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专题26 完全平方公式与几何图形
1．如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是（ ）
A． =x2+y2+z2+2y+xz+yz B． =x2+y2+z+2xy+xz+2yz
C． =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz D． = +2xz+2yz
【答案】C
【分析】根据大长方形的面积=3个正方形的面积+6个小长方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意可得：大长方形的面积=3个正方形的面积+6个小长方形的面积
∴ =x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
故选：C
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是明确大长方形的面积=3个正方
形的面积+6个小长方形的面积．
2．根据图中面积的等量关系可以得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中各个部分面积之间的关系进行解
答即可；【详解】解：大阴影正方形的边长为 ，所以大阴影正方形的面积为 ，
大阴影正方形面积也可以看成从边长为 的正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再减去
两个长为（ ），宽为b的长方形的面积，
即 ，
所以有 ，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是用不同的方法表示图形的面积．
3．如图，4张边长分别为 、 的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据外面大正方形的面积减去中间小正方形的面积等于4个长方形的面积即可得．
【详解】解：由图可知，外面大正方形的面积减去中间小正方形的面积等于4个长方形的面积，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，找出图中的面积关系是解题关键．
4．图（1）是一个长为 ，宽为 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分
成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面
积是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】中间部分的面积等于大正方形的面积减去长方形的面积，表示出大正方形的边长，则面
积可以求得；
【详解】解：大正方形边长是 ，面积是 ，
中间部分的面积是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
5．直接依据图中图形面积之间的关系，通过计算可以表示的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【答案】B
【分析】根据大正方形面积=两个小正方形面积+两个长方形面积求解即可．
【详解】解：大正方形面积 ，两个小正方形面积+两个小长方形面积 ，
∵大正方形面积=两个小正方形面积+两个长方形面积
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键．
6．如图，正方形中阴影部分的面积为（ ）A．a2﹣b2 B．a2+b2 C．ab D．2ab
【答案】D
【分析】根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【详解】解：阴影部分的面积为：
，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分
面积之间的关系是正确解答的关键．
7．如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为
75，小正方形的面积为3，则矩形的宽 为________．
【答案】
【分析】根据图形的面积，设矩形的长为a，宽为b，得出 =75， =3，进而得到
a+b=5 ，a-b= ，求出b即可．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，则有 =75， =3，
所以a+b=5 ，a-b= ，
所以b=2 ，即矩形的宽AB为2 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，二次根式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是
正确解答的前提．
8．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形
的面积均为6，大正方形的面积为25，则 的值为______．
【答案】1
【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去先正方形的面积列出等式即可．
【详解】解：∵图中每个小长方形的面积均为6，大正方形的面积为25，
∴中间的小正方形的面积为： = -4ab=25-6×4=1，
∴ 的值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系是解决问题的关
键．
9．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在
同一直线上．已知a＋b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为________．【答案】14
【分析】用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入计算即可．
【详解】解：由 可得，
=a2+b2- a2- b（a+b）
= a2+ b2- ab
= （a2+b2-ab）
= [（a+b）2-3ab]
= ×（100-72）
=14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，
用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键．
10．如图，在边长为a（cm）的大正方形内放入三个边长都为b（cm）（a＞b）的小正方形纸片，
这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2－2ab＋b2的值为________．
【答案】4
【分析】由题意得到AB=BC=a，AD=EF=b，求得（a-b）2=4，于是得到结论．
【详解】解：如图，由题意得，AB=BC=a，AD=EF=b，
∴BD=a-b，BE+CF=a-b，
∵这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，
∴（a-b）2=4，
∴a2-2ab+b2=（a-b）2=4，
故答案为：4．【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的识别图形是解题的关键．
11．如图，已知两个正方形的边长分别为 ，如果 ，那么阴影部分的面
积是________．
【答案】6
【分析】根据阴影部分的面积等于 ，结合完全平方公式的变形
计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，得
阴影部分的面积=
．
故答案为：6．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据题意表示出各个部分的面积，再根据各
个部分面积之间的关系得出答案是解题的关键．
12．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在 中， ， ，
，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则 的值为_________．
【答案】8
【分析】根据图形表示出大，小正方形的面积：a2+b2=34，（b-a）2=4，再根据四个直角三角形的
面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【详解】解：∵大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，
∴a2+b2=34，（b-a）2=4，
∴4× ab=34-4=30，
∴2ab=30，
∴（a+b）2=（b-a）2+4ab=4+60=64，
∴a+b=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积
和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
13．试用两种不同的方法表示图1中阴影部分的面积：
方法（一）：____________；
方法（二）：____________；
从中你有什么发现，请用等式表示出来：____________；
利用你发现的结论，解决下列问题：如图2，两个正方形的边长分别为a，b，且a＋b＝ab＝9，求图2中阴影部分的面积．
【答案】 ， ； ；27
【分析】方法1：两个正方形面积和，方法2：大正方形面积 两个小长方形面积；进而由题意可
直接得到；然后由阴影部分面积 正方形边长为 的面积 正方形为 的面积-2个三角形的面积，
可求阴影部分的面积．
【详解】解：由题意可得：
方法 ，
方法 ，
故答案为： ， ；
，
故答案为： ；
阴影部分的面积
，
阴影部分的面积
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是用代数式表示图形的面积．
14．利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡
片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式： ．请你解答下面的问题：
(1)填空： ，则 ______； ，则 _______，
_______；
(2)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：_______；
(3)利用上述拼图的方法计算： ______．
【答案】(1)12，1，1
(2)
(3)
【分析】（1）利用整式的乘法和恒等式进行列式计算即可；
（2）利用矩形的面积公式和割补法两种方法计算图形的面积；
（3）利用2个边长为 的正方形和3个边长为 的正方形和7个小矩形拼成一个长和宽分别为
和 的矩形．
（1）
解：∵
∴
∵
∴ ，解得： ；
（2）
解：由题意得：
图3的面积 ，
图3的面积 ，
利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： ；
（3）
如图：利用2个边长为 的正方形和3个边长为 的正方形和7个小矩形拼成一个长和宽分别为和 的矩形，
则矩形的面积： ； ，
即可得出： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查多项式乘多项式和图形面积．解题的关键是利用面积公式和割补法表示同一图
形的面积．
15．完全平方公式 进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．
如：若 满足 ，求 的值．解题思路；由 得
，可设 ， ，则 ，
， ；
(1)请仿照上面的方法求解下面问题：
①若 满足 ，求 的值；
②若 满足 ，求 的值；
(2)应用上面的解题思路解决问题：如图，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正
方形，设 ，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)① 的值为5；②若 的值为57
(2)
【分析】（1）①设 ， ，根据题意进行计算即可得；②设 ， ，
根据题意进行计算即可得；
（2）设 ， ，根据题意可得 ，即可得．
（1）
解：①设 ， ，
则 ， ，
∴ ；
②设 ， ，
则 ， ，
∴
（2）
解：设 ， ，
则 ， ，
∵ ，
∴
∴ ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式．
16．两个边长分别为 和 的正方形（ ）如图放置（图 ， ， ），若阴影部分的面积分别
记为 ， ， ．
(1)用含 ， 的代数式分别表示 ， ， ；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)若对于任意的正数 、 ，都有 （ 为常数），求 ， 的值．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3) ，
【分析】（1）图1中，直接求出阴影的边长，都是a-b；图2中，两个正方形的面积的和减去两个
白色三角形的面积的和；图3中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以2．
（2）把 ， ，代入（1）中，便可解出 ， 再根据完全平方公式的变形，
即可求解；
（3）把（1）中的三个等式代入 ，经过整理，即可求解．
（1）
解：图 中，阴影的边长都是 ，所以 ；
图 中，阴影面积 ；
图 中， ．（2）
解：当 ， 时，
，
解得 ， ，
∴ ，
（3）
解：因为 ； ； ．
对于任意的正数 、 ，都有 为常数 ，
∴ ，
整理得： ，
由于 ， 为常数，故由待定系数法得：
， ，
解得 ， ．
【点睛】本题考查完全平方公式与正方形相结合解决问题的能力，（3）问，考查式子的变形能力，
从而求得m，k值．
17．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用
四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）(1)观察图2请你写出 ， ， 之间的等量关系是____________；
(2)根据（1）中的结论，若 ， ，则 ____________；
(3)拓展应用：若 ，求 的值．
【答案】(1)（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab
(2)
(3)
【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别
用含a和b的代数式表示可得出答案；
（2）由（1）可得出（x−y）2＝(x＋y)2−4xy，即可得出答案；
（3）由[（2021−m）＋（m−2022）]2＝（2021−m）2＋（m−2022）2＋2（2021−m）（m−2022），
即可求解．
（1）
解：由图2可知，大正方形的边长为a＋b，内部小正方形的边长为b−a，小长方形的长为b，宽为
a，
∴大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（b−a）2，小长方形的面积为ab，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即（a＋b）2＝（b−a）2＋4ab＝（a−b）2＋4ab．
故答案为：（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab．（2）
解：∵ ， ，
∴（x−y）2＝(x＋y)2−4xy＝52−4× ＝16，
∴x−y＝±4．
故答案为： ．
（3）
解：∵ ，
[（2021−m）＋（m−2022）]2＝（2021−m）2＋（m−2022）2＋2（2021−m）（m−2022），
∴1＝2023＋2（2021−m）（m−2022），
∴（2021−m）（m−2022）＝ ×(1−2023)＝−1011．
【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的
关键．
18．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b
的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若 ，则 = ．（请直接写出计算结果）
【答案】(1)m-n(2)方法1： ，方法2：
(3)
(4)29
【分析】（1）观察得到长为 ，宽为 的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图 中的阴影部分的正方形面积；也可以
直接利用正方形的面积公式得到；
（3）利用（2）中图 中的阴影部分的正方形面积得到 ；
（4）根据（3）的结论得到 ，然后把 ， 代入计算．
（1）
解：图 中的阴影部分的正方形的边长等于长为 ，宽为 的长方形的长宽之差，即 ；
（2）
解：方法一：图 中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即
；
方法二：图 中的阴影部分的正方形的边长等于 ，所有其面积为 ；
故答案为 ；
（3）
解： ；
（4）
解： ，
当 ， ，
．
故答案为29
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．
19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)观察图2请你写出 、 、ab之间的等量关系是 ；
(2)根据（1）中的结论，若x+y=5，x•y= ，则x﹣y= ；
(3)拓展应用：若 ，求（2021﹣m）（m﹣2022）的值．
【答案】(1)
(2)±4；
(3)（2021-m）（m-2022）=-3．
【分析】（1）根据题意大正方形的边长为a+b，大正方形的由4个长为b，宽为a的长方形，中间
正方形边长为b-a组成，正方形和正方形的面积计算方法进行计算即可得出答案；
（2）根据（1）中结论代入计算即可出答案；
（3）根据题意可得（2021-m）+（m-2022）=-1，则[（2021-m）+（m-2022）]2=（2021-m）2+
（m-2022）2+2（2021-m）（m-2022），代入计算即可得出答案．
（1）
解：根据题意由图②可得，
则 ．
故答案为： ；
（2）
解：根据（1）中结论可得，
，
则 ，可得 ，
即x-y=±4．
故答案为：±4；
（3）
解：∵（2021-m）+（m-2022）=-1，
∴
，
∴ ，
∴（2021-m）（m-2022）=-3．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方
法进行求解是解决本题的关键．
20．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：由
图1可得到 ．
(1)写出由图2所表示的数学等式： _____________；
(2)写出由图3阴影部分面积所表示的数学等式：______________；
(3)利用上述结论，解决问题：已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)(2)
(3)50
【分析】（1）根据题意可得大正方形的边长为 ，还可以看成是由1个边长为a的正方形，
1个边长为b的正方形，1个边长为c的正方形，2个长为b，宽为a的长方形，2个长为c，宽为
a的长方形， 2个长为c，宽为b的长方形组成的，即可求解
（2）根据题意可得阴影部分是边长为（a-b）的正方形，
还可以看成是边长为a的正方形的面积减去2个长为a，宽为b的长方形的面积，再加上边长为b
的正方形的面积，
（3）可利用（1）所得的结果进行等式变换直接带入求得结果．
（1）
解：根据题意得：大正方形的边长为 ，
还可以看成是由1个边长为a的正方形， 1个边长为b的正方形，1个边长为c的正方形，2个长
为b，宽为a的长方形，2个长为c，宽为a的长方形， 2个长为c，宽为b的长方形组成的，
∴ ；
故答案为：
（2）
解：根据题意得：阴影部分是边长为（a-b）的正方形，
还可以看成是边长为a的正方形的面积减去2个长为a，宽为b的长方形的面积，再加上边长为b
的正方形的面积，
∴ ；
故答案为：
（3）
解：由（1）可得：【点睛】本题主要是在完全平方公式的几何背景图形的基础上，利用数形结合思想解答是解题的
关键．
