专题26含绝对值符号的一元一次方程（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题26 含绝对值符号的一元一次方程 1．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如： ， ， 都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路 是：含有绝对值的方程 不含有绝对值的方程，我们知道，由 ，可得 或 ． 例 解方程： ． 我们只要把 看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得 或 ． 解这两个一元一次方程，得 或 ． 根据以上材料解决下列问题： （1）解方程： ； （2）拓展延伸：解方程 ． 【解答】解：（1）根据绝对值的意义得： 或 ． 解得： 或 ． （2）由绝对值的意义得： 或 ． 解得： 或 ． 2．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程： ． 解：当 时，原方程可化为 ，解得 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ． 所以原方程的解是 或 ． （1）解方程： ． （2）解关于 的方程： ． 【解答】解：（1）当 时，原方程可化为 ，解得 ；当 时，原方程可化为 ，解得 ． 原方程的解是 或 ； （2）①当 时，原方程无解， ②当 时， 原方程可化为： ，解得 ； ③当 时， 当 时，原方程可化为 ，解得 ； 当 时，原方程可化为 ，解得 ． 3．探究发现 阅读下列解题过程并解答下列问题： 解方程 ． 解：①若 时，原方程可化为一元一次方程 ． ； ②若 时，原方程可化为一元一次方程 ． ； ③若 时，则原式中 ，这显然不成立， 原方程的解是 或 ． （1）解方程 ． （2）若方程 的解也是方程 的解，求 的值． （3）探究：方程 有解的条件． 【解答】解：（1）原方程可以化成 ， 当 时，原方程可以化成 ，解得： ； 当 时，原方程可化成 ，解得： ； 当 时，原式不成立． 原方程的解是 或 ； （2）解方程 ， 当 时，原方程是 ，解得： ；当 时，原方程是 ，解得： ； 当 时，方程不成立． 则原方程的解是 或 ． 当 时 ， 代 入 方 程 得 ： ， 解 得 ： ， 则 ； 当 时 ， 代 入 方 程 得 ： ， 解 得 ： ， 则 ； （3）方程 有解的条件是： ， 解得： ． 4．解方程： ． 【解答】解：原方程式化为 或 （1）当 时，即 ， 由 得 与 不相符，故舍去 由 得 （2）当 时，即 ， 由 得 与 不相符，故舍去由 得 故原方程的解是 或 5．解方程： ． 【解答】解：（1）当 时，原方程可化为： ， 解得： ， 与 不符； （2）当 时，原方程可化为： ． ； （3）当 时，原方程可化为： 与 不相符； 综上所述，方程的解为： ． 6．解方程 ． 【解答】解：（1）当 时， 原方程可化为： 解得： ，与题意不符，故舍去． （2）当 时，原方程可化为： 即 所以 （3）当 时， 原方程可化为 ， 与题意不符，故舍去． 故原方程的解是 ． 7．已知关于 的方程 ，研究 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 【解答】解：由绝对值的意义可知： 的最小值为1， （1）当 时，方程有两个解，可以为 时， ， ， 当 时， ， ， （2）当 时，方程有无数个解为： ， （3）当 时，方程无解． 8．当 取哪些值时，方程 有解？ 【解答】解：（1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 故只有当 时，原方程有解． 9．解下列方程： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ．【解答】解：（1） ， ， 或 ， 移项化系数为1得： 或 ； （2） ， ， 即 ， 或 ， 移项化系数为1解得： 或 ； （3） ， 或 ， 由 知 ， 解得： （舍去）； 由 ，移项得： ， ， 或 ， 解得： 或 ； （4）当 时，原方程可化为： ， 不符合题意； 当 时，原方程可化为： ， 不符合题意； 当 时，原方程可化为： 恒成立，说明凡是满足 的 值都是方程的解； 当 时，原方程可化为： ， 不符合题意． 故原方程的解为： ． 10．已知方程 有一负根，且无正根，求 的取值范围． 【解答】解： 解方程可得： 或 ， 因为 时，方程 有一负根，且无正根，可得方程的两个根均为负根． 则 ，即 ； 则 ，即 ； 当 时，方程 有一负根，且无正根， 故 ． 11．解下列方程： （1） （2） ． 【解答】解：（1）①当 时，原方程可化为： ， 解得： ； ②当 时，原方程可化为： ， 解得： ； ③当 时，原方程可化为： ， 解得： ． 综上可得：方程的解为： 或 或 ； （2）方程可理解为一个点到1和5两点的距离和，由此可得方程的解为： ． 12．讨论方程 的解的情况． 【解答】解：当 ，原方程无解； 当 时，原方程可化为： ， 解得 或 ； 当 ，此时原方程可化为： ， 此时原方程有四解： ， 即： 或 或 或 ； 当 时，原方程可化为： ， 此时原方程有三解： 或 或 ； 当 时，原方程有两解： ， 即： 或 ． 故 或 或 或 ． 13．解方程： ． 【解答】解：即 或 ， 或 或 ； 或 （舍 或 ； 或 或 或 ． 或 （舍 或 或 ． 或 或 ． 14．当 满足什么条件时，关于 的方程 有一解？有无数多个解？无解？【解答】解：① 时， ， 当 时，有无数多解； 当 时，无论 取何值均无解； ② 时， ， 当 时，有无数解； 当 时，无解； ③ 时， ， ， 即： ． 所以当 时，有一解； 当 或 时，无解． 综上所述，当 时，方程有无数个解，当 或 时，无解；当 时，有一解． 15．解方程： ． 【解答】解：当 时，原方程化为 ，解得 ， 当 时，原方程化为 ，解得 ， 当 时，原方程化为 ，解得 （舍去）， 所以，方程的解为 或 ． 16．设 、 为有理数，且 ，方程 有三个不相等的解，求 的值． 【解答】解： ， 或 ， 若 ， 都是非负的，而且如果其中一个为0，则得3个解；如果都不是零，则得4个解，故 17．解方程： ． 【解答】解：当 时， ， 解得 ； 当 时， ，不成立； 当 时， ，解得 ． 18．已知 ，则 的取值范围是 ． 【解答】解：从三种情况考虑： 第一种：当 时，原方程就可化简为： ，解得： ，不符合题意； 第二种：当 时，原方程就可化简为： ，解得， 为全体实数，符合题意； 第三种：当 时，原方程就可化简为： ，解得： 符合题意； 所以 的取值范围是： ． 故答案为： ． 19．若关于 的方程 有负根且无正根，则 的取值范围是 ． 【解答】解：（1）当 时， ， 原式 ， （无正根）， ， ； （2）当 时， ， 原式 ， （有负根）， ， ， 故 的取值范围是： ． 20．已知关于 的方程 有解，那么 的取值范围是 ．【解答】解：（1）当 时，原方程化为 ， （2）当 时，原方程化为 ， ， （3）当 时，原方程化为 综上， 方程有解． 21．使关于 的方程 同时有一个正根和一个负根的整数 的值是 0 ． 【解答】解：（1）当 时， ， ， ， ； （2）当 时， ， ， ， ， ， ． 故 的值是0． 22．若 ， ，则使 成立的 取值范围是 ． 【解答】解：根据 ， ，①当 时，原方程可化为： ， 解得： ，不符合题意；② 时，原方程可化为： ，解得 ，不符合题意； ③当 时，原方程可化为： ，恒成立； 故使 成立的 取值范围是； ． 故答案为： ． 23．关于 的方程 有三个解，则 的值为 1 ． 【解答】解：①若 ， 当 时， ，解得： ， ； 当 时， ，解得： ； ； ②若 ， 当 时， ，解得： ， ； 当 时， ，解得： ， ； 又 方程有三个解， 可得： 或1，而根据绝对值的非负性可得 ， 故答案为：1． 24．若关于 的方程 只有一个负根，则 的取值范围是 ． 【解答】解：当 时，方程是： 解得： ，根据题意得： ， 解得： ，此时有正根， 则 时有负根， 当 时， ， 解得： ，根据题意 ， 解得： ， 综上所述； 时，方程 只有一个负根． 故答案是： ．25．方程 的解为 或 ． 【解答】解：根据绝对值的性质得， 或 ， 整理得， ①或 ②， ①方程有意义，则 ， ， 解得， ，舍去； ②方程有意义，则 ， ， 得， 或 ， 得， 或 ． 故答案为： 或 ． 26．对关于 的方程 （1） 考虑如下说法：①当 取某些值时，方程（1）有两个整数解； ②对某个有理数 ，方程（1）有唯一的整数解； ③当 不是整数时，方程（1）没有整数解； ④不论 为何值时，方程（1）至多有4个整数解． 其中正确的说法的序号是 ①③④ ． 【解答】解：（1）当 时；原式 ，即 ； （2）当 时；原式 ，即 ； （3）当 时；原式 ，即 ； ①当 取某些值时，方程有两个整数解，故①正确； ②对某个有理数 ，方程有唯一的整数解，故②错误； ③当 不是整数时，方程没有整数解，故①正确； ④不论 为何值时，方程至多有4个整数解，故①正确． 故答案为：①③④．