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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题17.6勾股定理与弦图问题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代
数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长
为（ ）
A．13 B．10 C．15 D．9
2．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图所示的正方形图案是用4个全等的直
角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三
角形的两直角边(x>y)，下列三个结论：①x2+ y2=25；②x−y=1；③xy=12；④x+ y=40．其中
正确的是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．（2021秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正
方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三
角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）A．√5 B．√13 C．4 D．3
4．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全
等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，
得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．68 C．72 D．76
5．（2022春·山东济南·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽，主体图案是
由图2的一连串直角三角形演化而成，其中OA =A A =A A =……=A A =1，若OA ⋅OA 的值
1 1 2 2 3 n−1 n 5 n
是整数，且1≤n≤100，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦
图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的
边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11
7．（2022秋·江西·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学
的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直
角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9 B．9√2 C．3√2 D．3
8．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角
形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S EDA＝S CEB
△ △
B．S EDA+S CDE+S CEB＝S ABCD
四边形
△ △ △
C．S EDA+S CEB＝S CDE
△ △ △
D．S AECD＝S DEBC
四边形 四边形
9．（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦
图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交
BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+EB=7，则S −S 的值是（ ）
△CFP △AEPA．3 B．3.5 C．4 D．7
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，这个
直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的
直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是
2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和
为（ ）
A．225 B．250 C．275 D．300
二、填空题
11．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和
证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代
的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角
形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是
1，则 的值是____________．
(a+b) 2
12．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个全等的直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重处，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空
白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则 ________．
(a+b) 2=
13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成
的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG．若AE
＝2BE＝2√5cm，则线段CG＝_____cm．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一
个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图
2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影
部分的面积为S，那么S的值为______．
15．（2022春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，△ABF、△BCG、△CDH、
△DAE为四个全等的直角三角形，BD与CH、EG、AF分别交于点M、O、N，且满足DN=DC，则两
个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为___________．16．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦
图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．如图，若拼成的大正方形为正
方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连结AC，交BG于点P，交DE于
1 √2
点M，①△CGP≌△AEM，②S −S = ，③DH+HC=4，④HC=2+ ，以上说法正确的是
△AFP △CGP 2 2
______．（填写序号）
17．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周碑算经》中，汉代
数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”． 图②由
弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成． 记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形
MNKT的面积分别为S ,S ,S 若S +S +S =24，则正方形EFGH的边长为___________．
1 2 3． 1 2 3
18．（2022春·福建三明·八年级统考期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代
数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方
形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：
①a2+b2=49,②a−b=4,③2ab+4=49,④a+b=9.其中正确的是________．19．（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四
个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一
倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________．
20．（2021春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S ，以CD为斜
1
边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
2
按照此规律继续下去，则S 的值为______．
2021
三、解答题
21．（2023春·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制
作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在
北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3
次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，
则徽标的外围周长为________cm．
22．（2022春·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1
的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长
为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为
24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ，若S +2S +S =20，则S = ．
1 2 3 1 2 3 2
23．（2019秋·广西河池·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在
Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求
的值．
(a+b) 224．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角
形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
25．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为
“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了
“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都
是奇数，且从3起就没有间断过．
1 1
当勾为3时，股4= ×(9−1)，弦5= ×(9+1)；
2 2
1 1
当勾为5时，股12= ×(25−1)，弦13= ×(25+1)；
2 2
1 1
当勾为7时，股24= ×(49−1)，弦25= ×(49+1)．
2 2
(1)如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据
此规律第四组勾股数是 ．
(2)若a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数．求证：以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
26．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三
角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，
∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n
表示）
27．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长
度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列
两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，求 的值．
13 1 (a+b) 2
28．（2022春·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，
其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三
角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和
b，斜边长度是c，那么a2+b2=c2．(1)直接填空：如图①，若a=3，b=4，则c=__________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，
试说明a2+b2=c2．
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8，BC=10，利
用上面的结论求EF的长？
29．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．
如图，由4个全等的直角三角形(Rt ΔAFB≅Rt ΔBGC ≅Rt ΔCHD≅Rt ΔDEA)和与一个小正方形
EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，b(a
