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解密07讲：任意角的三角函数、诱导公式与恒等式
【考点解密】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为
－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝αr
扇形面积公式 S＝lr＝αr2
3.任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
第一象限 第二象 第三象 第四象限
三角函数 定义域
符号 限符号 限符号 符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α .
5．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
6．常见特殊角的三角函数值
n 0° 180°
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 270° 360°
π π π π 3π
α 0 π
6 4 3 2 2 2π
sinα 0 1 0 -1 0
cosα 1 0 -1 0 1
- - -
tanα 0 1 -1 0 0
-
-
7．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2) cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tanα±tanβ
(3) tan(α±β)＝ ．
1∓tanαtanβ
8．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
(2)公式变形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.9．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中 ）
＝cos(x—φ). （其中 ）
【方法技巧】
1．求三角函数值
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求
出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角
函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
2．同角三角函数基本关系式的应用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角
α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos
α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3．诱导公式
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．
如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.4．三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
5．给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角
与凑角．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求
角”变成“已知角”．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
6．已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
7．利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
㈠分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是
正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；②1－tan αtan β＝；
③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
④tan α·tan β＝1－.
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
㈡化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，
如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
【核心题型】
题型一：定义法求三角函数值
1．（2022·吉林延边·高三阶段练习）若点 在函数 的图象上，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知角 的终边上有一点 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考阶段练习）已知锐角 终边上一点A的坐标为 ，则
角 的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
题型二：利用三角函数符号判断角所在象限
4．（2017·全国·校联考二模）若 ，则 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角5．（2019秋·河北衡水·高三统考阶段练习）已知 ，则点P 所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2022·浙江·模拟预测）已知 ，则“ ”是“角 为第一或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要
题型三：知一求二
7．（2021秋·福建三明·高三三明市第二中学校考阶段练习）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）在三角形 中，已知 ， ，若
，则 的值为__________．
题型四：齐次式法求值
10．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考阶段练习）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
11．（2022秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型五：整体代换法诱导公式化简求值
13．（2014·高三课时练习）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 ______.题型六：给值求角
16．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知 ， ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
17．（2022秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知 ， ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
18．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）已知 ，且 ，
求 的值为_____．
题型七：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题
19．（2023·全国·高三专题练习）以下关于 的命题，正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．点 是函数 图象的一个对称中心D．将函数 图象向左平移 个单位，可得到 的图象
20．（2021秋·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）函数 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．0
21．（2021秋·北京昌平·高三昌平一中校考期中）已知函数 .
(1)求 的值；
(2)求函数的 最小值及相应的 值；
(3)若 ，求函数 的增区间（直接写出结论）.
题型八：三角恒等变换与平面向量结合问题
22．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
23．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知向量 ．
(1)若 ，求 ；(2)若 ，求函数 的单调增区间．
24．（2020秋·吉林·高三校考期中）已知向量 且
(1)用 表示 及 .
(2)求函数 的最小值及 的值.
【高考必刷】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在第一象限，则在 内的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（广东省河源市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半
轴重合，终边过点 ，则 （ ）A． B． C． D．
4．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021秋·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知 ，则 ．
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
7．（2021·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2020秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知向量 ，且 ，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）若 是第二象限角，且 ，则 （ ）A． B． C． D． ，
10．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）若 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．4
11．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．2
12．（2022秋·河南郑州·高三温县第一高级中学校联考阶段练习）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）设 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
14．（2018·高三课时练习）已知在 ABC中，cos ＝－ ，那么sin ＋cosA＝( )
△
A． B．－
C． D．15．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
17．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若 ， 是第二象限的角，则 （ ）
A． B． C．2 D．-5
18．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 都是锐角，且 ， ，那么 、
之间的关系是（ ）
A． B．C． D．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在 上单调
递减，则 不能取（ ）
A． B． C． D．
21．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的一条对称轴为
B． 的一个对称中心为
C． 在 上的值域为
D． 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
22．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 在 内有且仅有1个
零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022秋·甘肃兰州·高三兰州一中校考阶段练习）已知：函数 ，则下列说法错
误的是（ ）
A．将 的图像向右平移 个单位长度得 的图像B． 在 上的值域为
C．若 ，则 ，
D． 的图像关于点 对称
二、多选题
24．（2022秋·福建·高三统考阶段练习）已知 为锐角，且 ，则（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
25．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知 ， ，若 与 共
线，则下列说法错误的是（ ）
A．将 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
B．函数 的最小正周期为
C．直线 是 的一条对称轴
D．点 是 的一个对称中心26．（2022·浙江·模拟预测）已知向量 ， ， ，函数 的最小
正周期是 ，则（ ）
A．
B． 在 上单调递减
C． 的图象向左移 个单位，图像关于 轴对称
D． 取最大值时，x的取值集合为
27．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
29．（2022·高一课时练习）已知 ， 是方程 的两根，则 _________.30．（2018·高三课时练习）若 ，则 的值等于________．
31．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知 ， 为锐角，且 ， ，则
___________.
32．（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知 ，则
___________.
33．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知 ， ，且 ， ，则
的值是___________.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，则
________．
35．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知角 ， ，则 ______.四、解答题
36．（2022春·海南省直辖县级单位·高一海南二中校考期中）已知 ， 是第三象限角，
，求
(1) ；
(2) .
37．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）设 ， .
(1)当 时，求x的值.
(2)若 ，求 的最大值与最小值，并求出相应 的取值.
38．（2021秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知平面向量 ， 定义函数 ．
(1)求函数 的值域；
(2)若函数 图像上的两点 的横坐标分别为和 ， 为坐标原点，求 的面积．
39．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知向量 ， ，其中.
(1)若 ，求 的值；
(2)记 ，若函数 在 上单调递增，求 的取值范围.
40．（2022秋·江西九江·高三校联考阶段练习）已知向量 ， ，
．
(1)求 的最小正周期；
(2)当 时，求 的最大值与最小值．
