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专题27 圆中定值
1．已知 是 的切线， 是 的直径．求证：点 、 与 的距离的和为定值．
2．如图，已知，在以 为弦的弓形劣弧上取一点 （不包括 ， 两点），以 为圆心作圆
和 相切，分别过 ， 作 的切线，两条切线相交于点 ．
求证： 为定值．
3．如图，半径给定的两圆同心，对小圆作三条切线，两条分别交于 、 、 三点，记以 、
、 为顶点的像扇形的区域面积分别为 、 、 ， 的面积为 ，求证：
为定值．
4．如图，已知 为正方形 的外接圆的劣弧 上任意一点，求证： 为定值．
5．已知两同心圆的圆心为 ，过小圆上一点 作小圆的弦 和大圆的弦 ，且 ，求证： 为定值．
6．已知直径 、 互相垂直，点 是 上一动点，连 、 、 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，求证： 为定值．
7．如图，设 为圆 内一定点，过 任作一弦 ，分别过 ， 引圆的切线，再过 分别作两
切线的垂线，垂足为 ， ．求证： 为定值．
8．如图，过点 和点 的动圆 分别与 轴， 轴相交于点 ， ．
（1）求 的值；
（2）设 的内切圆 的直径为 ，求证： 为定值．
9．如图1， 点为 轴正半轴上一点， 交 轴于 、 两点，交 轴于 、 两点， 点为劣弧 上一个动点，且 ， ．
（1） 的度数为 ；
（2）如图2，连结 ，取 中点 ，连结 ，则 的最大值为 ；
（3）如图3，连接 ， ．若 平分 交 于 点，求线段 的长；
（4）如图4，连接 、 ，当 点运动时（不与 、 两点重合），求证： 为定值，
并求出这个定值．
10．问题：如图1， 中， 是直径， ，点 是劣弧 上任一点．（不与点 、
重合）
求证： 为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明 ．按思路完成下列证明过程．
证明：在 上截取点 ．使 ．连接 ．
运用：如图2，在平面直角坐标系中， 与 轴相切于点 ，与轴相交于 、 两点，且
，连接 ， ．（1） 的长为 ．
（2）如图3，过 、 两点作 与 轴的负半轴交于点 ，与 的延长线交于点 ，连接
、 ，当 的大小变化时，问 的值是否变化，为什么？如果不变，请求出
的值．
11．问题：如图1， 中， 是直径， ，点 是劣弧 上任一点（不与点 、 重
合），求证： 为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明 ．按思路完成下列证明过程．
证明：在 上截取点 ，使 ，连接 ．
运用：如图2，在平面直角坐标系中， 与 轴相切于点 ，与 轴相交于 、 两点，且
，连接 、 ．
（1） 的长为 ．
（2）如图3，过 、 两点作 与 轴的负半轴交于点 ，与 的延长线交于点 ，连接
、 ，当 的大小变化时，问 的值是否变化，为什么？如果不变，请求出
的值．
12．如图，已知在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点 ，点 关于 轴的对称点为点 ，过点 作直线 平行于 轴，动点 到直线 的距离等于线段 的长度．
（1）求动点 满足的 关于 的函数解析式，并画出这个函数图象；
（2）若（1）中的动点 的图象与直线 交于 、 两点（点 在点 的左侧），分别
过 、 作直线 的垂线，垂足分别是 、 ，求证：① 是 外接圆的切线；②
为定值．
13． 内接于 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，求 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 作 于点 ，连接 ，若 ，试说明线段
与 的差为定值．
14．如图， 是 的直径， ， 是弧 的中点， ， 绕点 旋转与
的两边分别交于 、 （点 、 与点 、 、 均不重合），与 分别交于 、
两点．
（1）求证： ；（2）连接 、 ，试探究：在 绕点 旋转的过程中， 是否为定值？若是，求
出 的大小；若不是，请说明理由；
（3）连接 ，试探究：在 绕点 旋转的过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，
求出其最小值；若不存在，请说明理由．
15．如图，四边形 的四个顶点在 上，对角线 、 交于点 且 ，
于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 为定值．
