文档内容
第 03 讲 勾股定理的逆定理
【题型1：判断三边能否构成直角三角形】
【题型2：在网格中判断直角三角形】
【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】
【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】
知识点：勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三
角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否
为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的
c2 a2 b2
直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐
c
角三角形，其中 为三角形的最大边.
【题型1：判断三边能否构成直角三角形】
【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列由a、b、c组成的三角形中，是直角三
角形的是（ ）
A．a=40，b=50，c=60 B．a=2，b=3，c=4
C．a=b=c=2 D．a=b=1，c=❑√2【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边
的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、402+502≠602，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选
项不符合题意；
B、22+32≠42，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
C、a=b=c=2，故线段a、b、c组成的三角形是等边三角形，不是直角三角形，本选
项不符合题意；
D、12+12=(❑√2) 2，故线段a、b、c组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不
能构成直角三角形的是（ ）
A．a=5，b=6，c=7 B．a=3，b=4，c=5
C．a=7，b=24，c=25 D．a=5，b=12，c=13
【答案】A
【分析】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解并熟记勾股定理是解
决本题的关键．
根据勾股定理的逆定理，利用勾股定理“a2+b2=c2”判定三角形是否为直角三角形．
【详解】解：A、52+62≠72，不能构成直角三角形，符合题意；
B、32+42=52，能构成直角三角形，不符题意；
C、72+242=252，能构成直角三角形，不符题意；
D、52+122=132，能构成直角三角形，不符题意；
故选：A．
【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）以下列各组数为边，其中能构成直角三角
形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，7，8 C．8，15，17 D．9，24，25
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可，熟记常见的勾
股数可以快速解题．【详解】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、62+72≠82，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、82+152=172，能构成直角三角形，符合题意；
D、92+242≠252，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选C．
【变式1-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边
分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．c2=a2−b2 B．a:b:c=3:4:5
C．∠C=∠B−∠A D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知
识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答．
【详解】解：∵c2=a2−b2，则a2=b2+c2
∴△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵a:b:c=3:4:5，
∴可设a=3k,b=4k,c=5k，
∴a2+b2=(3k) 2+(4k) 2=25k2=(5k) 2=c2，
即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵∠C=∠B−∠A，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°,
∴△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，
5
∴最大角∠C= ×180°=75°，
12
∴△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
【题型2：在网格中判断直角三角形】
【典例2】（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，
△ABC的顶点均在网格的格点上．(1)AB= ，BC= ，AC= ；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
【答案】(1)❑√5，2❑√5，5
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可；
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：由网格得，AB=❑√12+22=❑√5，BC=❑√22+42=2❑√5，
AC=❑√32+42=5，
故答案为：❑√5，2❑√5，5；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB2+BC2=(❑√5) 2+(2❑√5) 2=25，AC2=52=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
【变式2-1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方
形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为A(1,1)，
B(4,2)，C(3,5)．(1)若△A′B′C′与△ABC关于x轴成轴对称，画出△A′B′C′；
(2)①判断△ABC的形状，并说明理由．
②计算△ABC的面积为 ．
【答案】(1)图见解析
(2)①等腰直角三角形，理由见解析
②5
【分析】（1）按照画轴对称图形的方法作图即可；
（2）①由勾股定理及其逆定理即可得出结论；②利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求作；
（2）解：①△ABC为等腰直角三角形，理由如下：
由勾股定理可得：AB2=12+32=10，BC2=12+32=10，AC2=22+42=20，
∴AB2=BC2=10，AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC=❑√10，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
1
②△ABC的面积= ×❑√10×❑√10=5，
2故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，勾股定理与网
格问题，在网格中判断直角三角形，等腰三角形的判定，三角形的面积公式等知识点，
熟练掌握坐标与图形变化——轴对称及画轴对称图形的方法是解题的关键．
【变式2-2】（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的6×8
网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中，画线段CD∥AB，且使CD=AB，连结AD；
(2)线段AD的长为______，AC的长为______，CD的长为______；
(3)△ACD为______三角形，点A到CD的距离为______．
【答案】(1)图见详解
(2)❑√5，2❑√5，5
(3)直角，2
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定
理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可．
（2）利用勾股定理分别计算即可．
（3）由勾股定理的逆定理可得∠DAC=90°，则△ACD为直角三角形，然后根据等
积法可得点A到CD的距离．
【详解】（1）解：如图，线段CD即为所求．（2）解：由勾股定理可得：AD=❑√12+22=❑√5，AC=❑√22+42=2❑√5，
CD=❑√32+42=5；
故答案为❑√5，2❑√5，5；
（3）解：由（2）可知：AD2+AC2=CD2，
∴∠CAD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
❑√5×2❑√5
∴点A到CD的距离为= =2；
5
故答案为：直角，2
【变式2-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均
为1，△ABC的顶点在格点上．
(1)直接写出AB2=______，BC2=______，AC2=______；
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)13、52、65；
(2)△ABC是直角三角形，证明见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以
及勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；
（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
AB2=22+32=13，
BC2=42+62=52，
AC2=82+12=65，
故答案为：13、52、65；
（2）解：△ABC是直角三角形．
证明：∵AB2=13，BC2=52，AC2=65∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°．
【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】
【典例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点A、B是直线l上两点，且
5
CA=❑√5,CB= ，在线段AB上取一点H，经测量，CH=2,AH=1．
2
(1)CH长是否为点C到直线l的最短距离？请说明理由；
(2)求点H和点B的距离．
【答案】(1)是；见解析
3
(2)
2
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理等知识；掌握这两个定理是解题的
关键；
（1）由勾股定理的逆定理可判定△AHC是直角三角形，则得CH长是点C到直线l的
最短距离；
（2）在Rt△CHB中，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：CH长是点C到直线l的最短距离；
理由如下：
∵CA=❑√5，CH=2，AH=1，
∴AH2+CH2=12+22=5=C A2，
∴△AHC是直角三角形，且∠AHC=90°，
即CH⊥l，
∴CH长是点C到直线l的最短距离；
（2）解：由（1）知，CH⊥l，
5
在Rt△CHB中，CH=2，CB= ，
23
由勾股定理得：BH=❑√CB2−CH2=
；
2
3
∴点H和点B的距离为 ．
2
【变式3-1】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，
CD=❑√3，AD=1，且∠B=90°．求：
(1)∠BAD的度数；
(2)四边形ABCD的面积．
【答案】(1)135°
1 ❑√2
(2) +
2 2
【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积．
（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的
形状，进而可求出∠BAD的度数；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是直角三角形，再根据S =S +S
四边形ABCD △ABC △ADC
即可得出结论．
【详解】（1）解：连接AC，
∵AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC=❑√12+12=❑√2，∠BAC=∠BCA=45°，
又∵AD=1，CD=❑√3，∴(❑√3) 2=12+(❑√2) 2 ，
即CD2=AD2+AC2，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°；
（2）解：由（1）可知△ABC和△ADC是直角三角形，
∴S =S +S
四边形ABCD △ABC △ADC
1 1
=1×1× +1×❑√2×
2 2
1 ❑√2
= + ．
2 2
【变式3-2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在△ABC中，
AB=15,AC=20,BC=25,AD⊥BC，求AD的长是多少？
【答案】AD的长为12
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的运用，等面积法求高，掌握勾股定理，等
面积法的计算是解题的关键．
根据题意，运用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据
1 1
S = AB·AC= AB·AD即可求解．
△ABC 2 2
【详解】解：∵152+202=252，即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴AD是△ABC的高，
1 1
∵S = AB·AC= BC·AD，
△ABC 2 2
AB·AC 15×20
∴AD= = =12，
BC 25
∴AD的长为12．
【变式3-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点E在正方形ABCD内，正方形边长为13，AE=5，BE=12，求阴影部分的面积是多少？
【答案】139
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理得到△AEB为直角三角形，
利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵正方形边长为13，
∴AB=13，
∵AE=5，BE=12，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△AEB为直角三角形，
1 1
∴阴影部分的面积=AB2− AE⋅BE=132− ×5×12=139．
2 2
【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】
【典例4】（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强
壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳
动基地（四边形ABCD）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长
13m(AC=13m)的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的AB边长5m，
BC边长12m，蔬菜区的AD边长7m，∠D=90°．
(1)求蔬菜区边CD的长；
(2)求花卉区的面积．【答案】(1)2❑√30m
(2)30m2
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关
键．
（1）在Rt△ADC中，运用勾股定理即可求解；
（2）先通过勾股定理逆定理证明∠B=90°，即可求解面积．
【详解】（1）解：∵∠D=90°，AD=7m，
∴CD=❑√AC2−AD2=❑√132−72=2❑√30(m)；
答：蔬菜区边CD的长为20❑√3m；
（2）解：∵AC=13m，BC=12m，AB=5m，
∴AB2+BC2=52+122=169，而AC2=132=169，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠B=90°，
1 1
花卉区的面积为： AB×BC= ×5×12=30(m2)．
2 2
答：花卉区的面积为30m2．
【变式4-1】（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳
动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情
感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状
的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时,小明很快就给
出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；
(2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为
AB=15m,BC=14m,AC=13m,请帮助他们求出该实验基地的面积．
【答案】(1)见解析
(2)84m2
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,根据直角三角形的面积公式计
算即可；
（2）过点A作AD⊥BC于D,根据勾股定理列出方程,解方程求出BD,再根据勾股定理
求出AD,根据三角形面积公式计算,得到答案．
【详解】（1）解：∵52+122=25+144=169,132=169,
∴52+122=132,
∴这个三角形是直角三角形,
1
∴三角形的面积为：
×5×12=30m2
；
2
（2）如图,过点A作AD⊥BC于D,
设BD=xm,则CD=(14−x)m,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,
∴AB2−BD2=AC2−CD2,即152−x2=132−(14−x) 2
,
解得：x=9,
由勾股定理得：AD=❑√AB2−BD2=12（m）,
1
∴S = ×14×12=84m2 ,
△ABC 2
∴该实验基地的面积为84m2．
【变式4-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一
村庄C，河边原有两个取水点A,B，且AB=AC，由于某种原因，从取水点C到A的
路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A,H,B
在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3km，CH=2.4km，BH=1.8km．(1)CH是否是村庄C到河边最近的路？请说明理由；
(2)求原来的路线AC的长．
【答案】(1)CH是村庄C到河边最近的路，理由见解析
(2)原来的路线AC的长为2.5km
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解一元一次方程等知识，掌握勾股
定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理证明∠CHB=90°，根据垂线段最短，即可得出结论；
（2）先求出∠CHA=90°，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出AC的长度．
【详解】（1）解：CH是村庄C到河边最近的路，理由如下：
∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=32=9,
∴CH2+BH2=BC2,
∴△CHB是直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
∵垂线段最短，
∴CH是村庄C到河边最近的路；
（2）解：∵∠CHB=90°，
∴∠CHA=90°，
∴AC2=AH2+CH2,
∵AB=AC，
∴AH=AB−BH=AC−1.8，
∴AC2=(AC−1.8) 2+2.42,
解得：AC=2.5（负值舍去），
答∶原来的路线AC的长为2.5km．
【变式4-3】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教
育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学
校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：
∠BAD=90°，AD=3m，AB=4m，BC=13m，CD=12m．根据你所学过的知识，求四边形ABCD的面积．
【答案】36m2
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，
先连接BD，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理说明△BCD是直角三角
形，然后根据面积公式求出答案即可．
【详解】如图所示，连接BD，
根据勾股定理，得BD=❑√AB2+AD2=❑√32+42=5(m)．
∵BD2+CD2=52+122=169=BC2=132，
∴∠BDC=90°，
1 1
∴S =S +S = ×3×4+ ×5×12=36（m2）．
四边形ABCD △ABD △BCD 2 2
1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，
b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A:∠B:∠C=3:4:5 B．∠B+∠C=90°
C．∠A=∠B−∠C D．a:b:c=5:12:13
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识点，根据三角形
的内角和定理求出∠C的度数，即可判断选项A，根据三角形内角和定理求出∠A和
∠B的度数，即可判断选项B，选项C，根据勾股定理的逆定理判定选项D即可，熟练
掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解决此题的关键．【详解】解：A、由∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°，则
5
∠C=180°× =75°,△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
3+4+5
B、由∠B+∠C=90°,∠A+∠B+∠C=180°，得∠A=180°−90°=90°,△ABC
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、由∠A=∠B−∠C,∠A+∠B+∠C=180°,则∠B=90°,△ABC是直角三角形，
故本选项不符合题意；
D、由a:b:c=5:12:13,得a2+b2=c2,△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为
1，点A,B, C, D均在格点上，E是AB与网格线的交点，则DE的长是（ ）
3 ❑√5
A．❑√3 B． C．❑√2 D．
2 2
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积．
5
先通过勾股定理和逆定理证明出AC⊥BC，再用等面积法求出CE= ，即可求出DE．
2
【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出：
AC=❑√22+12=❑√5,AB=❑√32+42=5,BC=❑√42+22=2❑√5，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
1
∴S = AC⋅BC=5，
△ABC 2
∵S =S +S
△ABC △BCE △ACE
1 1
∴S = ×CE×2+ ×CE×2=5，
△ABC 2 25
解得：CE= ，
2
5 3
∴DE=CD−CE=4− = ，
2 2
故选：B．
3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（
）
A．1，2，2 B．1，2，❑√3 C．4，5，6 D．1，1，❑√3
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．根据勾股定理的逆定
理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵ 12+22=5≠22，
∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
B、∵ 12+(❑√3) 2=4=22，
∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
C、∵ 42+52=41≠62，
∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；
D、∵ 12+12=2≠(❑√3) 2，
∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地
ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，则这块
菜地的面积是（ ）
A．48m2 B．114m2 C．12m2 D．158m2
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接AC，利用勾股定理得到AC=15m，进而利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，最后根据四边
形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积进行求解即可．
【详解】解：如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
AC=❑√AB2+BC2=❑√92+122=15(m)
∴ ．
∵CD=8m，AD=17m，
∴AC2+CD2=152+82=289，AD2=172=289，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
1 1 1 1
= AB⋅BC+ AC⋅CD= ×9×12+ ×15×8=54+60=114(m2)
2 2 2 2
故选：B．
5．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且周长
为48cm．点M从点A开始沿AB边向点B以每秒2cm的速度移动；点N从点B开始沿
BC边向点C以每秒3cm的速度移动．如果两点同时出发，则过4秒时，△BMN的面积
为（）
A．20cm2 B．24cm2 C．28cm2 D．30cm2
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，解一元一次方程，三角形的面积公式等知识，
首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾
股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再求出4秒后的，BM，BN的长，利用三角形的面积公式计算求解，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
【详解】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为48cm，
即AB+BC+AC=48cm,
∴3x+4x+5x=48,
解得：x=4,
∴AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm,
∵AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形，
过4秒时，BM=12−4×2=4(cm),
BN=4×3=12(cm),
1 1
∴S = BM⋅BN= ×4×12=24(cm2)，
△BMN 2 2
故选：B．
6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）一个三角形的三边长的比为3:4:5，且其周长为
36cm，则其面积为 ．
【答案】54cm2 /54平方厘米
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键；
先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为36cm求出x的值，根据勾股
定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解；
【详解】解：∵三角形的三边长的比为3:4:5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，
∵其周长为36cm，
∴3x+4x+5x=36，解得x=3，
∴三角形的三边长分别是9，12，15，
∵92+122=152，
∴此三角形是直角三角形，
1
∴S= ×9×12=54(cm2)，
2
故答案为：54cm2
7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是1，则点A到
BC的距离等于 ．2❑√10 2
【答案】 / ❑√10
5 5
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；设点A到BC的距离为ℎ，由勾股
定理求出AB=❑√2，AC=2❑√2，BC=❑√10，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直
角三角形，且∠BAC=90°，然后由三角形面积求出ℎ即可．
【详解】解：设点A到BC的距离为ℎ， 由勾股定理得：
AB=❑√12+12=❑√2,AC=❑√22+22=2❑√2,BC=❑√12+32=❑√10
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
1 1
∴S = BC⋅ℎ = AB⋅AC，
△ABC 2 2
∴BC⋅ℎ =AB⋅AC，
AB⋅AC ❑√2×2❑√2 2❑√10
∴ ℎ = = =
BC ❑√10 5
2❑√10
即点A到BC的距离等于 ；
5
2❑√10
故答案为： ．
5
8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边AB翻
转180°成△ABC ，则CC 的长= ．
1 1
24
【答案】
5
【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的逆定理的应用，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，根据翻转
得出AB垂直平分CC ，根据三角形面积公式求出CD，即可求出答案．
1
【详解】解： 记CC 交AB于点D，
1
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
AC⋅BC 12
∴CD= = ，
AB 5
∵△ABC沿最长边翻转180°成△ABC ，
1
∴AB垂直平分CC ，
1
24
∴CC =2CD= ，
1 5
24
故答案为： ．
5
9．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公
路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠点A、B
之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路
到C处，且CD⊥AB．则修建公路CD长度为 km
【答案】12
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知
识，通过计算可得出AC2+ BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角
三角形，根据△ABC的面积公式可得，CD⋅AB=AC⋅BC，从而求出CD的长．
【详解】解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，152+202=252，∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
1 1
∴S = AB⋅CD= AC⋅BC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 15×20
∴CD= = =12(km)．
AB 25
∴修建的公路CD的长是12km．
故答案为：12．
10．（24-25八年级上·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、3D模型设
计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活
动，现有一个模型设计的任务需要完成．
生活中的数学：确定模型零件平面图的面积
素材一 素材二
如图所示，四边形DABC是模型零 通过相应仪器扫描测量：已知∠ABC=90°，
件平面图． AB=2，BC=2❑√3，CD=4❑√2，AD=4．
问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积．
【答案】8−2❑√3
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，连接AC．由勾股定理得出
AC=❑√AB2+BC2=4，再由勾股定理逆定理得出△ACD是直角三角形且
∠CAD=90°．再根据零件的面积=S −S ，计算即可得出答案．
△ACD △ABC
【详解】解：连接AC．∠ABC=90° AB=2 BC=2❑√3
∵ ， ， ，
∴在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=4，
∵CD=4❑√2，AD=4，
∴在△ACD中，AC2+AD2=32，CD2=32，
∴满足AC2+AD2=CD2，
∴△ACD是直角三角形且∠CAD=90°．
∴零件的面积=S −S
△ACD △ABC
1 1
= AD⋅AC− AB⋅BC
2 2
=8−2❑√3．
