文档内容
第 03 讲 二次根式的加减【8 个必考点】
【人教版】
【知识点1 二次根式的加减】..................................................................................................................................1
【必考点1 可以合并的二次根式】..........................................................................................................................1
【必考点2 二次根式的加减运算】..........................................................................................................................2
【知识点2 二次根式的混合运算】..........................................................................................................................3
【必考点3 二次根式的混合运算】..........................................................................................................................3
【必考点4 乘法公式在二次根式的混合运算中的应用】.....................................................................................4
【必考点5 二次根式先化简再求值】.....................................................................................................................4
【必考点6 二次根式中巧用乘法公式化简求值】.................................................................................................5
【必考点7 二次根式的应用】..................................................................................................................................5
【必考点8 二次根式阅读材料题】..........................................................................................................................7
【知识点1 二次根式的加减】
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下：
(1)化成最简二次根式；
(2)找出被开方数相同的二次根式；
(3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.
【必考点1 可以合并的二次根式】
√2
【例1】（2024春•武威期中）下列二次根式：①❑√12；②❑√22；③❑ ；④❑√27中，能与❑√3合并的是
3
（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【例2】（2024春•锡山区校级月考）最简二次根式a−√b2a与❑√a+3可以合并，则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
√2
【变式1】（2024春•鹤山市校级月考）下面二次根式：①❑√48；②❑√23；③❑√27；④❑ 化简后与❑√3
3
可以合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④【变式2】（2024秋•沈丘县校级月考）下列各组根式中，能合并的是（ ）
√1
A．❑√3和❑√8 B．❑√3和❑
3
C． 和 D． 和
❑√a2b ❑√ab2 ❑√a+1 ❑√a2−1
【变式3】（2024秋•东坡区校级期中）已知最简二次根式❑√4a+3与b+√12a−b+6可以合并，则a+b的值
为 ．
【变式4】（2024春•乐陵市校级月考）若最简二次根式2m❑√3n、3❑√m+2n−5可合并，则m﹣n＝
．
【必考点2 二次根式的加减运算】
【例1】计算：
√1 √1
（1）❑√32−2❑ +❑√48−❑ ；
3 8
√ 1 2
（2）（❑√8−2❑√0.25）﹣（❑1 +❑√50+ ❑√72）
8 3
【例2】计算下列各题：
1 1
（1）2❑√12+ ❑√27− ❑√48；
2 4
√1 √x √1
（2）（x❑ +4❑√y）﹣（❑ −y❑ ）．
x 4 y
【变式1】计算：
2 √x √1
（1） ❑√9x+6❑ −2x❑ ；
3 4 x
1
（2） +❑√8−❑√2+1．
❑√2−1
【变式2】计算：
1 √1
（1）3❑√18+ ❑√50−4❑
5 2
1 √x √1
（2）5❑√x+ ❑ +2x❑ （x＞0）．
2 4 x
【变式3】计算．
（1）❑√18+❑√12−❑√8−❑√27
√1 √4 1
（2）❑ +2❑√20−4❑ − ❑√5
5 5 51 2 √ 1 √3
（3）❑√8− ❑√48−（ ❑4 −2❑ ）
8 3 2 4
【变式4】计算：
√1
（1）5（❑√8−❑ ）﹣（❑√50−❑√45）：
5
√1 √2 √1
（2）❑√24−❑ +2❑ −（❑ +❑√6）
2 3 8
（3）4√ y2 6√ y2 （7 5 ）（x＞0，y≥0）
❑ + ❑ − ❑√x+ ❑√x2
x ❑√x
【知识点2 二次根式的混合运算】
（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算；
（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.
因此:运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘
法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的
方法，化分母为整式.
【必考点3 二次根式的混合运算】
√1
【例1】（2024春•崇阳县期末）计算：❑√48÷❑√3+❑ ×❑√12−❑√24−❑√(−4) 2．
2
【例2】（2024春•嵩明县期末）计算
√1
（1）−❑√24÷❑√2−❑ ×❑√12+❑√48；
3
√1
（2）(❑√8+❑√3)×❑√6−4❑ ．
2
√1
【变式1】（2024春•互助县期末）计算题：❑√27÷❑√3−2❑ ×❑√10+❑√8．
5
【变式2】计算：
√1
（1）❑√24÷❑√3−❑√0.5−❑ ×❑√6；
8
√1
（2）❑√12（❑√75+3❑ −❑√48）．
3
【变式3】计算：
❑√6 √1
（1）❑√48÷2❑√3−❑√27× +4❑ ；
3 2√1
（2）（❑√20+5+❑√5）÷❑√5−❑ ×❑√24−❑√5．
3
【变式4】计算：
1 2
（1）|1−❑√3|−❑√2×❑√6+ −（ ）﹣2；
2−❑√3 3
1 ❑√18−❑√8
（2）❑√2×（❑√2+ ）− ；
❑√2 ❑√2
4 √1
（3）（❑√27×3❑√6+ ❑√50−8❑ ）÷❑√2；
5 2
❑√18 3
（4）（ +❑√3−❑√5）（❑√2− +❑√5）．
3 ❑√3
【必考点4 乘法公式在二次根式的混合运算中的应用】
【例1】计算：
（1） ；
(❑√5−2) 2 +(❑√5+1)(❑√5+3)
（2）（3❑√6−4❑√2）（3❑√6+4❑√2）．
【例2】计算：
（1）(3❑√ax−4❑√by)(3❑√ax+4❑√by)；
（2）(❑√2−❑√3+❑√5)(❑√2+❑√3−❑√5)；
（3） ．
(❑√2−1)(❑√2+1) 2
【变式1】计算：
（1）（2❑√3−❑√18）（❑√12+3❑√2）；
（2）（❑√3−1）2+（❑√3+2）2﹣2（❑√3−1）（❑√3+2）；
（3）（❑√2+❑√3−❑√5）2﹣（❑√2−❑√3+❑√5）2；
【变式2】（2024秋•仁寿县期中）计算：
❑√3
（1）(❑√5+❑√6)(❑√5−❑√6)+ ×❑√12；
2
（2） ．
(❑√2+❑√3) 2−❑√8÷❑√2
【变式3】计算：
（1） （n为正整数）．
(❑√3+❑√2) 2n+1×(❑√2−❑√3) 2n+2
（2）（❑√5+2❑√3+❑√2）（❑√5−2❑√3+❑√2）【变式4】计算：
√1
（1）（3❑√12−2❑ +❑√48）÷2❑√3；
3
1 3
（2）（7+4❑√3）（2−❑√3）2+ ❑√108− ；
2 ❑√3
√1 ❑√10 3
（3）|2−❑√5|−❑√2（❑ − ）+ ；
8 2 2
（4） √9 ❑√3+❑√6 （ 2）0 ．
❑√18−❑ − + ❑√3− +❑√(1−❑√2) 2
2 ❑√3
【必考点5 二次根式先化简再求值】
√ y √ x 1 1
【例1】先化简，再求值：❑√25xy−x❑ −4 y❑ + ❑√x y3，其中x= ，y＝27．
x y y 3
x❑√y−y❑√x x❑√y+y❑√x
【例2】（1）先化简，再求值： − ，其中x＝3，y＝2．
x❑√y+y❑√x y❑√x−x❑√y
1 1 ❑√ab
（2）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a=❑√3+1，b=❑√3−1．
a−❑√ab ❑√ab+b a−b
【变式1】先化简，再求值：2x2√ y √ x 2 √9x（x＞0，y＞0），其中x＝3+2 ，y＝
❑ +5❑√xy−y2❑ + y2❑ ❑√2
x y3 3 y
3﹣2❑√2．
【变式2】已知x ❑√3+❑√2，y ❑√3−❑√2，求 x3−x y2 的值．
= = (x+y)
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 x4 y+2x3y2 +x2y3
4 ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b
【变式3】已知a＝3，b＝4，求[ + ]÷ 的值．
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) ❑√ab(❑√b−❑√a) ❑√ab
x+y 2xy 3❑√x−2❑√y
【 变 式 4 】 已 知 M= − ，N= ． 甲 、 乙 两 个 同 学 在
❑√x−❑√y x❑√y−y❑√x ❑√x+y+❑√y−x
y=❑√x−8+❑√8−x+18的条件下分别计算了M和N的值．甲说M的值比N大，乙说N的值比M大．
请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由．
【必考点6 二次根式中巧用乘法公式化简求值】
1 1
【例1】已知x= ，y= ，求下列代数式的值：
2+❑√3 2−❑√3
（1）x2﹣xy+y2；y x
（2） + ．
x y
n m
【例2】（1）已知m=❑√5+1，n=❑√5−1．求代数式 + 的值．
m n
（2）已知：a=3+2❑√2，b=3−2❑√2，求代数式a2﹣3ab+b2的值．
【变式1】已知x=2−❑√3，y=2+❑√3，求下列式子的值：
1 1
（1） + ；
x y
（2）2x2﹣xy+2y2．
【变式2】化简求值：
❑√2+1 ❑√3−1
（1）已知：x= ，y= ，求x2﹣y2的值．
❑√2−1 ❑√3+1
❑√20−4 1
（2）已知：x=
，求x2
+ 的值．
2 x2
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
【变式3】（1）已知a= ，b= ，求a2﹣3ab+b2的值；
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
1 1
（2）已知x= （❑√5a+7b+❑√5a−7b），y= （❑√5a+7b−❑√5a−7b），求x2+xy+y2的值．
3 3
【必考点7 二次根式的应用】
【例1】（2024秋•成都期末）如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的
面积为 ．
【例2】（2024•重庆模拟）我国南宋时期的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公
式，也叫三斜求积公式．即：若一个三角形的三边长分别为 a，b，c，那么该三角形的面积为S＝
，现已知△ABC三边长分别为2，3，❑√13，则△ABC的面积是 ．
【变式1】（2024秋•新乐市期末）【数学抽象】：
1 √ 1
（1）用“＝”“＞”“＜”填空：4+3 2❑√4×3；1+ 2❑1× ；5×5 2❑√5×5．
6 6
（2）由（1）中各式猜想m+n与2❑√mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由；
（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱
笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
【变式2】（2023秋•攸县期末）新版北师八年级（上）数学教材 P51页第22题指出：设一个三角形的三
1
边长分别为a，b，c，P= (a+b+c)，则有下列面积公式；S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公
2
式）． √1 a2 +b2−c2 2 （秦九韶公式）．
S=❑ [a2b2−( ) ]
4 2
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这
个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
1 1
∴p= (a+b+c)= (5+6+7)= ．
2 2
根据海伦公式可得：S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)= ．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是❑√5，❑√6，❑√7，求这个三角
形的面积．
【变式3】（2024秋•内乡县期中）如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为❑√72m，宽
AB为❑√32m，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为(❑√10+1)m，宽
为(❑√10−1)m．
（1）求矩形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通
道，购买地砖需要花费多少元？
【变式4】（2024春•涧西区期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B．
（1）图①截出的正方形木板A的边长为 dm，B的边长为 dm；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你
判断能否截出，并说明理由．
【必考点8 二次根式阅读材料题】
【例1】（2024秋•六盘水期中）阅读下列材料，然后回答问题．
二次根式 3 √2 2 ，可以进一步化简：
，❑ ，
❑√5 3 ❑√3+1
3 3×❑√5 3
= = ❑√5（一）；
❑√5 ❑√5×❑√5 5
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = （二）；
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1) （三）；
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
式子 2 也可以这样化简： 2 3−1 (❑√3) 2 −12 (❑√3+1)(❑√3−1) 1（四）；
= = = =❑√3−
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
2
（1）请参照（三）式、（四）式，用两种不同的方法化简 ；
❑√7+❑√5
1 1 1 1
（2）直接利用上面的结论化简： + + +⋯+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【例2】（2024春•襄城区期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中a、b、m、n圴为整数），
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2
则有a+b❑√2=m2 +2n2 +2❑√2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列
问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a，
a+b❑√3=(m+n❑√3) 2
b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，填写合适的正整数a与n，填空： +4❑√3=（2+ ❑√3）2；
（3）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值．
a+8❑√3=(m+n❑√3) 2
【变式1】（2024春•望城区期末）阅读材料：像(2−❑√3)(2+❑√3)=1，…这样两个含有二次根式的代数
式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如❑√2+1与❑√2−1，2❑√3+❑√6
与2❑√3−❑√6等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根
号．
例如： 1 1×❑√2 ❑√2； 7 7(2❑√3−❑√5) ．
= = = =2❑√3−❑√5
3❑√2 3❑√2×❑√2 6 2❑√3+❑√5 (2❑√3+❑√5)(2❑√3−❑√5)
解答下列问题：
（1）3−❑√5与 互为有理化因式；
6 ❑√2
（2）计算： − ；
❑√3 ❑√6+2
a b
（3）已知有理数a，b满足 − =3−❑√2，求a，b的值．
❑√2−1 ❑√2
【变式2】（2024春•江海区期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成
另 一 个 式 子 的 平 方 ． 如 ， 善 于 思 考 的 小 明 进 行 了 以 下 探 索 ， 若 设
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
（其中a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝
a+b⋅❑√2=(m+n⋅❑√2) 2 =m2 +2n2 +2❑√2mn
2mn，这样小明就找到一种把式子a+b⋅❑√2化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问
题：（1）若 ，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：
a+b⋅❑√5=(m+n⋅❑√5) 2
a＝ ，b＝ ；
（2）若 ，当a，m，n均为正整数时，求a的值；
a+4❑√3=(m+n⋅❑√3) 2
（3）化简❑√11+6❑√2，请直接写出结果．
【变式3】（2023秋•盘州市期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
8
我们已经知道(❑√13+3)(❑√13−3)=4，因此将 分子、分母同时乘“❑√13+3”，分母就变成了
❑√13−3
4，例如：
1 ❑√3+❑√2 1 ❑√2−1
= =❑√3+❑√2， = =❑√2−1．
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
1
（1）模仿材料中的计算方法，化简 = ；
❑√7+❑√6
1 1 1 1 1
（2）求解：( + + +⋯+ + )(❑√2027+❑√3)；
2+❑√3 ❑√5+❑√4 ❑√6+❑√5 ❑√2026+❑√2025 ❑√2027+❑√2026
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（3）m为正整数，a= ，b= 且a2+1823ab+b2＝1857，求m的值．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
