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专题14 二次函数中的平行四边形
类型一 坐标轴和抛物线上两动点和两定点成平行四边形
1．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 和 ，点 的坐标是 ，与 轴交于点
，点 在抛物线上运动．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点 在 轴上运动时，探究以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点 的坐
标．
(1)
解：点 和点 代入二次函数 ，
得：
解得 ．
∴抛物线的表达式是 ．(2)
解：∵点 在 轴上，
∴设点 的坐标为：（a，0），点 的坐标是 ．
∵以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
①当BC为对角线时，由中点公式可得
解得： ，
点 的坐标为：（4，0）时与点 重合，应舍去，
此时，点 的坐标为：（1，0）；
②当BD为对角线时，由中点公式可得
解得： ，
点 的坐标为：（4，0）时与点 重合，应舍去，
③当BE为对角线时，由中点公式可得
解得： ，
此时，点 的坐标为：（ ，0），（ ，0）；
综上所述，点 的坐标为：（1，0），（7，0），（ ，0），（ ，0）．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、图形面积的求法、平行四边形的性质、二次函数的应用等，综合性
强、难度较大，熟练应用二次函数模型求三角形面积的最大值是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点
C.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q，为顶点的四边形是平行四边形?
若存在，直接写出M的坐标；若不存在，说明理由.
(1)
解：将A（-3，0），B（1，0）代入y=ax2+bx+2，
得 ，
解得，a=- ，b=- ，
∴抛物线解析式为：y=- x2- x+2；
(2)
解：如图2，当AQ//CM且AQ=CM时，
∵yC=2，
∴yM=2，
在y=- x2- x+2中，
当y=2时，- x2- x+2=2，
∴x=0（舍去），x=-2，
1 2
∴M（-2，2）；
1
当AM//CQ时，
∵yC-yA=2，
∴yQ-yM=2，
∴yM=-2，
在y=- x2- x+2中，
当y=-2时，- x2- x+2=-2，
∴x=-1- ，x=-1+ ，
3 4
∴M（-1- ，-2），M（-1+ ，-2）．
2 3
综上所述，点M的坐标为（-2，2）或（-1- ，-2）或（-1+ ，-2）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图象及性质，平行四边形的性质等知识，
解题关键是熟练运用平行四边形的性质以及二次函数的性质．3．如图，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一动点，在y轴上存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（4,5）或（-4,21）或 ．
【解析】
【分析】
（1）直接运用待定系数法解答即可；
（2）分AB为平行四边形的一边和对角线两种情况解答即可．
(1)
解：将 ， 代入 中，
得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ；
(2)
解：①当AB为平行四边形一条边时，如解图①，
设P（m, ）, Q（0， ），
∴PQ=|m|∵AB=3-(-1)=4
∴|m|=4，即m=±4
∴P（4,5）或（-4,21）；
②当AB是平行四边形的对角线时，如解图②，
设P（m, ）, Q（0，n）
∴PQ的中点坐标为（ ）
∵AB的中点坐标为(1,0)
∴ =1，即m=2
∴
∴点P的坐标为 ．
综上所述，点P的坐标为（4,5）或（-4,21）或 ．【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法确定函数解析式以及二次函数与特殊四边形的综合，掌握二次函数的性质
和分类讨论思想成为解答本题的关键．
类型二 对称轴和抛物线上两动点和两定点成平行四边形
5．如图抛物线经过点 ， ， ，点 为该抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，且在该抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的
四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在，点 坐标为 或 或
【解析】
【分析】
（1）设抛物线解析式为： ，将点 坐标代入可求解；
（2）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
(1)
解：设抛物线解析式为： ，
由题意可得： ，
，
抛物线解析式为： ；(2)
解：∵点 ， ，
对称轴为 ，
设点 ，点 ，
若以 为边， 为边，
以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
与 互相平分，
，
，
点 ；
若以 为边， 为边，
以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
与 互相平分，
，
，
点 ；
若 为对角线，
以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
与 互相平分，
，
，
点 ；
综上所述：点 坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，中点坐标公
式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （ ）的图象经过点A（－1，0）、点B
（3，0）、点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若在x轴上有一动点M，在抛物线 上有一动点N，则M、N、B、C四点是否能构成平
行四边形，若存在，请求出所有适合的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试题解析：（1）∵点A、B、C在抛物线 上，
∴ 解得
∴此抛物线为：
由
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（2）设点M的坐标为（t，0）
则由C（0，3）、B（3，0）、M（t，0）可以得到
若能构成平行四边形时点N的坐标有三种可能，
分别是（3－t，3），（t－3，3），（t＋3，－3）∵点N在抛物线 上
当把（3－t，3）代入 时，
可得t=1或t=3（点M与点B重合，舍去）；
当把（t－3，3）代入 时，
可得t=5或t=3（点M与点B重合，舍去）；
当把（t＋3，－3）代入 时，
可得t= 或t= ，
综上可知，M的坐标为（1，0）、（5，0）、（ ，0）、（ ，0）．
考点：二次函数综合题
7．如图，二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 O、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵二次函数 的图象经过 A（1，0），B（0，﹣3）两点，
∴抛物线的解析式为 即
∴抛物线的顶点坐标为（2，1）；
（2）存在，P 点有2个，坐标为 P（2，3），P（2，﹣3）．
1 2
如图，当四边形 OBCP 是平行四边形时，CP =OB=3，而 OC=2， 故 P（2，3）；
1 1 1
当四边形 OBP C 是平行四边形时，CP =OB=3，而 OC=2， 故 P（2，﹣3）．
2 2 2【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质以及三角形面积的求法，解题时注意分
类思想的运用．解这类问题关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题
目中的一些隐含条件．
8．如图，二次函数 的图象与x轴相交于点A和点 ，与y轴相交于点 ．
(1)求二次函数的表达式及A点坐标；
(2)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以点M、N、B、O为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)
解：因为点 ， 在抛物线 上
所以：
解得：∴二次函数的解析式为：
当 时，
解得： ，
∵
∴A点坐标为 ．
(2)
(3)
解：点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5)，
如图2，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，
可得N(－2，－3)或N′(0，－3)；
当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
当x＝2时，y＝4＋4－3＝5，
∴N″(2，5).
综上所述，满足条件的点N的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5) ．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，利用二次函
数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键．
9．已知二次函数 的图象与 轴的交于A、B（1，0）两点，与 轴交于点 ．(1)求二次函数的表达式及 点坐标；
(2) 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 ．使以 、 、 、 为顶点的四
边形是平行四边形？若有，请写出点 的坐标（不写求解过程）．
(1)
解：（1）把B（1，0），C（0，-3）代入y=ax2+2x+c则有
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3，
令y=0，得到x2+2x-3=0，解得x=-3或1，
∴A（-3，0）．
(2)
解：存在．满足条件的点N的坐标为（2，5）或（0，-3）或（-2，-3）．
理由如下：设点N的坐标为（n， n2+2n-3）点M的坐标为（-1，h），已知点O（0，0）点B（1，0），
则以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形有三种情况，讨论如下：
当OB为对角线时：
，解得： ，
∴点N为（2，5）；
当BM为对角线时：
，
解得： ，
∴点 为（0，-3）；
当BN为对角线时：
，
解得： ，
∴点 为（-2，-3）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，5）或（0，-3）或（-2，-3）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数与平行四边形存
在性问题；解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．无需画图利用对点法可
以对二次函数平行四边形存在性问题实现盲解．
10．已知二次函数 的图像与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四
边形是平行四边形？若有，请直接写出点N的坐标【详解】
（1）∵y＝ax2＋bx＋c过点A（－3，0），B（1，0），C（0，－3）
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3；
（2）存在，N（－2，－3）或（0，－3）或（2，5），理由如下：
如图，当OB是平行四边形的边时如图1，2
OB＝MN＝1可得N（－2，－3）或N（0，－3）
当OB为对角线时，如图3点N的横坐标为2
当x＝2时，y＝4＋4－3＝5
∴N（2，5）
综上所述，满足条件的点N的坐标为（－2，－3）或（0，－3）或（2，5）
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
类型三 已知直线和抛物线上两动点和两定点成平行四边形
11．如图，二次函数 的图像交x轴于 ，交y轴于 ，过 画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，请判断是否存在以P、Q、O、C为顶点的四
边形为平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1） ； （2） (2，2)， ( ( ， )， （﹣2，﹣
2）．
【解析】
【分析】
（1）设抛物线解析式为 把 代入求得a的值即可得出答案；
（2）分OC为边和OC为对角线去讨论结合平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵二次函数 的图像交x轴于 ，
∴设该二次函数的解析式为： ，
又二次函数 的图像交y轴于 ，
将 ， 代入，得 ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）存在，理由如下：
若OC为平行四边形的边，设 ，
∵点Q是直线 上的动点，∴ ，
则PQ＝ ，
∵P、Q、O、C为顶点的四边形为平行四边形，则PQ＝OC，
即 ，
∴ （舍去）， ， ， ；
∴ ， ， ；
若OC为平行四边形的对角线，设点P的坐标： 设点Q的坐标为
∵O（0,0），C（0，﹣2），
∴ ，
解得m＝0（舍去），m＝﹣2
则 （﹣2，﹣2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求解函数解析式，平行四边形的判定和性质．
12．已知抛物线 的图象与x轴相交于点A和点 ，与y轴交于点C，连接AC，有一动点
D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为
m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)
解：∵点 ，AB＝4，
∴ ，
将 ， 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：存在，理由如下：
∵ ，
∴ ，
设 ，如图：①当BC为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
∴ ；
②当BE为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
∴ ；
③当BQ为平行四边形的对角线时，
，
解得 ，
∴ ；
综上所述：当Q点为 或 或 时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，一次函数，平行四边形，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，
平行四边形的对角线互相平分．
13．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过点A的直
线：y＝－x＋n与y轴交于点C，与抛物线y＝－x2＋bx＋c的另一交点为D，且点D坐标为（5，－6），点
P为抛物线y＝－x2＋bx＋c上一动点（不与A、D重合）
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)设M为直线上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存
在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)
解：将D（5，-6）代入直线y＝－x＋n，得-6=-5+n，n=-1，
∴直线解析式为：y＝－x-1，
∵x=0时y=-1，y=0时x=-1，
∴A点坐标（-1，0），C点坐标（0，-1）；
将A（-1，0）、D（5，-6）两点代入抛物线y＝－x2＋bx＋c得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为：y＝－x2＋3x＋4，
∵x=0时y=4，
∴N点坐标（0，4）；
(2)
解：∵C（0，-1）、N（0，4），
∴|NC|=5，①当NC为平行四边形的一条边时，∵NC⊥x轴，∴PM⊥x轴，即P、M横坐标相同|PM|=5，
设P（x，－x2＋3x＋4），则M（x，－x-1），
|－x2＋3x＋4-（－x-1）|=5，
－x2＋3x＋4-（－x-1）=5时，解得：x=0（舍去），或x=4，
－x2＋3x＋4-（－x-1）=-5时，解得：x= 或x= ，
由直线解析式可得：M点坐标为（4，-5）或（ ， ）或（ ， ）；
②当NC为平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（0， ），
设P点坐标（m，－m2＋3m＋4），M点坐标（n，－n-1），
N、C、M、P为平行四边形的四个顶点，则NC的中点即为PM的中点，
即 ，解得： ，（m=0时舍去），
由直线解析式可得：M点坐标为（-4，3）；
综上所述M点坐标为（4，-5）或（ ， ）或（ ， ）或（-4，3）．
【点睛】
本题考查了二次函数和一次函数的综合；数形结合利用坐标的特征表示出线段的长度并根据平行四边形的
性质建立方程求解是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且
5OA=OB=OC．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．
(1)
解：∵点B是抛物线 与y轴的交点，
∴点B的坐标为（0，-5），
∴OB=5，
∵5OA=OB=OC，
∴OA=1，OC=5，
∴点C的坐标为（-5，0），点A的坐标为（1，0），
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
(2)
解：由（2）得直线BC的解析式为 ，
设点P的坐标为（m， ），则点Q的坐标为（m， ），
∴ ，
∵四边形OBQP是平行四边形，
∴PQ=OB=5，
∴ ，即
解得 或 ，
∴点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式等等，
利用数形结合的思想求解是解题的关键．
