文档内容
专题 19 正方形中“半角”模型
解题思路
【模型归纳】
典例分析
【典例 1】（春•十堰期末）如图，在正方形 OABC 中，点 B 的坐标是（6，
6），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3 ．若∠EOF＝45°，则F点的纵
坐标是（ ）
A．2 B． C． D． ﹣1【变式 1-1】（溧水区二模）如图，在正方形 OABC 中，点 B的坐标是（4，
4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2 ．若∠EOF＝45°，则F点的纵
坐标是（ ）
A．1 B． C． D． ﹣1
【典例2】（罗湖区校级期末）如图，正方形 ABCD的边长为4，点E，F分别
在AB，AD上，若CE＝2 ，且∠ECF＝45°，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（防城区期中）如图，正方形 ABCD的边长为4，点E，F分别在
AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为 ．
【典例3】（2021春•澄城县期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的
点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．【变式3-1】（2020•饶平县校级模拟）如图，已知正方形 ABCD的边长为3，
E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针
方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
【变式3-2】（春•越秀区校级期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB
上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，
求证：CE＝CF．
（2）如图2，在正方形 ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果
∠GCE＝45°，求证：GE＝BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝
12．E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求直角梯形ABCD的面积．夯实基础
1．（2022春•峡江县期末）如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别为边BC、
CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线
上一点．
（1）△GAB≌△FAD吗？说明理由．
（2）猜想线段DF、BE、EF之间的数量关系并说明理由．
2．（2022春•雁塔区校级期末）阅读下列材料：
问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，
且∠EAF＝45°．
解决下列问题：
（1）图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
（2）图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的
点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．3．（2021秋•兰州期末）如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别为边 BC、
CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上
一点．
①△GAB≌△FAD吗？说明理由．
②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．
③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．
4．（2021秋•伊通县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是
AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到
△DCM．
（1）求证：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的长．5．（2021秋•启东市校级月考）（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别
是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的
数量关系，直接写出判断结果： ．
（2）如图2：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝
90°．点 E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、
EF、FD之间的数量关系．请说明理由（提示：延长 FD到点 C，使 DG＝
BE，连结AG．）
6．（2021秋•宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是
BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量
关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别
是BC、DC上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？
请说明理由．7．（2021秋•龙岩校级期中）如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC
上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．
8．（2021春•阜南县期末）如图，已知正方形 ABCD 中，点 M、N 分别在边
BC、CD上，∠MAN＝45°．
（1）求证：MN＝BM+DN；
（2）当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积．
9．（2021春•合肥期末）如图 1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC
于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，过点 A 作 AH⊥EF，垂足为 H．如图
2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：△AGE≌△AFE；
（2）若BE＝2，DF＝3，求AH的长．
28．（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在
边 BC，CD 上，∠EAF＝45°，延长 CD 到点 G，使 DG＝BE，连接 EF，
AG．求证：EF＝FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC
上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．
10．（2022秋•邹城市校级期末）如图，在正方形 ABCD中，E是AB上一点，
F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，判断线段GE、BE、GD之间的数量
关系，并说明理由．能力提升
11．（2021春•安陆市期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，
G是AD上一点，∠ECG＝45°，那么EG与图中两条线段的和相等？证明你
的结论．
（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图 2，在四边形ABCG
中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且
∠ECG＝45°，BE＝4，求EG的长？
12．（2019秋•宿城区校级月考）阅读分析过程，解决问题：
如图 1，正方形 ABCD（四条边都相等，四个角都是 90°）中，点 E、F 在
CD、BC上，并且∠EAF＝45°．（1）求证：EF＝DE+BF．
（2）如图2，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，且∠BDC＝120°．
求证：AD＝BD+CD．
13．（2019•夏津县二模）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD
上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍
然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，
∠B+∠D＝180°，延长 BC 到点 E，延长 CD 到点 F，使得∠EAF 仍然是
∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成
立，请写出它们的数量关系并证明．
