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专题14 古代数学文化中的二元一次方程组的应用（原卷版）
专题解读：因为中考必考又有趣，所以练练很必要！
一、《算法统宗》里的二元一次方程组的应用
1．（2021秋•招远市期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是
东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大
僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有 100个和尚分100个馒头，如果大和尚
1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．
2．（2022春•丹阳市期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，
一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住 7人，那么有7人无
房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？该批住店房客多少人？
3．（2022春•鄞州区校级月考）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，
若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？
4．（2020•蜀山区校级一模）《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八
两多十八，试问能算者，合与多少肉”，其大意是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16
两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两多少文？5．（2019•颍泉区模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子
测水井深度，绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深多1尺，问绳长、井深各是多少
尺？”．若设这个问题中的绳长为x尺，求x的值．
二、《九章算术》里的二元一次方程组的应用
6．（2022春•溧阳市期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足中有题译文如下：今有人合
伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？
7．（2022•安徽模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典北作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，
白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：“甲袋中装
有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两
袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？”
试求黄金、白银每枚的重量．
8．（2022春•铜山区期末）《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊五，值金十六
两．问牛、羊各值金几何？”译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值
16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”
根据以上译文，解决下列问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）某人计划用17两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），共有几种不同的购买
方案？请列出所有可能的方案．9．（2022春•青县期末）阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学
史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三
值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，
问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
结合你学过的知识，解决下列问题：
（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，
①小鸡有 只，买小鸡一共花费 文钱；（用含x，y的式子表示）
②根据题意，列出一个含有x，y的方程： ；
（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡
各有多少只？
（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．
10．（2022•安徽一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下
禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？
大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其
中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每1束之实各为多少？
11．（2022•包河区校级一模）《九章算术》中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问
燕、雀各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕
交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．12．（2022•安徽二模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有
一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三
节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．
请解答上述问题．
13．（2021春•同安区月考）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛
二、羊五，直金十六两．”意思是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16两银
子．”
（1）求1头牛、1只羊共值多少两银子？
以下是小慧同学的解答（请你补充完整）：
分析：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列表分析：
品种 单价 个数 总价 合计 所付银两
第一次 牛 x 5 5x 5x+2y 19
羊 y 2 2y
第二次 牛 x 2 16
羊 y 5
从而列出方程组：
{5x+2y=19①
，则①+②，得 ，所以，x+y＝ ．
(ㅤㅤ)②
小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是
我们通常所说的“整体思想”．
（2）运用“整体思想”尝试解决以下问题；
对于实数x，y，定义新运算：x y＝ax+by﹣1，其中a，b是常数．已知2 5＝4，2 3＝2，求1 2的
值． ⊗ ⊗ ⊗ ⊗三、《孙子算经》里的二元一次方程组的应用
14．（2022春•滑县期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余 4.5
尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．
15．（2022•蓝田县二模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，
不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：
有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说：“每人分6匹，
会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？
16．（2021•安徽二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，
问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，
最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
17．（2021•义安区二模）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹
大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦．问有多少匹大马、多少匹小马？
18．（2021•双阳区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙
2
两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么
3
乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？19．（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在 1500年前成书的《孙
子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔
各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有 25个头；从下面数，有
76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
20．（2018•利辛县模拟）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算
经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二
梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？
四、其他古代数学文化中的二元一次方程组的应用
21．（2021•蚌埠模拟）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，
沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追
妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空
顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？解答上述
问题．
22．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程
组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，
回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得
快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于 30的两位数，其十位数上的数字比
个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
