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专题 21.1 四边形与多边形及其内角和
1. 掌握四边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练地应用。
教学目标 2. 掌握多边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练地应用。
3. 掌握正多边形的相关概念及其相关计算，并能够熟练地对其应用。
1. 重点
（1）四边形及其内角和与外角和；
（2）多边形及其内角和与外角和；
（3）正多边形及其相关计算。
教学重难点
2. 难点
（1）探索多边形的对角线分多边形的数量问题；
（2）多边形截角的分类讨论；
（3）与多边形及其多边形的组合图形有关的计算。知识点01 四边形及其内角和
1. 四边形及其相关概念：
名称 定义 图示
在平面内，由不在同一直线上的四条线段收尾顺次连接
四边形
组成的图形。如图中有四边形ABCD
组成四边形的各条线段是四边形的边。
边
四边形ABCD的边是AB、BC、CD、AD
每相邻两条边的公共端点叫做四边形的顶点。
顶点
四边形ABCD的顶点是点A、B、C、D
连接四边形不相邻的两个顶点得到的线段叫做四边形的
对角线 对角线。
四边形ABCD的对角线是AC与BD（未连接）
四边形相邻两边组成的角叫做四边形的内角。
内角
四边形ABCD的内角是∠A、∠B、∠C、∠ADC
四边形的一角的一边与另一边的延长线组成的角叫做四
外角 边形的外角。
四边形ABCD的一个外角是∠ADE
2. 四边形的内角和与外角和：
四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°。
3. 四边形的不稳定性：
四边形是不稳定的，在生活中常用到四边形的不稳定性质。如伸缩门...
【即学即练1】
1．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝ 180 ° ．
【答案】180°．
【解答】解：∵∠1＝72°，∠2＝108°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1＝108°，∠ADC＝180°﹣∠2＝180°﹣108°＝72°，
∴∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝360°﹣108°﹣72°＝180°，
故答案为：180°．
【即学即练2】2．如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，BC、CD的垂直平分线交于A点，则∠BCD的度数为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】B
【解答】解：连接AC，
∵BC、CD的垂直平分线交于A点，
∴AB＝AC，AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，
1 1
在△ABC中，∠ACB= （180°﹣∠BAC）＝90°− ∠BAC，
2 2
1
同理，∠ACD＝90°− ∠CAD，
2
1 1
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝180°− （∠BAC+CAD）＝180°− ∠BAD，
2 2
∵∠BAD＝80°，
∴∠BCD＝140°．
故选：B．
知识点02 多边形及其内角和
1. 多边形及其相关概念：
名称 定义
多边形 在平面内，由n（n≥3）条线段收尾顺次连接的图形叫做n变形
边 组成多边形的各条线段是多边形的边
顶点 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。
对角线 连接多边形不相邻的两个顶点得到的线段叫做多边形的对角线。
内角 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
外角 多边形的一角的一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角。画出多边形的任意一边所在的直线，如果整个多边形在这条直线的同一侧，那么这
凸多边形
个多边形是一个凸多边形（若没有特别说明，多边形都指的是凸多边形）
正多边形 每条边相等，每个内角也相等的多边形叫做正多边形
2. 多边形的对角线：
......
总结：一个n边形从一个顶点引出的多边形的对角线条数为 n−3 条，多边形所有对角线条
n(n−3)
数是 条。一个顶点的对角线把多边形分成了 n−2 个三角形。
2
3. 多边形的内角和与外角和：
多边形的内角和计算公式为 (n−2)×180° ；任意多边形的外角和都等于 360 ° 。
4. 正多边形及其相关计算：
(1) 正多边形的每个内角计算：
因为正多边形的内角和为 ，每个内角都相等且有 个内角，所以正多边形的每个内角度数
(n−2)×180°
为： 。
n
(2) 正多边形的每个外角计算：
360°
正多边形的外角和是360°，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为 。
n
(3) 正多边形的内角与外交关系：
180 ° ；
【即学即练1】
3．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（ ）
A．11条 B．12条 C．13条 D．14条
【答案】A
【解答】解：从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线的条数为：14﹣3＝11（条）．故选：A．
【即学即练2】
4．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意得，n﹣2＝7，
解得：n＝9，
即这个多边形是九边形．
故选：C．
【即学即练3】
5．六边形的内角和为（ ）
A．720° B．630° C．540° D．360°
【答案】A
【解答】解：六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
故选：A．
【即学即练4】
6．已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 六 边形．
【答案】六．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意，得（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得：n＝6，即这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【即学即练5】
7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10
【答案】C
【解答】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是7或8或9．
故选：C．
【即学即练6】
8．一个多边形只截去一个角（截线不经过顶点）形成另一个多边形内角和为 2520°，则原多边形的边数是
15 ．
【答案】15
【解答】解：设内角和是2520°的多边形的边数是n．
根据题意得：（n﹣2）•180＝2520，
解得：n＝16．
则原来的多边形的边数是16﹣1＝15．
故答案为：15．
【即学即练7】
9．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构
如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（ ）A．135° B．120° C．105° D．60°
【答案】B
【解答】解：∠ABC＝180°﹣（360°÷6）＝120°．
故选：B．
【即学即练8】
10．如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 66 ° ．
【答案】66°．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，△CDF是等边三角形，
180°×(5−2)
∴CB＝CF＝CD，∠CDF＝∠CFD＝60°，∠BCD= =108°，
5
设∠CBF＝x°，则∠CFB＝x°，
根据题意得：∠CBF+∠BCD+∠CDF+∠BFD＝180°×（4﹣2），
即x+108+60+x+60＝360，
解得：x＝66，
∴∠CBF＝66°．
故答案为：66°．
题型01 根据四边形的内外角和求角度
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE＝∠D，∠C＝
110°，则∠A的度数是（ ）A．110° B．50° C．70° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝110°，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝70°，
∵∠ABE是四边形ABCD的外角，
∴∠ABE＝110°，
∴∠ABE＝∠D，
∴∠D＝110°，
∴∠A＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠B＝360°﹣70°﹣110°﹣110＝70°．
故选：C．
【变式1】如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（
）
A．150° B．180° C．240° D．270°
【答案】D
【解答】解：∵∠5＝90°，
∴∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∵∠3+∠4+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，
故选：D．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C
＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
1 1 1
∴∠PAB+∠ABP= ∠DAB+∠ABC+ （180°﹣∠ABC）＝90°+ （∠DAB+∠ABC）＝165°，
2 2 2
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
【变式3】如图，∠1、∠2、∠3是四边形ABCD的3个外角，若∠1+∠2+∠3＝280°，则∠A＝ 100
°．
【答案】100．
【解答】解：如图，
根据多边形外角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∵∠1+∠2+∠3＝280°，
∴∠4＝360°﹣280°＝80°，
∴∠BAD＝180°﹣∠4＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100．
题型02 多边形的对角线及其分成三角形问题
【典例1】过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：过n边形的一个顶点可以画6条对角线，
由题意得n﹣3＝6，解得n＝9．
故答案为：9．【变式1】过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形的边数是 1 0 ．
【答案】10
【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴n﹣3＝7，
解得n＝10．
故答案为：10
【变式2】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了 5个三角形，则这个多边形是（
）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，
∴n﹣2＝5，即n＝7．
故选：C．
【变式3】已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形
的边数为 1 2 ．
【答案】12．
【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可以引出（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形
可知：
设这个多边形的边数是n，则n﹣2＝10，
解得n＝12，
即这个多边形的边数是12，
故答案为：12．
题型03 多边形的内角和与外角和
【典例1】如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的边数是 6 ．
【答案】6．
【解答】解：设这个多边形的边数是x，
180×（x﹣2）＝720，
解得：x＝6．
故答案为：6．
【变式1】一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【答案】C
【解答】解：设这个多边形为n，
180°（n﹣2）＝360°×4，
解得：n＝10．故选：C．
【变式2】若一个多边形的外角的度数正好是相邻的内角的两倍，则这个外角的度数为 12 0 °．
【答案】120．
【解答】解：设多边形的内角度数为x，
根据题意得这个内角相邻的外角度数是2x，
所以x+2x＝180°，
解得x＝60°，
所以外角度数是120°，
故答案为：120．
【变式3】已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十二边形
【答案】D
【解答】解：∵正多边形的一个内角为150°，
∴与这个内角相邻的外角为：180°﹣150°＝30°，
∵正多边形的每个内角都相等，
∴正多边形的每个外角都相等，都为30°，
∵正多边形的外角和为360°，
∴正多边形的本数为：360°÷30°＝12，
∴这个正多边形是正十二边形，
故选：D．
【变式4】若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：∵多边形的内角和为360°，一个多边形的每一个外角都是60°，
∴这个多边形的边数为：360°÷60°＝6．
故选：A．
题型04 多边形的截角问题
【典例1】一个八边形截掉一角后是 7 或 8 或 9 边形．
【答案】7或8或9
【解答】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，
∴八边形截掉一角后是7或8或9边形，
故答案为：7或8或9．
【变式1】将一个多边形截去一角（截去部分为一个三角形）得到一个新多边形的内角和为 1800°，则原
多边形的边数是（ ）A．11 B．12 C．13 D．以上都是
【答案】D
【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1800°，
解得n＝12，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原来多边形的边数是11或12或13．
故选：D．
【变式2】如果一个正多边形的每个外角都为45°．
（1）求这个正多边形的边数；
（2）若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
【答案】（1）8；
（2）1260°．
【解答】解：（1）由题意可得：360°÷45°＝8，
即这个正多边形的边数为8；
（2）∵将正多边形截去一个角（截线不经过多边形的顶点），
∴截完角后所形成的多边形为九边形，
则其内角和为：（9﹣2）×180°＝1260°．
题型05 实际生活与正多边形
【典例1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色
宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（
）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
360°
【解答】解：正八边形的每一个外角为 =45°，
8
∴正八边形的每一个内角为180°﹣45°＝135°．
故选：C．
【变式1】足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有 12块，白皮有20
块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】D
【解答】解：根据题意得，足球的一块白色皮块为正六边形，
∴足球的一块白色皮块的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°．
故选：D．
【变式2】如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…这样他以3m/s的
速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）s．
A．24 B．40 C．80 D．240
【答案】C
【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时，正好走了一个正多边形，
∴正多边形边数：n＝360°÷15°＝24，
∴一共走了：24×10÷3＝80s，
故选：C．
题型06 正多边形的组合图形的计算
【典例1】如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，BE相交于点P，则∠DPB的度数为 108 ° ．
【答案】108°．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
(5−2)×180°
∴AB＝AE＝DE，∠BAE＝∠AED= =108°，
5
在△ABE和△EAD中，{
AB=EA
)
∵ ∠BAE=∠AED ，
AE=ED
∴△ABE≌△EAD（SAS），
∴∠AEB＝∠EDA，
∴∠DPB＝∠EDA+∠DEP＝∠AEB+∠DEP＝∠AED＝108°，
故答案为：108°．
【变式1】如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDGF，使点F，G在其内部，则∠BCF的度
数是（ ）
A．12° B．18° C．24° D．30°
【答案】B
【解答】解：∠BCD＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∠DCF＝90°，
∴∠BCF＝∠BCD﹣∠DCF＝108°﹣90°＝18°．
故选：B．
【变式2】如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形
成的∠1的度数是（ ）
A．118° B．122° C．128° D．132°
【答案】D
【解答】解：如图，
(6−2)×180° (5−2)×180°
∵∠2= =120°，∠3= =108°，
6 5
∵∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠1＝132°，
故选：D．1．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
180（n﹣2）＝720，
解得：n＝6，
360°÷6＝60°．
故选：B．
2．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是
正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解答】解：9﹣3＝6（条）．
故选：A．
3．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边
数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：5+2＝7（边）．
故选：B．
4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180•（n﹣2）＝3×360，
解得n＝8．
故选：C．
5．如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【解答】解：延长FA与直线b交于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
(6−2)×180°
∴∠F= =120°，AF∥CD，
6
∴∠2＝∠H，
∵a∥b，
∴∠3＝∠H，
∴∠2＝∠3＝180°﹣∠F﹣∠1＝180°﹣120°﹣40°＝20°，
若∠1＝40°，则∠2的度数是20°．
故选：B．
6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O，则∠DAO的度数是
（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：如图，由正八边形的对称性可知，点O是正八边形的中心，
1 1 360°
所以∠DAO= ∠DOE= × =22.5°，
2 2 8
故选：B．7．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿
BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【解答】解：设图1中BC，FM交于点G，所以∠FGB＝∠CGM，
∴折叠，
∴图2中，∠CGM＝∠PGC，
∴∠FGB＝∠CGM＝∠PGC，
∵∠FGP＝2∠BGF，
∴∠FGP+∠BGF+∠PGC＝4∠PGC＝180°，
∴∠PGC＝45°．
故选：C．
8．某同学用5根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边CD，将点A向下推，使点B，A，E共
线，形成四边形，如图所示，则此变化过程中（ ）
A．内角和减少了360° B．内角和增加了180°
C．外角和减少了180° D．外角和不变
【答案】D
【解答】解：变化过程中，外角和不变，都是360°，内角和减少了180°．故选项D正确．
故选：D．
9．如图，连接AC，若∠B+∠C+∠D+∠E＝3∠A+20°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【答案】C
【解答】解：设AC和BE交于点F，AD和BE交于点G，
∴∠AGB是△BDG的外角，∠AFE是△EFC的外角，
∴∠AGB＝∠B+∠D，∠AFE＝∠C+∠E，
由条件可知∠AGB+∠AFE＝∠B+∠C+∠D+∠E＝3∠A+20°，
∵∠AGB+∠AFE+∠A＝180°，
∴3∠A+20°+∠A＝180°，
解得∠A＝40°，
故选：C．
10．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如
图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠EAC的大小是（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】C
1
【解答】解：由条件可知∠ABC=∠BAE= ×(5−2)×180°=108°，
5
∵AB＝BC，1
∴∠BAC= ×(180°−108°)=36°，
2
∴∠EAC＝108°﹣36°＝72°，
故选：C．
11．过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，则（m﹣n）的值为 8 ．
【答案】8．
【解答】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线，
∴m﹣3＝8，
∴m＝11，
∵n边形没有对角线，
∴n＝3，
∴m﹣n＝8．
故答案为：8．
12．如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 144 ° ．
【答案】144°
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
180°(5−2)
∴每个内角的度数为： =108°，
5
∴∠A＝∠E＝108°，
∵∠A+∠E+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣108°﹣108°＝144°，
故答案为：144°．
13．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若AB、AC分别平分正五边形与正六边形的一个
内角，则∠BAC的度数为 114 ° ．
【答案】114°．
(5−2)×180°
【解答】解：根据题意可知，正五边形的内角为： =108°，
5(6−2)×180°
正六边形的内角为： =120°，
6
AB、AC分别平分正八边形与正六边形的一个内角，
1
∴∠BAC=∠BAC+∠BAD= ×(108°+120°)=114°．
2
故答案为：114°．
14．如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走
下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 2 0 米．
【答案】20
【解答】解：由图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是36°，
由360°÷36＝10可知是正十边形，有10条相等的边，
∴小明一共走了10×2＝20米，
故答案为：20．
15．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明
D 4n−6
了下面的公式：
n+1=
（其中D 表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两
D n n
n
种剖分方式（即：D ＝2），请你用上面的公式计算D ＝ 1 4 ．
4 6
【答案】14．
【解答】解：用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．
D 4×4−6 5
∵D ＝2， 5= = ，
4 D 4 2
4
∴D ＝5，
5
D 4×5−6 14
∵ 6= = ，
D 5 5
5
∴D ＝14；
6故答案为：14．
16．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
【答案】（1）16；
（2）5．
【解答】解：（1）由多边形内角和的计算方法可得，
180°×（x﹣2）＝1080°，
解得x＝8，
即这个正多边形为正八边形，
所以正八边形的周长为8×2＝16；
（2）由于正八边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°，
正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n的值为5．
17．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）多加的那个外角为多少度？
【答案】（1）见解析；
（2）十三边形；
（3）40°．
【解答】解：（1）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180
的倍数，故不可能是多边形内角和；
（2）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，2020÷180＝11……40，所以n﹣2＝11，所以n＝13故多边形
是十三边形；
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
18．如图是一个五角星．
（1）∠1是三角形FCE 的外角，∠2是三角形BDL 的外角．（2）请利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【答案】（1）FCE；BDL；
（2）180°．
【解答】解：（1）∠1是三角形FCE的外角，∠2是三角形BDL的外角．
故答案为：FCE；BDL．
（2）∵∠2＝∠B+∠D，∠1＝∠C+∠E，
∴∠B+∠D+∠C+∠E＝∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠A＝180°，
∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180°．
19．请仔细观察图形和表格，并回答下列问题：
多边形的 4 5 6 7 8 …… n
顶点数/个
从一个顶 1 2 3 4 5 …… ① n ﹣ 3
点出发的
对角线的
条数/条
多边形对 2 5 9 14 20 …… 1
② n
2
角线的总
条数/条 （ n ﹣ 3 ）
（1）观察探究：请自己观察图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整．
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位
同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
1
【答案】（1）n﹣3， n（n﹣3）；
2（2）135个．
【解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多
1
边形对角线的总条数为 n（n﹣3）；
2
1
故答案为：n﹣3， n（n﹣3）；
2
（2）∵3×6＝18，
1
×18×（18﹣3）＝135（个）．
2
答：数学社团的同学们一共将拨打电话为135个．
20．综合与探究
【感知】如图1，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
【应用】
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝ 120 ° ；若∠BAC＝70°，则∠BPC＝ 125 ° ；
（2）求∠BPC与∠A之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D
的数量关系．
【答案】（1）120°；125°；
1
（2）∠BPC=90°+ ∠A，理由如下见解析；
2
（3）∠A+∠D＝2∠BPC．
【解答】解：（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
1 1
由条件可知∠PBC= ∠ABC=25°，∠PCB= ∠ACB=35°，
2 2
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝120°．
若∠BAC＝70°，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°− (180°−∠BAC)=90°+ ∠BAC，
2 2
∵∠BAC＝70°，1 1
∴∠BPC=90°+ ∠BAC=90°+ ×70°=125°，
2 2
故答案为：120°；125°；
1
（2）∠BPC=90°+ ∠A；理由如下：
2
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
2 2
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
1
=180°− (∠ABC+∠ACB)
2
1
=180°− (180°−∠A)
2
1
=90°+ ∠A；
2
（3）∠A+∠D＝2∠BPC．
1
如图，延长BA，CD，交于点E，由（2）知，∠BPC=90°+ ∠E，
2
由条件可知∠BAD+∠CDA＝∠E+∠E+∠ADE+∠DAE＝180°+∠E，
∴∠E＝∠BAD+∠CDA﹣180°，
1
∴∠BPC=90°+ ∠E
2
1
=90°+ (∠BAD+∠CDA−180°)
2
1
=90°+ (∠BAD+∠CDA)−90°
2
1
= (∠BAD+∠CDA)，
2
即∠BAD+∠CDA＝2∠BPC．
