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专题26 完全平方公式与几何图形
1．如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是（ ）
A． =x2+y2+z2+2y+xz+yz B． =x2+y2+z+2xy+xz+2yz
C． =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz D． = +2xz+2yz
2．根据图中面积的等量关系可以得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，4张边长分别为 、 的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．4．图（1）是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分
成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面
积是（ ）
A． B． C． D．
5．直接依据图中图形面积之间的关系，通过计算可以表示的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
6．如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）
A．a2﹣b2 B．a2+b2 C．ab D．2ab
7．如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为
75，小正方形的面积为3，则矩形的宽 为________．
8．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，则 的值为______．
9．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在
同一直线上．已知a＋b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为________．
10．如图，在边长为a（cm）的大正方形内放入三个边长都为b（cm）（a＞b）的小正方形纸片，
这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2－2ab＋b2的值为________．
11．如图，已知两个正方形的边长分别为 ，如果 ，那么阴影部分的面
积是________．12．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在 中， ， ，
，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则 的值为_________．
13．试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积：
方法（一）：____________；
方法（二）：____________；
从中你有什么发现，请用等式表示出来：____________；
利用你发现的结论，解决下列问题：
如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a＋b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．
14．利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡
片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式： ．
请你解答下面的问题：
(1)填空： ，则 ______； ，则 _______，
_______；(2)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：_______；
(3)利用上述拼图的方法计算： ______．
15．完全平方公式 进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．
如：若 满足 ，求 的值．解题思路；由 得
，可设 ， ，则 ，
， ；
(1)请仿照上面的方法求解下面问题：
①若 满足 ，求 的值；
②若 满足 ，求 的值；
(2)应用上面的解题思路解决问题：如图，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正
方形，设 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积．
16．两个边长分别为 和 的正方形（ ）如图放置（图 ， ， ），若阴影部分的面积分别
记为 ， ， ．(1)用含 ， 的代数式分别表示 ， ， ；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)若对于任意的正数 、 ，都有 （ 为常数），求 ， 的值．
17．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用
四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
(1)观察图2请你写出 ， ， 之间的等量关系是____________；
(2)根据（1）中的结论，若 ， ，则 ____________；
(3)拓展应用：若 ，求 的值．
18．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b
的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
方法1：方法2：
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若 ，则 = ．（请直接写出计算结果）
19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用
四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2请你写出 、 、ab之间的等量关系是 ；
(2)根据（1）中的结论，若x+y=5，x•y= ，则x﹣y= ；
(3)拓展应用：若 ，求（2021﹣m）（m﹣2022）的值．
20．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：由
图1可得到 ．
(1)写出由图2所表示的数学等式： _____________；
(2)写出由图3阴影部分面积所表示的数学等式：______________；(3)利用上述结论，解决问题：已知 ， ，求 的值．
