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专题 14 勾股定理之垂美四边形模型综合应用（3 大类
型）
解题思路
【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD
【典例分析】
【典例1】（2022春•海珠区校级期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形
叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四
边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有
怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正
方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则
①求证：△AGB≌△ACE
②GE＝ ．
【解答】解：概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
性质探究：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由如下：
如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
问题解决：①连接CG，BE，如图2所示：∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△AGB和△ACE中，
∵ ，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②∵△AGB≌△ACE，
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝2，AB＝5，
∴BC＝ ，CG＝2 ，BE＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝37，
∴GE＝ ；
故答案为：
【变式 1-1】（2022 秋•禅城区校级期中）四边形 ABCD 如图所示，已知
AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，
∴AC＝ ，
∵AC2+CD2＝45+4＝49＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD；
（2）解：四边形 ABCD 的面积＝
＝9+3 ．
【变式1-2】（2021春•祁阳县期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形
叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行
四边形．是垂美四边形的是： ①③ （填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜
想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG，GE，已知 BC＝6，AB＝
10，求GE长．【解答】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直，
∴正方形，菱形是垂美四边形，
故答案为：①③．
（2）结论：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝8，
∴CG＝8 ，BE＝10 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝292，
∴GE＝2 ．
【变式1-3】（2021春•越秀区校级期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫
做垂美四边形．
（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正
方形．其中一定是“垂美四边形”的是 （填序号）；
（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，
AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝ ，AB＝
3．
①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；
②求GE的长．【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：③④．
（2）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，如图2，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AOE＝90°，
∴∠ABG+∠AOE＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形；
②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝ ，AB＝3，∴BC＝ ＝ ＝2，CG＝ AC＝ ，BE＝ AB＝3
，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝ ＝24，
∴GE＝2 ．
【夯实基础】
1．（2022春•海安市月考）如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美
四边形．
（1）概念理解，在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．
（2）性质探究，小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，
如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．请判断小
美同学的猜想是否正确，并说明理由．
（3）问题解决：如图2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、
BC的中点，连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．
【解答】解：（1）∵菱形的对角线互相垂直，
∴菱形是垂美四边形，
∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC⊥BD，
∴当AB＝AD，CB＝CD的四边形ABCD是垂美四边形，
故答案为：③④；
（2）猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）∵BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，
∴AD＝ AC＝2，BE＝ BC＝ ，DE＝ AB，
∵AE⊥BD，
∴AB2+ED2＝AD2+BE2，
∴ AB2＝4+ ，
∴AB＝ ．
2．（2021•新北区一模）如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四
边形．
（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这
四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对
边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已
知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由如下：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）连接CG，BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
又∵∠BMC＝∠AME，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG．
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝ ．
3．（2021春•红谷滩区校级期末）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做
垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形
ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：
①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数
量关系．写出你的猜想，并给出证明；②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，
在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别
交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
（3）问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和
正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的长．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，
理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
即四边形ABCD是垂美四边形．
（2）①AD2+BC2＝AB2+CD2；
理由：如图1，连接BD，AC相交于E，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由 勾 股 定 理 得 ， AD2+BC2 ＝ AE2+DE2+BE2+CE2 ， AB2+CD2 ＝
AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
②四边形FMAN是矩形，
理由：如图3，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，
∴AF＝CF＝BF，
又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，
∴AD＝DB、AE＝CE，
∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠AMF＝∠MAN＝∠ANF＝90°，
∴四边形AMFN是矩形；
（3）如图4，连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中， ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝2，AB＝5，
∴ ， ， ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝37，∴ ．
4．（2021春•岳麓区校级期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做
垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的
有 菱形和正方形 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的
数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图 3，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝
3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，设AB，CE交于点M，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝ ＝4，CG＝ AC＝3 ，BE＝ AB＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2 ，
∴OH＝ GE＝ ．
5．（2020•科尔沁区模拟）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美
四边形”．
（1）概念理解：如：图1，四边形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，问四边形
ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：如图 2，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，
求GE的长．
【解答】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：∵BA＝BC，DA＝DC，
∴BD垂直平分AC，
∴四边形ABCD是垂美四边形；
（2）证明：Rt△AOB中，OA2+OB2＝AB2，Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
Rt△COB中，OC2+OB2＝CB2，Rt△COD中，OD2+OC2＝DC2，
∴AB2+DC2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+CB2．
（3）解：如图3，连接CG、BE，CE与AB相交于点M，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
即CE⊥BG，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，
∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，
∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，
∴GE＝ ．
6．（2019春•曾都区校级期中）【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形
叫做垂美边形．
（1）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边
形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）【性质探究】如图 1，试探索垂美四边形 ABCD两组对边AB，CD与
BC，AD之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向
外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝
10，求GE长．
【解答】解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形．证明：连接AC、BD交于点E，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：AD2+BC2＝AB2+CD2．
如图2，已知四边形ABCD中，∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
∴∠BNC＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6，CG＝8 ，BE＝10 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（8 ）2+（10 ）2﹣62＝292，∴GE＝ ＝2 ．
7．（2019•兰州模拟）阅读理解：如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫
做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：
垂美四边形的两组对边的平方和相等．
已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．
求证：AD2+BC2＝AB2+CD2
证明：∵四边形ABCD是垂美四边形
∴AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
拓展探究：
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂
美四边形吗？请说明理由．
（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底
边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，
分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5．求GE长．
【解答】解：拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，
理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形．
（2）四边形FMAN是矩形，
理由：如图3，连接AF，
∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，
∴AF＝CF＝BF，
又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，
∴AD＝DB、AE＝CE，
∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠AMF＝∠MAN＝∠ANF＝90°，
∴四边形AMFN是矩形；问题解决：
连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4 ，BE＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝ ．
8．（2016秋•通州区期末）【图形定义】
我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【性质探究】
如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边 AB，CD与BC，AD
之间的数量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】
如图2，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰
Rt△ACD和等腰Rt△ABE，连接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的长．【解答】解：（1）结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
（或：AD2+BC2＝AB2+CD2．）
证明：设AC与BD相交于点E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）连接CE，BD相交于点N，CE交AB于点M．
∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠DAB＝∠CAE，
又∵AB＝AE，AD＝AC，
∴△DAB≌△CAE，
∴∠ABD＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABD+∠AME＝90°，即CE⊥BD，
∴四边形CDEB是垂美四边形，
由（1）得，CD2+BE2＝CB2+DE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CD＝ ，BE＝ ，
∴DE2＝CD2+BE2﹣CB2＝73，
∴DE＝ ．9．（2021•南明区模拟）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边
形”．
（1）性质探究：如图 1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：
AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作
等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN
＝2 ，则S ＝ ．
△ABC
【解答】解：（1）证明：如图1中，
∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①方法一：连接PC、AQ交于点D，如图2，
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5 ）2+（4 ）2＝32+PQ2；
∴PQ＝ ．
②连接PC、AQ交于点D，如图3，同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分别是AC、AP中点，
∴MN＝ PC，
∵MN＝2 ，
∴AQ＝PC＝4 ．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝ ，
∴S ＝ ×BC×BE＝ ＝ ．
△ABC
方法二：
连接PC，AQ，PQ，延长PB使BH＝AB，
由①得，△BPC≌△BAQ，∴PC＝AQ＝2MN＝4 ，PC⊥AQ，
∴∠PBM＝∠QBC＝90°，
∴∠PBQ+∠ABC＝180°，
即∠QBH＝∠CBA，
∵BQ＝BC，AB＝PB＝BH，
∴△BQH≌△BCA（SAS），
∴S ＝S ＝S ，
△ABC △PBQ △QBH
∴S ＝
△ABC
＝
＝ ．
故答案为： ．
10．（天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形
ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，
AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE、BG、GE．已知 AC＝4，AB＝
5，求GE的长．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中， ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4 ，BE＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝ ．
11．（2021•姑苏区校级二模）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂
美四边形．
（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这
四种图形中肯定是垂美四边形的是 ．
（2）性质探究：如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组
对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外
作正方形 ACFG和正方形 ABDE，连接 BE，CG，已知 AC＝4，AB＝5，求
GE的长．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由如下：∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
故答案为AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）CE、BA相交于点M，连接CE，BG，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
又∵∠BMC＝∠AME，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG．
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝ ．
