专题19旋转模型之奔驰型（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_5专项练习

专题19 旋转模型之奔驰型 1．如图， 是等边三角形 外一点， ， ， ，求 的度数． 【解答】解： 为等边三角形， ， ， 可将 绕点 顺时针旋转 得 ， 连 ，如图， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 在 中， ， ， ， ， 为直角三角形，且 ， ， ． 2．已知，如图， 为等边三角形 内一点， ， ， ，求 的面积． 【解答】解： 为等边三角形，， 可将 绕点 逆时针旋转 得 ， 连 ，且延长 ，作 于点 ．如图， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 在 中， ， ， ， ， 为直角三角形，且 ， ． ， 在直角 中， ， ． 在直角 中， ． 则 的面积是 ． 3． 是等边 内一点， ， ， ，求 的长． 【解答】解： 为等边三角形， ， ， 把 绕点 逆时针旋转 得到 ，如图，连接 ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在 中， ， ， ，． 4．如图，点 是等边三角形 内一点，且 ， ， ，若将 绕着点 逆 时针旋转后得到 ． （1）求点 与点 之间的距离． （2）求 的度数． 【解答】解：（1）连接 ，由题意可知 则 ， ， 是等边三角形， ， ， 故 为等边三角形， 所以 ； （2） ，， ， 又 ， ，利用勾股定理的逆定理可知： ， 则 为直角三角形，且 ， 为等边三角形， ， 5．如图①，在等腰 中， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的点， 且 ，连接 ，如图②，将 绕点 顺时针旋转一定角度，使 ，连接 ， ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的面积． 【解答】（1）证明：在等腰 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且 ， ， ， 在 和 中，； （2）解： ， ， ， ， ， ， 根据（1）可知 ， ， ， ． 6．已知 为等边三角形， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，将 绕点 旋转至如图所示的位置，连接 ， 交于点 ． （1）求证： ； （2）连接 ，求证： 是 的平分线． 【解答】证明：（1） 为等边三角形， ， 分别是边 ， 上的点，且 ， ， 为等边三角形， ， ，； （2）如图，过 分别作 于点 ， 于点 ， ， ， ， ， 在 的平分线上， 即 是 的平分线． 7．如图①， 和 中， ，点 、 分别在边 、 上， ． （1）如图②，将 绕点 逆时针旋转到如图位置，若 ，求 的度数； （2）如图②，将 绕点 逆时针旋转过程中，当旋转角度 或 时，直线 与 垂直 ； （3）如图③， 绕点 在平面内自由旋转，连接 ，且 ， ，求 的最大 值和最小值． 【解答】解：（1） ， ， ．（2）①垂足在线段 上时， ， ， ， ， ，即旋转角度 ； ②垂足在线段 延长线上时， ， ， ， ， 旋转角度 ； 故答案为： 或 ． （3）当 旋转到射线 的延长线上时， 最大，此时 ． 当 旋转到线段 上时， 最小，此时 ． 的最大值是14，最小值是6． 8．（1）如图1，点 是等边 内一点，已知 ， ， ，求 的度数．要直接求 的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把 这三边集中到一个三角形内，如图2，作 使 ，连接 ， ，则 是等 边三角形． ， 是等边三角形 ， ， 在 中， ， ， ， （2）如图3，在 中， ， ，点 是 内一点， ， ， ，求 的度数． 【解答】解：（1）如图2，作 使 ，连接 ， ，则 是等边三角形． ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ，故答案为： ， ， ，90． （2）解： ， ， 把 绕 点逆时针旋转 得到 ，如图， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ． 9．如图， 是等边三角形 内的一点，连接 ， ， ，以 为边作 ，且 ，连接 ． （1）观察并猜想 与 之间的大小关系，并说明理由． （2）若 ， ， ，连接 ，判断 的形状并说明理由．【解答】解：（1） ．理由如下： ，且 ， 为等边三角形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2） 等边 和等边 中， ， ， ， ， 为直角三角形（勾股定理逆定理）． 10．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ， 求 度数． 小明发现，利用旋转和全等的知识构造△ ，连接 ，得到两个特殊的三角形，从而将问题 解决（如图 ．请回答：图1中 的度数等于 ，图2中 的度数等于 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在平面直角坐标系 中，点 坐标为 ， ，连接 ．如果点 是 轴上的一动 点，以 为边作等边三角形 ．当 在第一象限内时，求 与 之间的函数表达式． 【解答】解：阅读材料：把 绕点 逆时针旋转 得到 ， 由旋转的性质， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； 故 ； 故答案为： ； ； 如图3，在 轴上截取 ，作 轴于 ， 轴于 ，连接 和 ， 点 的坐标为 ， ， ，， ， ． 是等边三角形， 又 是等边三角形， ， ， ， ． ，又 ， ． ． 且点 在第一象限内， ， ． 11．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对 集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现 如图（1）， 是等边 内一点， ， ， ．求 的度数． 解：将 绕点 旋转到 的位置，连接 ，则 是 等边 三角形． ， ， ， 为 三角形． 的度数为 ． （2）类比延伸 在正方形 内部有一点 ，连接 、 、 ，若 ， ， ，求 的长；（3）拓展迁移 如图（3），在四边形 中，线段 与 不平行， ， 与 交于点 ，且 ，比较 与 的大小关系，并说明理由． 【解答】解：将 绕点 旋转到 的位置，连接 ，则 是等边三角形． ， ， ， ， 为直角三角形， 的度数为 故答案为：等边；直角； （2）如图1，把 绕点 顺时针旋转 得到 ， 则 ， ， 旋转角是 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在 △ 中，由勾股定理得， ； （3） ，理由如下： 如图2所示，以 为边向左做等边三角形 ，连接 ，则 ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 在 中，可得： ，即 ． 12．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图 1，已知 中， ， ， 是 内的一点，且 ， ， ，求 的度数． 小强在解决此题时，是将 绕 旋转到 的位置（即过 作 ，且使 ， 连接 、 ．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设 是等边 内一点， ， ， ，求 的度数． 【解答】解：（1）如图1，由题意得： ； ； 由勾股定理得： ； ， ， ， ，， ． （2）如图2，将 绕点 逆时针旋转 到 的位置，连接 ； 则 ， ， ； 为等边三角形， ， ； ， ， ， ， ， ． 13．如图， 是等腰 内一点， ，连接 ， ， ． （1）如图1，当 时，将 绕 点顺时针旋转 ，画出旋转后的图形； （2）在（1）中，若 ， ， ，求 的大小； （3）当 时，且 ， ， ，则 的面积是 （直接填 答案） 【解答】解：（1）如图1所示，△ 即为所求；（2）如图2，连接 ． 将 绕 点顺时针旋转 ，与△ 重合， △ ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 在 中， ， ， ， ， △ 是直角三角形， ， ； （3）如图3①，将 绕 点逆时针旋转 得到△ ，连接 ， △ ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，△ 是直角三角形， ， ， ， ； △ ， ； 如图3②，同理可求： 和 的面积的和 ， 和 的面积的和 ， 的面积 ， 的面积 的面积 与 的面积的和 ． 故答案为 ．14．（1）如图①， 是正方形 内一点，连接 ， ， ． ①画出将 绕点 顺时针旋转 得到的△ ； ②若 ， ， ，求 的长． （2）如图②，设 是等边三角形 内的一点， ， ， ，则 的度数是 ． 【解答】解：（1）①如图，△ 为所作； ②连接 ，如图， 绕点 顺时针旋转 得到的△ ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在 △ 中， ． （2） 为等边三角形，， 可将 绕点 逆时针旋转 得 ， 如图②，连接 ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 在 中， ， ， ， ， 为直角三角形，且 ， ． 故答案为 ． 15．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1， 是正方形 内一点，连结 ， ， 现将 绕点 顺时针旋转 得到的△ ，连接 ．若 ， ， ，则 的长为 ，正方形 的边长为 ． （变式猜想）（2）如图2，若点 是等边 内的一点，且 ， ， ，请猜想 的度数，并说明理由． （拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题： 如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的长度为 ．【解答】解：（1） 绕点 顺时针旋转 得到的△ ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在 △ 中，由勾股定理得： ， 过点 作 交 的延长线于 ，如图1所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， 故答案为： ， ； （2） 的度数为 ，理由如下： 是等边三角形， ， ， 将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，如图2所示： 则 是等边三角形， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ； （3） ， 是等腰直角三角形， ， ， 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，如图3所示：由旋转的性质得： ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为： ． 16．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． （1）如图1，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的度数．解：将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，则 为等边三角形． ， ， ， ． 为 直角 三角形． 的度数为 ． （2）类比延伸 如图2，在正方形 内部有一点 ，若 ，试判断线段 、 、 之间的数量 关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，将 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ，连接 ，则 为等边三角形． ， ， ， ． 为直角三角形． 的度数为 ． 故答案为：直角； ； （2） ．理由如下： 如图2，把 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ． 则 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在 △ 中，由勾股定理得， ， ．17．问题提出 （1）如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小． 问题探究 （2）在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小． 问题解决 （3）如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上 修一凉亭 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？ 若存在，请画出点 的位置，并求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，连接点 、 ，与直线 交于点 ，点 即为所求． （2）如图2，把 绕点 逆时针旋转 得到△ ，由旋转的性质， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； 故 ； （3）如图连接 ，设在 内一点 ，把 绕点 逆时针旋转 得到 ， 由 旋 转 的 性 质 ， ， ， ， ， ， ， △ 、 是等边三角形， ， ， 根据两点间线段距离最短，可知当 时最短， 是等边三角形， 以 为一边作等边三角形 ， 最小值为 的长， 此时点 在线段 上， 点 为 、 的交点． 若点 与点 重合，即 在对角线 上， 则点 为 与 的交点，此时点 （E）与点 重合， 显然不符合题意，故点 不在对角线 上， 即对角线 上不存在这样的点 ，使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．18．阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△ ，连接 ，得 到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图1中 的度数等于 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数 和正方形的边长． 【解答】解：（1）如图2，把 绕点 逆时针旋转 得到 ， 由旋转的性质， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； 故 ； 故答案为 ．（2）如图3，把 绕点 逆时针旋转 得到 ， 由旋转的性质， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故 ， ， 点 、 、 三点共线， 过点 作 于 ， 则 ， ， 在 中， ．