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第 05 章 相交线与平行线 章节复习卷（16 个知识点
+50 题练习）
知识点
知识点1．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
知识点2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，
互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角
都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下
形成的．
知识点3．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一
条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
知识点4．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是
相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线
段最短”这两个中去选择．
知识点5．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点6．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且
在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且
在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并
且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中
的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角
必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直
线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成
“U”形．
知识点7．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
知识点8．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出
一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直
线平行时应用．
知识点9．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说
成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说
成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单
说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
知识点10．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相
等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内
角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相
等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
知识点11．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系
来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点12．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知
事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”
后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的
正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
知识点13．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，
即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证
必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证
方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
知识点14．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简
称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
知识点15．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和
大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
知识点16．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应
点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
练习卷
一．相交线（共3小题）
1．（2023秋•路北区期末）根据语句“直线 与直线 相交，点 在直线 上，直线 不
经过点 ．”画出的图形是
A． B．
C． D．
【分析】根据直线 与直线 相交，点 在直线 上，直线 不经过点 进行判断，即可
得出结论．
【解答】解： ．直线 不经过点 ，故本选项不合题意；
．点 在直线 上，故本选项不合题意；
．点 在直线 上，故本选项不合题意；
．直线 与直线 相交，点 在直线 上，直线 不经过点 ，故本选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这
两条直线为相交线．
2．（2022春•兰州期末）平面内有三条直线，如果这三条直线两两相交，那么其交点最少
有 1 个，最多有 个．【分析】平面内两两相交的三条直线，有两种情况：（1）三条直线相交于同一点，（2）
三条直线相交于不同的三点．
【解答】解：如图，
平面内有三条直线，如果这三条直线两两相交，那么其交点最少有1个，最多有3个．
故答案为：1，3．
【点评】本题考查直线的相交情况，平面内两两相交的 条直线最多有 个交点．
3．如图，直线 、 、 交于 点，图中出现了几对对顶角，若 条直线相交呢？
【分析】识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图形（即定义图形）
即直线 、 相交于 ；直线 ， 相交于 ；直线 ， 相交于 ．由于
两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有6对对顶角．
【解答】解：图中共有 6 对对顶角，它们是： 和 ， 和 ；
和 ， 和 ； 和 ， 和 ．
两条直线相交出现 对对顶角，
三条直线相交出现 对对顶角，
四条直线相交出现 对对顶角，
依此类推， 条直线相交于一点有 对对顶角．
【点评】此题考查了对顶角的概念，但需要同学们总结规律，这也是这道题的难点，体现了从一般到特殊的解题思路．
二．对顶角、邻补角（共4小题）
4．（2023秋•峡江县期末）直线 与 相交于 点， ， 平分 ，且
，则 ．
【分析】由角平分线的定义，可得出 ，因而易求 的度数．
【解答】解： ， 平分 ，且 ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查角平分线的知识点，比较简单．
5．（2023•台江区开学）如图，已知直线 、 相交于点 ， 平分 ，若
，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】首先根据邻补角求得 ，再根据角平分线的定义可得 ，进
而得到 的度数，然后根据邻补角求得 的度数．
【解答】解： ， ，
，
平分 ，
，
，．
故选： ．
【点评】此题主要考查了邻补角的性质，角平分线的定义，关键是掌握邻补角性质．
6．（2023秋•南浔区期末）如图，直线 ， 相交于点 ．如果 ，那么 的
度数为 15 0 ．
【分析】根据对顶角相等求出 ，再根据互为邻补角的两个角的和等于 列式计算即
可得解．
【解答】解： ， （对顶角相等），
，
与 互为邻补角，
．
故答案为：150．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准
确识图是解题的关键．
7．（2023春•通川区校级期末）如图， 是直线 上一点， 为任一条射线， 平
分 ， 平分 ．
（1）图中 的邻补角为 ， 的邻补角为 ；
（2）如果 ，那么 ，
如果 ，那么 ；
（3）试猜想 与 具有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案；
（2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可；（3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示： 的邻补角为： ，
的邻补角为： ；
故答案为： ， ；
（2） ， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（3）由题意可得：
．
【点评】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
三．垂线（共4小题）
8．（2023 秋•镇平县期末）如图，直线 ， 相交于点 ， 于点 ，若
，则 的度数为A． B． C． D．
【分析】由垂直的定义得出 ，结合已知即可求出 的度数，再根据对顶
角相等即可得出 的度数．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了垂线，对顶角，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
9．（2023秋•遂川县期末）如图是光的反射规律示意图． 是入射光线， 是反射光
线 ， 法 线 ， 是 入 射 角 ， 是 反 射 角 ， ． 若
，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】由 ， 得 ，再根据 得
，据此可求出 的度数．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，即 ，
．
故选： ．
【点评】此题主要考查了角的计算，垂直的定义，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握
角的计算是解决问题的关键．
10．（2023秋•忻州期末）如图， ， ， ， ．
【分析】由 得 为直角三角形，进而根据 得 ，然后在
中由三角形的内角和定理可得 的度数．
【解答】解： ，
为直角三角形，
，
，
在 中， ， ，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了垂直的定义，三角形的内角和定理，准确识图，理解垂直的定义
熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．
11．（2023秋•内乡县期末）如图，直线 ， 相交于点 ， 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 ， 的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得， ，结合已知 可得 ，再根据 与 互补，即可解答；
（ 2 ） 根 据 ， 可 得 ， 再 根 据 ，
，从而求出 的度数，即可求出 和 的度数．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，即 ，
．
的度数为 ；
（2） ，
，
，
，即 ，
解得 ，
， ．
的度数为 ， 的度数为 ．
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题
的关键．
四．垂线段最短（共5小题）
12．（2023秋•市中区期末）如图，小明的家在 处，他想尽快赶到学校 处，共有
①②③条线路可走，他选择第②条线路，用几何知识解释其道理正确的是
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．连结两点的线段叫做线段的长度
D．垂线段最短【分析】根据线段的性质解答即可．
【解答】解： 两点之间，线段最短，
选择第②条线路比较近．
故选： ．
【点评】本题考查的是线段的性质，熟知两点之间，线段最短是解题的关键．
13．（2023春•鄂城区期中）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田 处，农民李伯伯
的做法是：过点 作 垂直于河岸 ，垂足为 ，沿 开挖水渠距离最短，其中的数
学道理是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质得出即可．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的
垂线段最短．
【解答】解： ，
沿 开挖水渠距离最短，其中的数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．实际问
题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这
两个中去选择．
14．（2023春•大冶市期中）如图， 中， ， ， ， ，
为直线 上一动点，连接 ，则线段 的最小值是
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【分析】当 时， 的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：在 中， ， ， ， ，
当 时， 的值最小，此时： 的面积 ，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法
求高．
15．（2023春•秦都区校级月考）如图，要把水渠中的水引到 点，在渠岸 的什么地方
开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
【分析】根据点到直线的垂线段距离最短解答．
【解答】解：如图，过 作 ，垂足为 ，
在 处开沟，则沟最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．
16．（2024•兴宁区校级开学）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点 处，附近
有 、 、 、 四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 地铁
出口下车回家的路径最短．
【分析】本题所求即为：线段 、 、 、 中哪一条最短，根据“垂线段最短”
的性质，可得 最短．
【解答】解：根据“垂线段最短”的性质，可得 最短．
故答案为： ．【点评】本题考查的是最短路径问题，关键在于正确理解垂线段的性质，垂线段最短，指
的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连
线而言．
五．点到直线的距离（共3小题）
17．（2023春•新华区期末）如图，点 ， 处各安装一个路灯，点 处竖有一广告牌，
测得 ， ，则点 到直线 的距离可能为
A． B． C． D．
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即
可得到答案．
【解答】解： ， ，
点 到直线 的距离小于 ．
故选： ．
【点评】本题考查点到直线的距离，垂线段线段，掌握以上知识点是解题的关键．
18．（2023秋•市中区期末）（1）如图，已知 、 、 三点，画射线 、线段 、
直线 ；
（2）已知 的面积为6， ，求点 到直线 的最短距离．
【分析】（1）按要求作出相应的图形即可；
（2）利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：如图，（2） 的面积为6， ，
点到射线 的距离为： ．
【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．
19．（2023春•鹿泉区校级期中）如图，三角形 中， ．
（1）点 到直线 的距离是线段 的长度；
（2）三条边 、 、 ，边 最长，理由是 ．
【分析】（1）根据点到直线的距离是指“该点到该直线的垂线段的长度”即可求解；
（2）根据垂线段最短即可求解．
【解答】解：（1） ，
，
点 到直线 的距离为线段 的长；
（2）由点到直线的距离，垂线段最短可知： ， ，
三条边 ， ， 中最长的边为 ．
故答案是：① ；② ；③垂线段最短．
【点评】本题考查了点到直线距离垂线段的含义、垂线段最短等知识点，属于基本概念题
熟练掌握点到直线垂线段的概念是解题的关键．
六．同位角、内错角、同旁内角（共3小题）
20．（2023秋•衡山县期末）下列所示的四个图形中， 和 是同位角的是A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④
【分析】利用同位角定义进行解答即可．
【解答】解：图①②④中， 和 是同位角，
故选： ．
【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“ ”形．
21．（2023春•微山县期中）如图，在 ， ， ， ， 和 中，同位角对数为
，内错角对数为 ，同旁内角对数为 ，则 1 6 ．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同
侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被
第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两
旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两
个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，
结合图形进行分析即可进行分析即可
【解答】解：同位角有： 与 ， 与 ，
内错角： 与 ， 与 ，
同旁内角： 与 ， 与 ， 与 ， 与 ，
， ， ，
，故答案为：16．
【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“ ”形，内错角的边构
成“ ”形，同旁内角的边构成“ ”形．
22．（2021春•惠州期末）两条直线被第三条直线所截， 和 是同旁内角， 和
是内错角．
（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；
（2）若 、 ，求 ， 的度数．
【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线
的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在
第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，画出图形．
（2）根据已知角的关系确定 ，再根据图形中 和 组成邻补角互补可得方程，
再解即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2） 、 ，
，
，
，
，
， ．
【点评】此题主要考查了三线八角，以及角的计算，关键是掌握内错角的边构成“
“形，同旁内角的边构成“ ”形．
七．平行线（共3小题）
23．（2023春•东昌府区校级月考）下列语句正确的有 个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线 ， 外一点 ，画直线 ，使 ，且
④若直线 ， ，则 ．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只
有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相
平行进行分析即可．
【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平
面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条
直线和已知直线平行；
③过两条直线 ， 外一点 ，画直线 ，使 ，且 ，只有 时才能画出，故
说法错误；
④若直线 ， ，则 ，说法正确；
故选： ．
【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线
和已知直线平行；
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
24．（2023春•双牌县期末）下列说法正确的有（填序号） ②④ ．
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
④在同一平面内，如果 ， ，则 ；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行线的性质，平行公理以及平行线与线段的区别对各小题分析判断后利用
排除法求解．
【解答】解：①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②一条直线有无数条平行线，正确；
③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的
线段不一定是平行线，故本小题错误；
④在同一平面内，如果 ， ，则 ，符合平行公理，正确；⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误，
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，都是基础知识，需要熟练记忆．
25．（2022春•田东县期末）一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三
角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的
度数．（不包括直角尺自身所成的角）
【分析】（1）直线 ，故直线 上的线段都与 平行．
（2）根据 和 都是直角，即可找出互相垂直的线段．
（3）根据角的概念进行解答．
【解答】解：此题答案不唯一，只要答案正确即可得分．
（1）如： ， ， ．
（2）如： ， ， ．
（3）如：钝角： ， ．
直角有： ．
如：锐角 ， ， ．
【点评】本题考查平行线，垂线以及角的概念，难度不大．
八．平行公理及推论（共2小题）
26．（2023春•萨尔图区期中）下面说法正确的个数为
（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）两角之和为 ，这两个角一定邻补角；
（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）；在同
一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）；举出反例即可判断
（3）；根据在同一平面内，两直线的位置关系是平行或相交，即可判断（4）．
【解答】解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；
只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；
如图：
，且 ，但是两角不是邻补角，故（3）错误；
同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，
因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确
的，故（4）正确．
即正确的个数是2个．
故选： ．
【点评】本题考查了平行公理和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点，此题比较典型，
但是一道比较容易出错的题目．
27．（2023秋•新安县期末）下列说法正确的是
A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两个相等的角是对顶角
C．互补的两个角一定是邻补角
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，以及垂线段最短的性质对各选项
分析判断后利用排除法求解．
【解答】解： 、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故本选项错误；
、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；
、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确．
故选： ．【点评】本题考查了平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概念
题．
九．平行线的判定（共3小题）
28．（2023春•滦南县期中）如图，点 在 延长线上，下列条件中不能判定
的是
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的判定方法直接判定即可．
【解答】解： ． 与 是直线 、 被 所截形成的内错角，因为 ，所
以应是 ，所以 选项不符合题意．
． ， （内错角相等，两直线平行），不能判定 ，所以
选项符合题意．
． ， （同位角相等，两直线平行），所以 选项不合题意．
． ， （同旁内角互补，两直线平行），所以 选项不
合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同
旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同
位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
29．（2023秋•成武县期末）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当
且点 在直线 的上方时，他发现若 或 或 ，则三
角尺 有一条边与斜边 平行（写出所有可能情况）．【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【解答】解：有三种情形：①如图1中，当 时，延长 交 于点 ，
，
；
②如图2中，当 时，延长 交 于点
；
③如图3中，当 时，
，
，
综上所述，满足条件的 的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点评】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
30．（2023春•金水区校级期中）光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射
入空气中，同样会发生折射现象．如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的
示意图．已知 ， ．请你用所学知识来判断 与 是否平行？并说明理由．
【分析】欲证明 ，结合图形只要先证明 ，再利用内错角相等，两
直线平行即可．
【解答】解： ；
理由如下：
如图， ， ，
，
，
（等式的性质），
（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁
内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位
角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
一十．平行线的性质（共3小题）
31．（2023秋•淮阳区期末）古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光
线直射进点 处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心 ．而同一经度上另外一点 处
的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为
，方尖塔延长线 经过圆心 ．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线 和方
尖塔延长线 所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为 （接近真实值
埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是 两直线平行，内错角相等 ．【分析】根据平行线的性质得出 ，即可得到答案．
【解答】解： 太阳光线是平行光线，
，
，
用到的原理是两直线平行，内错角相等．
故答案为：两直线平行，内错角相等．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键．
32．（2023秋•邓州市期末）如图，直线 ，直线 与直线 、 分别相交于 、 两
点， 于点 ，交直线 于点 ．如果 ，那么 的度数为
A． B． C． D．
【分析】先根据平行线的性质求出 的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出
的度数．【解答】解：如图：
直线 ，
，
于点 ， ，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，
此题难度不大．
33．（2023秋•淅川县期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，
请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知 ，则 成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知 ， 平分 ， 平分 ． 、 所在直线交
于点 ，若 ， ，求 的度数．
【分析】（1）如图1中，作 ，则有 ，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点 作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作 ，则有 ，
， ，
．（2）如图2，过点 作 ，
， ，
，
平分 ， ，
，
平分 ， ，
，
，
， ，
．
【点评】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问
题的关键是正确的作出辅助线．
一十一．平行线的判定与性质（共3小题）
34．（2024•石家庄开学）老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得
，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下：
甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁： ．
则不能得到 的是A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可．
【解答】解：甲、当 时，由同旁内角互补，两直线平行得 ，故
不符合题意；
乙、 ，
，故不符合题意；
丙、当 时，由同位角相等，两直线平行得 ，故不符合题意；
丁、当 时，由内错角相等，两直线平行得 ，故符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
35．（2023秋•内乡县期末）完成下面的证明：
如图，已知： ， ，垂足分别为 、 ，且 ，
求证： ．
证明： ， （已知），
， ① 垂直的定义 ，
② ，
③ ，
④ ⑤ ．
又 （已知），
⑥ ⑦ ，
⑧ ，
⑨ ．【分析】由题意可得出 ，即可证 ，得出 ，结合题意
可得出 ，即可证 ，进而可证 ．
【解答】证明： ， （已知），
， （垂直的定义），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
又 （已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：①垂直的定义；②等量代换；③同位角相等，两直线平行；④ ；⑤两直线平
行，同位角相等；⑥ ；⑦等量代换；⑧内错角相等，两直线平行；⑨两直线平行，同
位角相等．
【点评】本题考查垂线的定义，平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定定理和性质
定理是解题关键．
36．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，直线 分别与直线 、 相交于点 、 ，已
知 ， 平分 交直线 于点 ，则 ．
【分析】利用“同位角相等，两直线平行”证明 ，利用邻补角的定义，角平分线的定义求 的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出 的度数．
【解答】解： ，
， ，
平分 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
一十二．命题与定理（共3小题）
37．（2023秋•建宁县期末）下列四个命题中，真命题有
（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等；
（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角；
（4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的性质与判定方法、互补的定义及对顶角的性质分别判断后即可确定
正确的选项．
【解答】解：（1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，
不符合题意；
（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；
（3）一个角的余角一定小于这个角的补角，正确，是真命题，符合题意；
（4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，正确，是真命题，符合题意．
真命题有3个，
故选： ．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
38．（2023秋•高港区期末）“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个
三角形是直角三角形”这一命题是 真 命题（填“真”或“假” ．
【分析】根据直角三角形的判定定理解答即可．【解答】解：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形
该命题正确；
故答案为：真．
【点评】本题主要考查了命题和定理，熟练掌握直角三角形的判定定理是解答本题的关键．
39．（2023秋•临泉县期末）如图，在 和 中， ， ， ， 在同一条直线
上．下面四个条件：① ；② ；③ ；④ ．
（1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，
填序号）．
①已知： ①②③ ；求证： ．
②已知： ；求证： ．
（2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法选则条件即可；
（2）若已知①②③，求证④，则根据“ ”证明 ，从而得到 ．
【解答】（1）解：①可以选择①②③为条件，④为结论；
故答案为：①②③，④；
②可以选择②③④为条件，①为结论；
故答案为：②③④，①；
（2）已知①②③，求证④；
证明： ，
，
，
，
即 ，
在 和 中，，
，
．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个
命题是假命题，只需举出一个反例即可．
一十三．推理与论证（共3小题）
40．（2023春•临淄区期末）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．
甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜
错了．”则这本书的价格为
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本
题．
【解答】解：由题意可得，
甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，
又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，
所以这本书的价格是14元，
故选： ．
【点评】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．
41．某夏令营共8名营员，其中3人来自甲校，3人来自乙校，2人来自丙校．在一项游乐
活动中，他们分乘4辆2座位的游乐车．为加强校际间交流，要求同一学校的营员必须
分开乘车，每一辆车上的营员必须来自不同的学校．问这能够做到吗？若能，请设计一
个乘车方案；若不能，请说明理由．
【分析】根据同一学校的营员必须分开乘车，每一辆车上的营员必须来自不同的学校，且
他们分乘4辆2座位的游乐车，进而利用图表分析得出乘车方案．
【解答】解：能．乘车方案如下：．
【点评】此题主要考查了推理论证，利用图表形式分析得出乘车方案是解题关键．
42．（2023春•西城区校级期中）3月13日，三帆中学迎来了第十二届科技节，各种活动
精彩粉呈，同学们积极踊跃地参与．其中小阳、小月、小星、小辰四位同学参加了①纸牌
承重、②状加了科技状元榜、③望远镜制作和④纸飞机这四个项目，每人只能参加一个项
目且四人参加的项目互不相同，已知小阳参加了科技状元榜、望远镜制作中的一个，小月
参加了纸牌承重、科技状元榜中的一个，小星参加了纸牌承重、望远镜制作中的一个，参
加科技状元榜的是小阳或小辰中的其中一个，请你依次写出小阳、小月、小星、小辰分别
参加的项目名称所对应的数字编号 ②①③④ ．
【分析】小阳参加了②③，小月参加了①②，小星参加了①③，根据小阳或小辰的其中一
个参加了②，说明小月参加了①，小星参加了③，小阳参加了②，小辰参加了④，故小阳
小月、小星、小辰分别参加的项目名称所对应的数字编号是②①③④．
【解答】解：小阳参加了②③，
小月参加了①②，
小星参加了①③，
根据小阳或小辰的其中一个参加了②，说明小月参加了①，小星参加了③，小阳参加了②
小辰参加了④，
故小阳、小月、小星、小辰分别参加的项目名称所对应的数字编号是②①③④；
故答案为：②①③④．
【点评】本题主要考查了逻辑推理，解题关键是根据小阳或小辰的其中一个参加了②，说
明小月参加了①为突破口．
一十四．生活中的平移现象（共3小题）
43．（2023春•云梦县期中）下列运动属于平移的是A．荡秋千
B．转动中的电风扇叶片
C．地球绕着太阳转
D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做
平移变换，简称平移．根据平移的概念进而得出答案．
【解答】解： 、荡秋千，属于旋转变换，不符合题意；
、转动中的电风扇叶片，属于旋转变换，不符合题意；
、地球绕着太阳转，属于旋转变换，不符合题意；
、急刹车时，汽车在地面上的滑动，属于平移变换，符合题意；
故选： ．
【点评】本题需掌握平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的
图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图
形整体沿某一直线方向移动．
44．（2023春•东莞市校级期中）某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，
空白部分为两条宽度均为2米的小路，则草地的实际面积 12 8 ．
【分析】将小路两旁部分向中间平移，直到小路消失，发现草地是一个长为 米、宽
为 米的长方形，根据长方形面积 长 宽列式计算即可．
【解答】解：由题意，得草地的实际面积为：
．
故答案为128．
【点评】此题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键思路，需要注意的是：
平移前后图形的大小、形状都不改变．
45．（2023春•七星关区期中）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米20元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面
如图所示，请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？
【分析】根据题意，结合图形，先把台阶的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其
面积，则购买地毯的钱数可求．
【解答】解：如图：
把台阶向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.4米，3.8米，
地毯的长度为 米，地毯的面积为 平方米，
买地毯至少需要 元．
答：买地毯需要840元．
【点评】本题考查生活中的平移现象，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
一十五．平移的性质（共3小题）
46．（2023春•凤山县期中）现实世界中，平移现象无处不在，中国的方块字中有些也具
有平移性，下列汉字是由平移构成的是
A．朋 B．磊 C．森 D．回
【分析】根据平移的基本性质，汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可．
【解答】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字即可，
“朋”可以通过平移得到．
故选： ．
【点评】本题考查了平移的基本性质的运用，熟练掌握平移的性质是解答此题的关键．
47．（2023春•金安区校级期末）将 沿射线 方向平移到 的位置（点 在线
段 上），如图，若 ， ，则平移的距离是 ．【分析】观察图象，发现平移前后， 、 对应， 、 对应，根据平移的性质，易得平
移的距离 ，进而可得答案．
【解答】解：由题意 ，
平移的距离为 ，
故选： ．
【点评】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行
且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点．
48．（2023 春•曲靖期末）已知直线 ，一块含 角的直角三角板
，顶点 在直线 上．
①如图1，若 ，求 的度数；
②如图2，向上平移直线 ，使直线 过点 ， ， ，若 是
的3倍，求证： ．
【分析】①证明 ，利用 ，构建关系式，可得结论；
②证明 ，可得结论．
【解答】①解：如图1中， ，
，
，
，
，
，；
②证明： ，
，
， 是 的3倍，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查作图 平移的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
一十六．作图-平移变换（共2小题）
49．（2023春•美兰区校级期末）如图，在 中， ，将 平移5个单位长
度得到△ ，点 是 的中点， 的最小值等于 3 ．
【分析】连接 ，由平移的性质得出 ，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：如图，连接 ，将 平移5个单位长度得到△ ，
，
，点 是 的中点，
，
，
的最小值等于 ，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平移变换，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的
关键．
50．（2023春•宁江区期中）三角形 ，（记 在 的方格中的位置如图所示，
已知 ，
（1）请你在方格中建立平面直角坐标系，并写出点 的坐标．
（2）把 向下平移1个单位，再向右平移2个单位，请你画出平移后的△ ，若
内部有一点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
（3）在 轴上存在一点 ，使△ 的面积等于 ，写出满足条件的点 的坐标．【分析】（1）根据条件建立平面直角坐标系即可．
（2）根据平移规律画出图象即可，再根据平移后的坐标左减右加，上加下减的规律即可写
出点 坐标．
（3）设点 坐标 ，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，点 坐标 ．
（2）图中△ 即为所求． ．
故答案为 ．
（3）设点 坐标 ，
由题意： ，
或4，
点 坐标 或 ．
