文档内容
第 03 讲 图形的相似（5 个知识点+5 种题型+分层
练习）
知识导图
知识清单
知识点1．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫
做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若 ＝ ，则ad＝bc．
②合比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
③分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
④合分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
⑤等比性质．若 ＝ ＝…＝ （b+d+…+n≠0），则 ＝ ．
知识点2．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如
ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
知识点3．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC
＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝ AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为
黄金比： ；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金
比： ．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为 ．
知识点4．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
知识点5．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；
②对应边的比相等．
题型强化
题型一．比例的性质
1．（2024•东莞市校级一模）如果 ，那么下列比例式中正确的是
A． B． C． D．
2．（2024秋•姑苏区校级月考）若 ，则 的值为 ．
3．（2023•金溪县模拟）解方程：
（1） ；
（2）已知 ，且 ，求 的值．
题型二．比例线段
4．（2024秋•锦江区校级期中）下列各组线段（单位： 中，成比例线段的是
A．3，4，5，6 B．1，3，5，7C．2，3，4，6 D．0.2，0.3，0.4，0.5
5．（2024•沅江市一模）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上
有三处观景台 ， ， 在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，
设 、 两地的实际直线距离为 ， 、 两地的实际直线距离为 ，则 的值为 ．
6．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特
殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．题型三．黄金分割
7．（2024•德阳）宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多
著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩形 ，
点 是边 上一点，则满足 的点 的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
8．（2024•雁塔区校级四模）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，
、 两点都是 的黄金分割点，若 ，则 的长是 ．
9．（2024•凉州区二模）已知线段 ，点 是线段 的黄金分割点 ．
（1）求线段 的长；
（2）以 为三角形的一边作 ，使得 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．题型四．相似图形
10．（2024•凉州区一模）下列两个图形一定是相似图形的是
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
11．（2023•朝阳区校级一模）如图，在正方形网格上有两个相似三角形 和 ，则 的度数
为 ．
12．小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下：
以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？题型五．相似多边形的性质
13．（2024•武威一模）两个相似多边形一组对应边分别为 ， ，那么它们的相似比为
A． B． C． D．14．（2024秋•鲤城区校级期中）若四边形 与四边形 的相似比为 ，且四边形 的面
积为4，则四边形 的面积是 ．
15．（2024秋•驿城区期中）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作
一个菱形 ，且菱形 菱形 ，相似比是 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
分层练习
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知点P是线段 的黄金分割点，且 ，下列命题说法错误的是（ ）A． B．
C． D．
3．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ， C． ， ， ， D． ， ， ，
4．如果点 是线段 的黄金分割点，那么下列线段比中比值不可为 的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线 ，直线AC分别与 ， ， 相交于点A，B，C，直线DF分别与 ， ， 相
交于点D，E，F，则下列等式中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线 ，直线 依次交 于点A，B，C，直线 依次交 于点D、E，
F，若 ， ，则 的长为（ ）
A．8 B．5 C．4 D．2
7．如图，直线 ，直线 分别交 于点A，B，C，过点B的直线 分别交 于点D，E．若 ，则线段 的长为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．9
8．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是（ ）
A．1：1000000 B．1：100000 C．1：2000 D．1：1000
9．观察下列图形,其中相似图形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，双曲线y＝ （x＞0）与矩形OBCD的边BC、CD分别交于点E、F，且与矩形的对角线OC交
于点A，连接EF，与对角线OC交于点H，G是对角线OC上的一点，连接GF、GE．若 ＝ ，OG：
GH：HC＝3：1：2，sin∠COB＝ ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则AC＝ AB（用含无理数式子表示）．12．若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d= cm.
13．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．
14．若 ，则 的值为 ；若 ，则 ．
15．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是
cm2
16．如图，在三角形 中， ，AC=3cm，BC=4cm，将三角形 沿直线 向右平移1cm得
到三角形 ， 交 于点 ，则四边形 的面积为 m2．
17．如图，已知直线 ，直线 分别交直线 、 、 于 、 、 三点，直线 分别交直线 、
、 于 、 、 三点，如果 ， ， ，那么 长为 ．
18．如图，将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为
BH；将AD沿过点G的直线折叠，使点A、点D分别落在边AB、CD上，折痕为EF．则折出的四边形BCEF
的长宽之比为 ．
三、解答题
19．在某市城区地图（比例尺 ）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是 和．
(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
20．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美
感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为 ，这时人的身长
比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例
更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由．
21．在 中， ，点 、 分别是边 、 上的两个点，点 关于直线 的对称点 恰
好落在边 上且满足 ．
(1)请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 ， ，则线段 ______．
22．已知线段a、b、c，且 ．若线段a、b、c满足 ，求 的值．23．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．
求证： ．
24．如图：小明想测量一棵树的高度 ，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长
为 米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学
楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长 为 米，落在地面上的影长 为3米，则树高 为多少米．
25．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在 中， 平分 ，
则 ．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
，……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图①，在 中，AD是角平分线， ．求BD的长．
(3)如图③， 中， 是 中点，AD是 的平分线， 交AB于 ，若 ，
直接写出线段 的长．
26．活动·探究
运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科
学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究．
探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成）
（1）该等高线地形图的等高距为 米；
（2）已知图上 ，若该图的比例尺是 ，则 实际相距 ；
（3）估计王家庄的实际面积可能是 ；
A． B． C． D． E． F． G．
（4）E点在点A的 偏 方向；
探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成）有两组没有标签的化学试剂：
第一
稀 稀 溶液 溶液
组
第二
稀 澄清石灰水 溶液 溶液
组
还有一小瓶紫色石蕊试液；
与化学小组提供的实验信息：
已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格：
酸
稀 稀 稀
性
碱 溶
澄清石灰水 溶液
性 液
中
溶液 溶液
性
请你解决以下问题：
（5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组
获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画
树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置
一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你
设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋．
