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专题 26.2 反比例函数的实际应用
1.结合具体情景体会反比例函数的意义；
2.能用反比例函数解决简单实际问题
实际问题与反比例函数
1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为 ，
然后求出k的值即可．
2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自
变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．
考点01行程问题与反比例函数
例1．安乡子龙汽车站与常德市柳叶湖汽车站相距约 ，则汽车由子龙汽车站行驶到柳叶湖汽车站所
用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）A． B． C． D．
变式1-1．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v
千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下
表：
v（千米/小时） 75 80 85 90 95
t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
(1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系；
(2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围
(3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足 ，求平均速度v的取值范围．
变式1-2．嘉琪驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为600千米，设小汽车的行驶时间为t（单
位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)用含t的代数式表示v；
(2)嘉琪上午8点驾驶小汽车从A地出发，她能否在当天12点前到达B地？说明理由．
变式1-3．国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速
度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时．
考点02工程问题与反比例函数
例2．某市粮库要把晾晒场上的600吨大米入库封存．
(1)求入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）的函数关系式；
(2)粮库有职工 40 名，每人每天最多可将 吨大米入库，预计将全部大米入库最快可在多少天内完成？
(3)粮库的职工连续工作了 25 天后，上级主管部门决定临时把剩下的大米全部入库，以便尽早调出出售，
则至少需要增加多少名人员帮忙才能完成任务？
变式2-1．市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 立方米，某运输公司承担了运
送土石方的任务．设该公司平均每天运送土石方总量为 立方米，完成运送任务所需时间为 天．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)若工期要求在100天内完成，公司每天至少要运送多少立方米土石方？
变式2-2．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数 （单位：天）与
每天完成的工程量 （单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．
(1)请根据题意，求 关于 的函数解析式；
(2)若该工程队有 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 ，则该工程队需用多少天才能完成此项任
务？
变式2-3．被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为
300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．(1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）．
①请直接写出y与x的函数关系式；
②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？
(2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减
少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米．
考点03物理问题与反比例函数
例3．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所
示的是该台灯的电流 与电阻 的关系图象，该图象经过点 ．根据图象可知，下列说
法正确的是（ ）
A．当 时，
B． 与 的函数关系式是
C．当 时， 的取值范围是
D．当 时，变式3-1．王芳同学在一次做电学实验时，记录下电流 与电阻 的一些对应值，通过描写连线，
画出了 关于 的函数图象如图，求 与 之间的函数关系式，并求当电阻为 时，电流的值是多少．
变式3-2．近视眼镜的镜片是凹透镜．研究发现，近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 成反比例．初
一入校小明佩戴的200度近视镜片的焦距为 米，由于小明有长时间使用电子产品等不规范用眼的行为，
初三测视力发现近视度数增长为500度，那么此时需要重配的眼镜镜片焦距应为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
变式3-3．根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压 （单位： ）一定时，通
过导体的电流 （单位： ）与导体的电阻 （单位： ）满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．
当 时， ．
(1)求电流 关于电阻 的函数关系式；
(2)当 时，求电阻 的值．
考点04利润问题与反比例函数
例4．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为 元，若该厂每月生产 只（ 取正整
数），这个月的总成本为 元，则 与 之间满足的关系为 ．
变式4-1．柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某
超市从果农处进购柚子的成本价为3元千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的关系如图所示，其中 为反比例函数图象的一部分， 为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
变式4-2．某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销
售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
x（元/升） 3 4 5 6
15
y（升） 200 120 100
0
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为
①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，
则长方体容器中剩余液体原料多少升？
变式4-3．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此种贺卡的销售单价x（单位：元）与
日销售量y（单位：张）之间有如下关系：
销售单价x（元） 3 4 5 62
日销售量y（张） 15 12 10
0
(1)根据表中数据在平面直角坐标系中描出实数对 的对应点；
(2)确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设此种贺卡的日销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定此种贺卡的售价最高
不超过10元/张，请你求出销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？并求出最大日销售利润．
考点05分段函数问题与反比例函数
例5．为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到 ）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等
功能．现将 的自来水加入到饮水机中，先加热到 ．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的
饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为 ，则水温下降到 后不再改变，此时可以正常饮用．
整个过程中，水温 与通电时间 之间的函数关系如图所示．
(1)水温从 加热到 ，需要______ ；请直接写出加热过程中水温 与通电时间 之间的函数关
系式：______；
(2)观察判断：在水温下降过程中， 与 的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；
(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在 左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为 ．现将
的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水
冲泡奶粉？
变式5-1．为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立
方米空气中的含药量 与时间 之间成一次函数关系；燃烧完后 与时间 之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：
(1)求药物燃烧完后 与时间 的函数表达式；
(2)当每立方米空气中的含药量低于4 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒
人员不能停留在教室里？
变式5-2．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t
（分）满足二次函数 ，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道
旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：
(1)二次函数和反比例函数的关系式；
(2)求弹珠离开轨道时的速度．
变式5-3．为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量
（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后
是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
(2)该疫苗生产企业有 个月的月生产数量不超过60万支．
考点06几何问题与反比例函数
例6．如图，在平面直角坐标系 中，点A在正比例函数 的第一象限的上，过点 作 轴于
点 ，点 在点 右侧的 轴上，且 ，过点 作 轴的垂直线，交过点A的反比例函数
的图象于点 ，连接 ， ，若 的面积为 ，那么 的值为 ．
变式6-1．如图，反比例函 的图象经过菱形 的顶点 ，点 在 轴上，过点 作 轴的垂线
与反比例函数的图象相交于点 ．若 ，则点 的坐标是 ．变式6-2．如图，在矩形 中， ， ，F是 上的一个动点（F不与A，B重合），过点
F的反比例函数 的图象与 边交于点E．
(1)当F为 的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时， 的面积最大，最大面积是多少？
变式6-3．如图，直线 ： 与坐标轴交于A、D两点，以 为边在 右侧作正方形 ，
过C作 轴于G点．过点C的反比例函数 与直线 交于E、F两点．
(1)求证： ；
(2)求E、F两点坐标；
(3)填空：不等式 的取值范围是______．
基础过关练
1．面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（ ）A． B． C． D．
2．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强
与汽缸内气体的体积 成反比例， 关于 的函数图象如图所示，若压强由 加压到
，则气体体积压缩了（ ）
A． B． C． D．
3．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验（微克/毫升）与服药时间
小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于 微克/毫升的持续时间为（ ）
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
4．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数
关系，它的图象如图所示，则当电阻为 时，电流为 ．5．学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压 、电流 、电阻 三者之间的关系，测得
数据如下，根据数据猜想得到三者之间为： ．由此可得，当电阻 时，电流 A．
6．某标准游泳池的尺寸为长 米，宽 米，深度为3米，游泳池蓄水能游泳时，水深不低于 米．
（1）游泳池的排水管每小时排水 立方米，那么将游泳池最低蓄水量排完用了 小时．
①写出 与 的函数关系式为 ；
②当 时， 的值为 ；
（2）在（1）的情况下，如果最低蓄水量排完不超过5小时，每小时排水量最少增加 立方米．
7．一个水池内原有水 升，现在以 升 分钟的速度向水池内注水， 分钟可注满水池．
(1)水池的容积是多少？
(2)若水池为空的，设注水的速度为 升 分钟，注满水池需要 分钟，写出 与 之间的函数关系式；
(3)若水池为空的， 分钟注满水池，则注水的速度应达到多少？
8．十·一期间，学校团委组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李明要把社会实践调查报告录入
电脑，当他以120字/分钟的速度录入文字时，经过100分钟能完成录入．设他录入文字的速度为v字/分钟
完成录入的时间为t分钟．求t与v之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)．
9．某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温
是通电时间 的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间 之间的函数关系如图所示．
(1)在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间 的函数表达式；
(2)若水温从 开始加热至 ，然后下降至 ，在这一过程中，水温不低于 的时间有多长？
10．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函
数，其函数图象如图所示.
(1)求P关于S的函数关系式.
(2)当 时，物体所受的压强是多少 .
11．用橡胶或聚脂薄膜材料制成气球，并充以比空气密度小的氢气或氦气，用以携带仪器升空，进行高空
气象观测．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 与气体体积
成反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个函数的表达式．
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于 时，气球将煤炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
12．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系
式为 ．当广告停止后，销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30
天时，当日销售量为120万件．
(1)当 时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数 （天）之间的函数关系式；
(2)广告合同约定，当销售量不低于 万件，并且持续天数不少于 天时，广告设计师就可以拿到“特殊
贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．
能力提升练
1．随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临
床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图
所示（当 时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续
时间为（ ）A．4小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
2．如图，一个电子体重秤的电路图如图（2）所示，可变电阻 可随着人的质量 的变化而变化，电源电
压恒为8伏，定值电阻 的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为 （该读数可以
换算为人的质量 ），则 关于 的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 （ 为
的整数），函数 的图象为曲线 ．若曲线 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各2个
点，则 的坐标是 ， 的取值范围是 ．4．小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克
时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为 ．
5．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升 ，加热到 时，饮水机自动停止加热，
水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温 与通电时间 成反比例关系．当水温降至室温时，
饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为 ，接通电源后，水温 与通电时间
之间的关系如图所示．
(1)求当 时， 与 之间的函数关系式；
(2)加热一次，水温不低于 的时间有多长？
6．反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电
阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻 欧姆时，电流 安培．(1)求出函数解析式．
(2)当 安培时，求出R的值．
(3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？
7．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒
温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间 之间的函数关系，其中线段 ， 表示恒温系
统开启阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题：
(1)求 与 的函数表达式；
(2)若大棚内的温度低于 时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜
避免受到伤害？
8．通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，指标达到
36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当 和
时，图象是线段，当 时是反比例函数的一部分．
(1)分别求当 和 时，y与x之间满足的函数关系式；
(2)李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否在学生认真听讲的时间段完成任务，请说明理由．
