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解密25 二项式定理
【考点解密】
一 二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T ＝Can－kbk.
k＋1
【方法技巧】
1.二项式系数的性质
对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；
当k>时，二项式系数是逐渐减小的．
增减性与最
大值 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 ， 相等，且同时取得最大值
各二项
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
式系数
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
的和
2：一般地，若 .
（1） ；
（2）展开式各项系数和为 ；
（3）奇数项系数之和为 ；
（4）偶数项系数之和为 .【核心题型】
题型一：利用项的系数求参数
1．（2023·重庆·统考二模）已知 的二项展开式中，第 项与第 项的二项式系数相等，则所有项的系数
之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位
数为n，则二项式 展开式的常数项为（ ）
A． B．60 C．120 D．240
3．（2023·安徽宿州·统考一模）设 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
题型二：赋值法在二项式定理的应用
4．（2023·江西赣州·统考一模）已知 ，则 （ ）
A．40 B．8 C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ，则（ ）
A．
B．
C．D．
题型三：利用二项式定理证明整除问题
7．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中，常数项为 ，则 被8除的余数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2022·全国·高三专题练习）设 ，且 ，若 能被13整除，则 （ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
9．（2022·全国·高三专题练习） 除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
题型四：不等式求系数的最值问题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为
___________．
11．（2022·浙江·高三专题练习）已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式
的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________．
12．（2023·上海·高三专题练习）已知 ，若数列
是个单调递增数列，则 的最大值为_____
题型五：多项式展开式问题
13．（2023·广东江门·统考一模）已知多项式 ，则 （ ）
A．－960 B．960 C．－480 D．48014．（2021·全国·高三专题练习） 的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘
以各项指数之和的值为（ ）
A．0 B． C． D．
15．（2020·全国·高三专题练习）将多项式 分解因式得 ，则 （ ）
A．16 B．14 C． D．
题型六：二项式定理的综合问题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
17．（2020·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（1）已知 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比
为 ，求 的值.
（2）记 ， ，
①求 ；
②设 ，求和： .
18．（2020·江苏·统考模拟预测）已知数列 满足 ，且 ， .
（1）求证： ；
（2）求证： .【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中的常数项为（ ）
A．－20 B．30 C．－10 D．10
20．（2023·全国·哈尔滨三中校联考一模）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算
法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非
常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、
数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列 ，则关于数列 叙述正确的是（ ）
A． B．
C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
21．（2023·全国·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．64 D．160
23．（2023·陕西安康·统考二模）已知 ，则
的值为（ ）
A．0 B． C． D．
24．（2023·上海静安·统考一模）在 的二项展开式中， 称为二项展开式的第 项，其中
r=0，1，2，3，……，n．下列关于 的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若 ，则二项展开式中系数最大的项是 ．
B．已知 ，若 ，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数 的取值范围是 ．
C．若 ，则二项展开式中的常数项是 ．
D．若 ，则二项展开式中 的幂指数是负数的项一共有12项．
25．（2023·四川成都·统考二模）二项式 展开式中 的系数为（ ）A．120 B．135 C．140 D．100
26．（2023·全国·高三专题练习） 展开式中常数项为（ ）
A． B． C．1 D．481
27．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．20
二、多选题
28．（2023·山西晋中·统考二模） ，若 ，则下列结论正确的有
（ ）
A． B．
C． D． 的展开式中第1012项的系数最大
29．（2023·湖南·模拟预测）已知 ，则下列结论成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·云南·统考模拟预测）在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为12831．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
32．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则
展开式中的常数项为___________.
33．（2023·广东·校联考模拟预测）在 展开式中， 的系数是________．（用数字作答）
34．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）若 ，则
___________.
35．（2023·福建泉州·统考三模）已知 ，且 则
____________．
