈[0，3]，..........2 分
) 9
1
3
所以[0, 3]是函数f x ( = x 的一个“优美区间”；..........3 分
) 9
1
（2）证明：因 g x ( ，x≠0 ，
= − x
为 )
易知 g x 在 −∞,0和(0,+∞ 上单调递增，..........4 分
( )
设[m， ] n ⊆ −∞,0)或[m， ] n (0,+∞ ，
⊆
若[m， ] n 是函数y= g x ( 的“优美区间”，
)高一数学答案（B）第 3 页（共 4 页） 1
≥m,
− m
则 ..........7 分，
1
≤n
− n ,
m2−m+1
≤0,
m
所以
n2 −n+1
≥0,
n
m 0,
因为m2− m + > 0，n2−n + > 0，所以< 不满足题意，
0,
>
所以函数y = g x 不存在“优美区间”；..........9 分
( )
(a2+ a −1
（3）因为h x ( = (a∈R,a≠0 ，x≠0，
x2
) a x )
设[m， ] n ⊆ 或[m， ] n (0,+∞ ，
−∞,0) ⊆
又因为y=h x ( 有优美区间[m， ] n ，
)
a+1 1
则h x = − 在[m， ] n 上单调递增，
2
( ) a a x
h ≥m h m =m
所以m ( , 因 f x 单调递增，若 n-m 取得最大值， ( ) , ..........12 分
h n ≤n ,
则
h n ( =n ,
( ) )
a + − 1
即 m, n 是方程 2 = x ， a x2− 2 +a x + = 0的两个同号且不相等的实数根，
a a x 即 (
又因为∆=(a2+a)2− 4a2= a2(a+ 3)a−1)>0，
(
解得 a > 或 a< − ，
1 1
由韦达定理可得m+n = + ， m ，
a n = a 2
1 4 4 1 1
所以n−m= (n+m)2 −4 m = (1+ )2 − = −3( − )2，
a a2 3 a 3
n
又因为 a > 或 a< − ，
所以当 a=3时，n−m取得最大值．..........17 分
所以a=3 ．高一数学答案（B）第 4 页（共 4 页）
