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第 03 讲 与圆有关的性质—圆周角定理与内接四边形
课程标准 学习目标
1. 掌握圆周角的定义，理解认识圆周角。
①圆周角的定义
2. 掌握圆周角定理，并能够熟练运用圆周角定理解决
②圆周角定理
相应的题目。
③圆周角定理的推论
3. 掌握圆周角定理的推论并对其熟练应用。
④圆的内接四边形
4. 掌握圆的内接四边形的性质并树熟练应用。
知识点01 圆周角的认识
1. 圆周角的认识：
如图，像∠BAC这样顶点在 圆上 ，且两边都与圆 相交 的角叫做圆周角。
题型考点：①圆周角的认识与判断。
【即学即练1】
1．如图，∠APB是圆周角的是（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念，
故选：D．
知识点02 圆周角定理
1. 圆周角定理：
在 同圆 或 等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，且
都等于这条弧所对的圆心角的 一半 。
即：∠BAC＝ ∠ BDC ＝ ∠ BEC ＝ ∠BOC
题型考点：①圆周角定理的应用。
【即学即练1】
2．如图所示，在 O中，∠BOD＝30°，OD∥AB，AD，OB相交于点C，那么∠BCD的度数是（ ）
⊙
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：∠A＝ ∠BOD＝15°，
∵OD∥AB，
∴∠D＝∠A＝15°，
∴∠BCD＝∠BOD+∠D＝45°，
故选：C．
【即学即练2】3．如图，△ABC内接于 O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
⊙
A． B．2 C．2 D．4
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC＝ OC＝2 ，
故选：B．
知识点03 圆周角定理的推论
1. 圆周角定理的推论：
半圆或直径所对的圆周角是 直角（等于 90 ° ） 。90°的圆周角所对的弦是 直径 。
题型考点：①圆周角定理推论的应用。
【即学即练1】
4．如图，C，D是 O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝37°，则∠BDC＝（ ）
⊙
A．53° B．63° C．43° D．74°
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠ABC＝37°，
∴∠CAB＝53°，
∴∠BDC＝∠CAB＝53°，
故选：A．
【即学即练2】
5．如图，A、B、C、D在 O上，BC是 O的直径．若∠D＝36°，则∠BCA的度数是（ ）
⊙ ⊙A．72° B．54° C．45° D．36°
【解答】解：∠B＝∠D＝36°，
∵BC是 O的直径，
∴∠BAC＝90°，
⊙
∴∠BCA＝90°﹣∠B＝54°，
故选：B．
知识点04 圆的内接四边形
1. 圆的内接四边形的概念：
如图：四个顶点都在 圆上 的四边形叫做圆的内接四边形。
2. 圆的内接四边形的性质：
（1）圆的内接四边形的对角 互补 。
即∠B＋∠D＝ 180 ° ，∠C＋∠BAD＝ 180 ° 。
（2）圆的内接四边形的任意一个外角等于它的 内对角 （就是
和它相邻的内角的对角）
即：∠EAD＝ ∠ C 。
题型考点：①圆的内接四边形的性质的应用。
【即学即练1】
6．如图， O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
⊙
A．140° B．130° C．120° D．100°
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
⊙
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．【即学即练2】
7．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ 13 0 °．
⊙
【解答】解：∵∠BOD＝100°，
∴∠A＝50°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
【即学即练3】
8． O中，∠AOB＝100°，若C是 上一点，则∠ACB等于（ ）
A．80° B．100° C．120° D．130°
⊙
【解答】解：如图：在优弧 上取点D，连接AD，BD，
∵ O中，∠AOB＝100°，
⊙
∴∠ADB＝ ∠AOB＝50°，
∵四边形ACBD是 O的内接四边形，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°．
⊙
故选：D．题型01 圆周角定理及其推论
【典例1】
如图，点A、B、C是 O上的三点，若∠BOC＝78°，则∠A的度数是（ ）
⊙
A．39° B．40° C．78° D．100°
【解答】解：∵∠BOC与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝78°，
∴∠A＝ ∠BOC＝39°．
故选：A．
【典例2】
如图所示，在 O中，∠BAC＝25°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数是（ ）
⊙
A．55° B．110° C．125° D．150°
【解答】解：连接BE，
∵∠BEC＝∠BAC＝25°，∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝55°，
∴∠BOD＝2∠BED＝110°．
故选：B．
【典例3】
如图，AB、CD为 O的两条弦， O的半径为r，AB＝r，CD＝ r，连接AC、BD，AC与BD交于点
H，则∠BHC的度数为（ ）
⊙ ⊙A．100° B．105° C．110° D．115°
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、BC，
则OA＝OB＝OC＝OD＝r，
∵AB＝r，CD＝ r，
∴△AOB是等边三角形，△OCD是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝60°，∠COD＝90°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°，∠DBC＝ ∠COD＝45°，
∴∠BHC＝180°﹣∠ACB﹣∠DBC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
故选：B．
【典例4】
如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．25° B．30° C．45° D．50°
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠CAB＝40°，
∠∠ABC＝90°﹣∠CAB＝50°，
∴∠ADC＝∠ABC＝50°
故选：D．
【典例5】
如图，AB为 O的直径，点C、D均在 O上，∠ABC＝58°，则∠D为（ ）
⊙ ⊙A．32° B．42° C．29° D．22°
【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠ABC＝58°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝32°，
∴∠D＝∠A＝32°，
故选：A．
题型02 圆的内接四边形
【典例1】
如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（ ）
⊙
A．95° B．105° C．115° D．125°
【解答】解：∵四边形ABCD为 O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
⊙
∵∠D＝85°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．
故选：A．
【典例2】
如图，四边形ABCD内接于 O，AB＝BC，∠BAO＝75°，则∠D＝（ ）
⊙A．60° B．30° C．45° D．无法确定
【解答】解：连接OC，
∵AB＝BC，
∴ ＝ ，
∴∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC，
∵∠D＝ ∠AOC，
∴∠D＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝75°，
∴∠AOB＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠D＝∠AOB＝30°．
故选：B．
【典例3】
如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，∠A＝60°，点 E 在 BC 的延长线上，则∠DCE 的度数是
（ ）
⊙
A．60° B．45° C．30° D．无法确定
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，
⊙
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°，
故选：A．【典例4】
如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（ ）
⊙
A．100° B．128° C．104° D．124°
【解答】解：四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，
⊙
由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，
故选：C．
1．如图，AB是 O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
⊙A． B． C．1 D．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠B＝30°，
∵tanB＝ ＝tan30°＝ ，BC＝3，
∴AC＝ ．
故选：A．
2．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠A＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．
故选：D．
3．如图，AB 为 O 的直径，C、D 是 O 上的两点，∠DAC＝25°，AD＝CD，则∠BAC 的度数是
（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．35° C．40° D．50°
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠DAC＝∠DBC＝25°，∵DA＝DC，
∴弧AD＝弧CD，
∴∠DBC＝∠ABD＝25°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°．
故选：C．
4．如图，AB为 O的直径，弦CD⊥AB，E为 上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为（ ）
⊙
A．14° B．28° C．56° D．无法确定
【解答】解：∵AB为直径，弦CD⊥AB，
∴ ＝ ，
∴∠ABD＝∠CEA＝28°，
故选：B．
5．如图，点A，B，C都在 O上，∠BAO＝20°，则∠ACB的大小是（ ）
⊙
A．90° B．70° C．60° D．40°
【解答】解：∵AO＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠BAO＝20°，
∴∠OBA＝20°，即∠AOB＝140°，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠ACB＝70°．
故选：B．
6．如图，点A，B，C，D在 O上，∠AOC＝100°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（ ）
⊙A．25° B．30° C．50° D．60°
【解答】解：连接OB，
∵∠AOC＝100°，点B是弧AC的中点，
∴∠AOB＝ ∠AOC＝50°．
∵∠AOB与∠D是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠D＝ ∠AOB＝25°．
故选：A．
7．如图，四边形ABCD内接于 O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（ ）
⊙
A．130° B．100° C．120° D．110°
【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE＝50°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝130°，
故选：A．
8．如图，已知四边形ABCD内接于 O， ＝ ，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．
若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（ ）
⊙A．16° B．24° C．12° D．14°
【解答】解：∵AF为圆的直径，
∴∠ABF＝90°， ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠DAF＝∠BAF＝32°，
∴∠BAD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，
∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．
故选：D．
9．如图，AB是 O的直径，点C，D在 O上，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝ 度．
⊙ ⊙
【解答】解：如图，连接OD，
∵OA＝OD，∠DAB＝66°，
∴∠ODA＝∠OAD＝66°，
∴∠AOD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
∴∠ACD＝ ∠AOD＝24°，
故答案为：24．10．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，对角线BD过点O，若∠ABD＝65°，则∠ACB的度数为
°．
⊙
【解答】解：∵BD是 O的直径，
∴∠BCD＝90°，
⊙
∵∠ABD＝65°，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝65°，
∵∠ACB+∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACB＝25°，
故答案为：25．
11．如图，已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠B＝22.5°，CD＝10，则直径AB的长为
．
⊙
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，CD＝10，
∴CE＝DE＝5，AC＝AD，
⊙
∴∠B＝∠ACD，
∵∠B＝22.5°，
∴∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝45°，∴OE＝DE＝5，
在Rt△OED中，根据勾股定理可得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在 O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落
在 O上的点D处（不与点A重合），连结CB，CD，AD，设CD与直径AB交于点E，连结CD、
⊙
⊙
AC．若OD∥AC，∠B＝ 度； ＝ ．
【解答】解：如图，连接BD，由轴对称可知，直线CO是线段BD的垂直平分线，
即CO⊥BD，
又∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
即AD⊥BD，
∴CO∥AD，
又∵OD∥AC，
∴四边形ACOD是平行四边形，
∵OD＝OC，
∴四边形ACOD是菱形，
∴AC＝AD＝OC＝OD＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠ABC＝ ∠AOC＝30°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
在Rt△ACB中，∠OAC＝60°，
∴BC＝ AC，
即BC＝ AD，∴ ＝ ，
故答案为：30， ．
13．如图所示， O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交 O于点D．
（1）判断△ADB的形状，并证明；
⊙ ⊙
（2）求BD的长．
【解答】解：（1）△ADB是等腰直角三角形，
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ＝ ，
∴AD＝BD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴△ADB是等腰直角三角形；
（2）由（1）得：
∠ADB＝90°，AD＝BD，
∵AB＝6cm，
∴BD＝ ＝ ＝3 （cm），
∴BD的长为3 ．
14．如图，以AB为直径的 O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交
O于点D，连接BD，CD．
⊙
（1）求证：DB＝DE；
⊙
（2）若 ， ，求BC的长．【解答】（1）证明：由圆周角定理可得：∠CAD＝∠CBD，
∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
（2）解：连接OC、OD，OD交BC于点F，
由圆周角定理可得：∠BAD＝∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵AB为直径，BD＝ED
∴∠ADB＝90°，则△BDE是等腰直角三角形．
∵ ，BE2＝BD2+ED2＝2BD2
∴BD＝2．
∵ ，AB2＝BD2+AD2，解得：AD＝4（负根已经舍去），
∴OB＝OD＝2．
设OF＝t，则DF＝2﹣t，
在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2﹣OF2＝BD2﹣DF2＝BF2，
即：（ ）2﹣t2＝22﹣（2﹣t）2，解得t＝ ，即OF＝ ，∴BF＝ ＝ ＝ ．
∴BC＝2BF＝ ．
15．如图，AB是 O的直径，C是 O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是 的中点，连接AD交OC
于M，连接BD，CD．
⊙ ⊙
（1）∠DAB的度数为 度．
（2）求证：DC＝DM；
（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD＝ ，求ME的长．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴∠COD＝∠BOD＝45°，
∵ ，
∴∠BAD＝ ∠BOD＝22.5°，
故答案为：22.5．
（2）∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AMO＝∠ABD，
∵ ，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OD＝OB，∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝∠OBD，
∵∠AMO＝∠CMD，
∴∠MCD＝∠CMD，
∴DC＝DM．
（3）∵CD＝BD＝ ，
∴DM＝DC＝ ，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝22.5°，
∵∠COD＝45°，OC＝OD，
∴∠ODC＝67.5°，
∴∠CDE＝45，
∵CE⊥AD，
∴DE＝ •CD，
∴DE＝1，
∴ME＝ ﹣1．
