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专题 26.1 反比例函数
1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式;
2.能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式 探索并理解 和 时,图象的变化情况;
并能运用反比例函数的性质解决相关问题;
3.掌握反比例函数中的比较大小问题,能根据一个变量的取值范围确定另一个变量的取值范围
一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即
，或表示为 ，其中 是不等于零的常数.一般地，形如 ( 为常数， )的函数称为反比例函数，其中 是自变量， 是函数，自变
量 的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在 中，自变量 是分式 的分母，当 时，分式 无意义，所以自变量 的取值范围是
，函数 的取值范围是 ，故函数图象与 轴、 轴无交点；
（2） 可以写成 ( )的形式，自变量 的指数是 ，在解决有关自变量指数问
题时应特别注意系数 这一条件.
（3） ( )也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数 ，从而得到
反比例函数的解析式.
二、反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图象及性质
反比例函数的图象是双曲线
图象
（1）图象分别位于第二、四象限；
（1）图象分别位于第一、三象限；
性质 （2）在每个象限内， 值随 值的增大而增
（2）在每个象限内， 值随 值的增大而减小
大
对称性 反比例的图像关于原点的对称
2.画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写 值时，
只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连
接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐
标轴相交考点01反比例函数的定义及辨析
例1．下列函数中，变量 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-1．已知函数 是反比例函数，则 ．
变式1-2．若 是反比例函数，则此函数解析式为 ．
变式1-3．下列函数：① ；② ；③ ；④ ．其中y是x的反比例函数的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点02待定系数法求反比例函数
例2．已知反比例函数的解析式 ，并且当 时， ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当 时，求y的值．
变式2-1．在如图所示的网格中（每个小正方形的边长为1），以点O为原点作平面直角坐标系，则与P不
在同一反比例函数 图像上的是点 其中 ， ， ， ，变式2-2．反比例函数 的图象经过点 ，则k的值是（ ）
A． B．5 C．1 D．
变式2-3．如图，直线 与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ，过点 作
轴于点 ， ，求反比例函数的解析式．
考点03判断（画）反比例函数的图象
例3．反比例函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
变式3-1．在下图中，画出反比例函数 的图象．
变式3-2．若反比例函数 的图象经过点 ，则该反比例函数的图象位于（ ）
A．第一二象限 B．第一三象限 C．第二三象限 D．第二四象限
变式3-3．若函数 和函数 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵
轴是（ ）
A． B． C． D．考点04反比例函数与其余函数图象问题
例4．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
变式4-1．在同一平面直角坐标系xOy中，函数 和 的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．变式4-2．函数 与 在同一坐标系的图象是（ ）
A． B． C． D．
变式4-3．函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点05已知图象求解析式或参数
例5．如图是三个反比例函数 ， ， 在y轴右侧的图象，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
变式5-1．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 和 两点，若 ，
则 的取值范围是 ．
变式5-2．如图，下列解析式能表示图中变量 之间关系的是（ ）
A． B． C． D．变式5-3．如图，是反比例函数 在第二象限的图象，则 的可能取值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．-
考点06反比例函数图象的对称性
例6．如图，直线 与双曲线 交于 两点，过点 作 轴，垂足为点 ，连接 ，
若 ，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
变式6-1．如图，正比例函数 （ ）与反比例函数 的图象交于点 和点 ．求点
的坐标．变式6-2．校考二模）在直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于A、B两点，已知A
点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请根据图象直接写出 的解．
变式6-3．若一次函数 的图像与反比例函数 的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点07反比例函数图象的增减性
例7．若反比例函数 的图象在每个象限内随着 的增大而增大，则 的值为 ．
变式7-1．已知点 与点 在反比例函数 的图象上，( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
变式7-2．若点 和 在 的图象上，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
变式7-3．在反比例函数 中，当 时， 的最大值与最小值之差为4，则 值为（ ）
A．8 B．6或 C．6 D．5
考点08比较自变量或函数值的大小
例8．若点 、 、 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式8-1．若 ， 都在函数 的图像上，且 ，则 ．（填“ ”、
“ ”或“ ”）
变式8-2．点 都在反比例函数 （k为常数）的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式8-3．在反比例函数 （k为常数）有三点 ， ， ，若 ，
则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点09已知比例系数求特殊图形的面积
例9．如图是反比例函数 和 在x轴上方的图象， 轴的平行线 分别与这两个函数图象交于
、 两点，点 在 轴上，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C． D．变式9-1．如图，点A是反比例函数 的图象上一点， 轴交x轴于点B， ，
．
变式9-2．如图，直线 过原点分别交反比例函数 于 、 ，过点 作 轴，垂足为 ，则
的面积为 ．
变式9-3．如图所示，过反比例函数 在第一象限内的图象上任意两点 ， ，分别作 轴的垂
线，垂足分别为 ， ，连接 ， ，设 与 的面积为 ， ，那么它们的大小关系是（
）
A． B． C． D．不能确定考点10根据图形面积求比例系数
例10．在平面直角坐标系中，反比例函数 的部分图象如图所示， 轴于点 ，点 在x轴上，
若 的面积为 ，则 的值为 ．
变式10-1．如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂
线交x轴于B，连接 ，若 的面积为3，则k的值为 ．
变式10-2．如图，四边形 是平行四边形， 在 轴上，点 在 轴上，反比例函数 的图
象经过第一象限点 ，且 的面积为 ，则 ＝（ ）．A．6 B．3 C．9 D．12
变式10-3．如图，反比例函数 的图象分别交正方形 的边 于点 、 ，若 点坐
标为 ，若 是等边三角形，求 的值．
基础过关练
1．下列关系式中表示 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．计划修建铁路1200km，则铺轨天数 与平均每天铺轨量 之间的函数关系式是（ ）A． B．
C． D．
3．已知 ， ， 都在双曲线 上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在反比例函数 的图像上，有点 ， ， ， ，它们的横坐标依次为1，2，3，4．
分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ， ， ，若
，则 的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定
5．反比例函数 的图象有一支位于第一象限，则常数m的取值范围是 ．
6．如图，等腰 在平面直角坐标系中，点B的坐标为 ， ，点A在反比例函数
（ ， ）的图象上，则k的值为 ．7．已知反比例函数 ，当 时，y的最大值为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的面积为 ，顶点A、C分别在x轴，y轴上，顶点B在第三
象限，对角线 交于点D．若反比例函数 的图象经过点D，则k的值为 ．
9．已知反比例函数 的图象经过点 ．
(1)求这个函数的表达式；
(2)点 ， 是否在这个函数的图象上？
10．如图，一次函数 是反比例函数 图象上的两点，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，线段 的延长线交 轴于点 ．(1)求 的值和该反比例函数的函数关系式．
(2)求 的面积．
11．已知 是关于x的反比例函数．
(1)若 时，y随x的增大而减小，求m的值；
(2)若该反比例函数图象经过第二象限内点 ，求n的值．
12．【问题】我们知道，反比例函数 的图象是双曲线，那么函数 的图象是怎样的？其图象与
函数 的图象有关系吗？
【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象．
(1)写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整．
①列表、取值（这里自变量x的取值范围是 ）
x …… 0 2 3 4 5 6 7 ……
y …… m 6 3 2 1.5 n 1 ……
表格中 ， ．
②描点连线．(2)认真观察图表，联想函数 的图象和性质，解答下列问题：
①函数 的图象是由函数 的图象向 平移 个单位长度得到的，其对称中心
的坐标是 ；
②写出函数 的增减性性质： ；
【应用】在上面的坐标系中画出函数 的图象，
利用你所画的图象，直接写出不等式 的解集： ．
能力提升练
1．已知点 ， ， 在下列某个函数的图象上，则这个函数是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过 两点，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的图像可以由 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信
息判断，下列直线中与函数 的图像没有公共点的是（ ）
A．经过点 且平行于 轴的直线
B．经过点 且平行于 轴的直线
C．经过点 且平行于 轴的直线
D．经过点 且平行于 轴的直线
4．如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交点为
与B点．若C是y轴上的点，且满足 的面积为20，则C点坐标为 ．
5．在平面直角坐标系 中，直线 与双曲 交于A，B两点，已知 ， ，
则方程 的根是 ．6．如图， 已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点 ,点D是正比例函数
图象上的一点， 过点D作 轴的垂线， 垂足为Q ， 交反比例函数的图象于点A ，过点A 作 轴的
垂线， 垂足为B ， 交正比例函数的图于点E .当点D的纵坐标为9时，连接 ，则 的面积是
7．如图，反比例函数 （k为常数， ）与正比例函数 （m为常数， ）的图像交于
，B两点．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴正半轴上有一点 ， 的面积为6，求点C的坐标．
8．综合与探究：如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ，B两点，分别连接
．(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求出点B的坐标及 的面积；
(3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以 为直角边的直角三角形？若
存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
