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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题18.9矩的性质与判定大题提升专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2022秋·海南儋州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
AO=CO，BO=DO，且∠ABC 90°．
=
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ACB 30°，AB 1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积．
2．（2022春·陕
=
西西安·八
=
年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AB，延长AB至点E．使
BE=AB，连接EC．
(1)求证：四边形BECD是矩形．
(2)连接AC，若AD=3，CD=2，求AC的长．
3．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，
CE∥BD，连接OE．
(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)如果AC=4，BD=6，连接AE，求线段AE的长．
4．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一个动点，
PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别是E、F，连接EF，猜想EF与AP的数量关系并证明你的猜想．
5．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O
的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．连接DE，BF．
(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；
(2)如图2，直接写出四边形BFDE的边满足什么条件时，BD=EF．
6．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．
(1)证明：四边形EFGH为平行四边形．
(2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是7cm2，则四边形EFGH的面积是________m2
7．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）有一腰长为√5cm，底边长为2cm的等腰三角形纸片，如下图，
小明沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片．请用这两个直角三角形纸片拼一个
成中心对称的四边形，要求：(1)画出所有可能的示意图；
(2)在每个示意图上直接标注好各边长；
(3)在每个示意图形下方直接写出该四边形的周长．
8．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的周长是40．点P是正方形ABCD对角线
AC上一动点，过P点分别作AB、BC的垂线，垂足分别为E，F．
(1)求证：四边形PEBF是矩形．
(2)请你猜想EF与DP的数量关系，并给出证明．
(3)在P点运动过程中，EF的长也随之变化，求EF的最小值．
9．（2022秋·天津南开·八年级统考期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD,EB∥AC，
连接OE．
(1)求证：OE=CB；
(2)如果DB=24，AD=13，求四边形OBEC的周长．
10．（2022秋·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期中）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边
AB、CD的延长线上，且BE＝DF，CE⊥AB．
(1)求证：四边形AFCE是矩形；
(2)连接AC，若AC＝15，AE＝12，求菱形ABCD的周长．
11．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，E为边BC上方一点，EB=EC，∠BEC=90∘．
(1)在图1中，请仅用无刻度的直尺作出BC边的中点F；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接AE、AF、DE、DF，若四边形AEDF为菱形，请探究AB、BC
之间的数量关系．
12．（2022秋·福建厦门·八年级厦门双十中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，
BC=4，BE=2．
(1)尺规作图：在CD的延长线上求作点F，使FC=FE．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下：
①求证：CE平分∠BEF；
②求线段CF的长．
13．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中
AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠OAE＝15°，
①求证：DA＝DO＝DE；
②直接写出∠DOE的度数．14．（2022秋·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点
D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q
的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
15．（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=20cm,BC=4cm．动点P从点A开
始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动．点P和点Q分别从点A
和点C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，则当t为何
值时，四边形APQD是矩形？
16．（2021秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在 ▱ABCD中，AB＝AD，AC＝16，BD＝12，AC、BD相
交于点O．
（1）求AB的长．
（2）若CE//BD，BE//AC，连接OE，求证：OE＝AD．
（3）设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．
17．（2022秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD
交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD=5，EC=2，求OE的长度．
18．（2021秋·吉林长春·八年级统考期末）如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，
AD=6，BC=9，CD=5，点P从点A 出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出
发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点B时，点P也
随之停止运动，设点Q运动时间为t秒．
（1）AB的长为______．
（2）求线段PD的长（用含t的代数式表示）．
（3）当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值．
（4）如图②，若点E为BC边上一点，且BE=5，当△PBE是以BE为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．
19．（2021秋·四川南充·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与
AD交于F．AE与BF交于G．
（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH．求证：四边形ABHE是矩形．
（2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD．
20．（2020·山西·八年级统考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
OA＝OB＝OC＝OD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长．
21．（2022秋·山东德州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C
开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，动点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，
另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(2)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
22．（2022秋·江西赣州·八年级校考期中）如下图所示，在平面直角坐标系中，四边形AOCB的点O在坐
标原点上，点A在y轴上，AB∥OC，点B的坐标为（15，8），点C的坐标为（21，0），动点M从点A沿
AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，动点N从C点沿CO的方向以每秒2个单位长度的速度运动.点
M、N同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒.
(1)当t=2时，点M的坐标为___________，点N的坐标为___________；
(2)运动过程中，当t=5时，四边形MNCB时什么四边形？
23．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重
合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG．(1)求证：①DE=FG；
②DE⊥FG；
(2)若正方形ABCD的边长为2，求FG的最小值．
24．（2022秋·重庆合川·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，DE ∥ BC，DE=18cm，
BC=24cm，点P从点D出发，以2cm/s的速度向点E运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点
B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形DBQP是矩形？
(2)当t为何值时，PQ=CE？为什么？
25．（2022春·全国·八年级专题练习）（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
①求证：AB2−AC2=BD2−CD2；
②已知AB＝8，AC＝6，M是AD上的任意一点，求BM2−CM2的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，求PD的值．
26．（2021秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图1，点O是正方形ABCD的对角线BD的中点，过点O作直线OP(45°<∠POD<90°)，点D关于直线OP的对称点为E，连接BE,OE．
(1)求∠CDE+∠OED的值．
(2)如图2，作AF⊥DE于点F，请用等式表示线段DF,BE,AF之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AE交BD于点G，当∠POD=60°时，请你探究线段BG与DF之间的
数量关系，并说明理由．
27．（2021秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在 ▱ABCD中，∠D<90°，点E在AD边上，
CM⊥AD，垂足为M，以CE为边，E为直角顶点，作等腰直角△CEF，使点F落在射线AB上．
(1)当△CED是边长为6的等边三角形时，∠AFE的度数为_______，AD的长为_______；
(2)当AE=ED时，求∠ECD的度数；
(3)是否存在AF=BF的情况，如果存在，求AE，ED和CM之间满足的数量关系；如果不存在，说明理由．
28．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在Rt△ACB和Rt△ABD中，
∠ACB=∠ABD=90°，AB=BD，在CB的延长线上取点E，连接DE，使∠E=135°．
(1)如图1，求∠CAB+∠ADE的度数；(2)如图2，若△BDE的面积为3，BE=3，求CB的长；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接AE，在AE上取点F，延长AC至点K，连接KE、KF、FD，当
AB⊥KE，EK=FK，∠KEC=∠FKA时，求△DEF的面积．
29．（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，
如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F．
(1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由．
(2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系
(3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程．
30．（2022秋·江西上饶·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=60°，G，H分别是
AD，BC边上的点，且AG=CH，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G．
(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；
(2)填空：①当AG= 时，四边形GEHF是矩形；②当AG= 时，四边形GEHF是菱形；
(3)求四边形GEHF的周长的最小值．
