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专题 28 一次函数与将军饮马最值综合应用
题型归纳
题型1：线段问题
（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标
之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长
度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；
（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。
题型2：线段最小值问题
一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上）
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
A
A
A
m
P
m
m
B
B
B
（2）点A、B在直线同侧： A
A B
m
B P
m
A'
A、A’ 是关于直线m的对称点。
题型3：两条线段差最大值问题
求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
P P'
m
解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—
PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：
A
A B'
m
P' P
m
B
B
解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为
AB’
典例分析
【考点1：线段问题】
【典例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+4与坐标轴分
1
别相交于点A、B与l ：y＝ x相交于点C．
2
（1）求点C的坐标；
（2）若平行于y轴的直线x＝a交于直线l 于点E，交直线l 于点D，交x轴
1 2
于点M，且ED＝2DM，求a的值；
【变式1】如图，直线y＝ x﹣3交x轴于A，交y轴于B，
（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；
（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；【考点2：将军饮马-线段最值问题】
【典例2】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于
点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、
Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在
最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系内，直线l ：y＝x+4分别交x轴、y轴于
1
点A，B，直线l ：y＝﹣3x与直线l 交于点C，P为y轴上一动点．
2 1
（1）点A坐标 ，点B坐标 ；
（2）求点C的坐标；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求出这个最小值．【变式2-2】如图，点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，点B（3，n）
在正比例函数 的图象上．
（1）求m，n的值；
（2）在x轴找一点P，使得PA+PB的值最小，请求出PA+PB的最小值．
【考点3：两条线段差最大值问题】
【典例3】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+6分别与x、y轴相交于A、B
两点，将线段 AB绕点A顺时针旋转 90°得到线段AC．连接BC交x轴于点
D．
（1）求点C的坐标；
（2）P为x轴上的动点，连接 PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，求此时点
P的坐标．【变式3-1】如图1所示，直线l ：y＝﹣ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
1
直线l ：y＝3x﹣4与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．
2
（1）求点E的坐标；
（2）如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求|PE﹣PD|的最大值；
【变式3-2】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直
线y＝x+1交于点P（3，b），B为直线y＝x+1上一点．
（1）求a，b的值；
（2）当线段AB最短时求点B的坐标；
（3）在x轴上找一点C，使AC﹣PC的值最大，请写出点C的坐标并求最大
值．【变式3-3】如图①，平面直角坐标系中，直线 y＝kx+b与x轴交于点A（﹣
10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣ x交于点C（a，7）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点 E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣ x
于点F，交直线y＝kx+b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．
①求△CGF的面积；
②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大
若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；
夯实基础1．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两
点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，
（1）求点C关于y轴对称点M坐标，点C关于直线AB对称点N坐标．
（2）求△CDE的周长的最小值．
2．如图，点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，点B（3，n）在正比例
函数 的图象上．
（1）求m，n的值；
（2）在x轴找一点P，使得PA+PB的值最小，请求出PA+PB的最小值．
3．如图，平面直角坐标系中有两点A（1，3）、B（3，﹣1），完成下列问题：
（1）求出经过A、B两点的一次函数表达式；
（2）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE+BE取最小值时，点E的坐标
为 ；
（3）若点C（1，﹣2），在线段AC上找一点F，使点F到AB、BC的距离相等（请在图中标注出点F的位置）．
4．如图，一次函数y＝kx+b的图象过P（1，4）、Q（4，1）两点，与x轴交
于A点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积；
（3）已知：点M在x轴上，且使MP+MQ的值最小，请直接写出点 M的坐
标 ，及MP+MQ的最小值是 ．
5．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（0，k）和直线y＝kx，我们称点P
（0，k）是直线y＝kx的反关联点，直线y＝kx是点P（0，k）的反关联直线．
特别地，当k＝0时，直线y＝0的反关联点为P（0，0）．已知点A（﹣2，
2），B（0，﹣4），C（0，0）．（1）点B的反关联直线的解析式为 ，直线AC的反关联点的坐
标为 ；
（2）设直线AC的反关联点为点D．
①若点P在直线AC上，则PB+PD的最小值为 ；
②若点E在点B的反关联直线上，且S ＝4，求点E的坐标．
△BDE
6．如图，直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为一边，
在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求线段AB的长；
（2）求点D的坐标；
（3）点E在x轴上，将点E沿x轴向右平移3个单位得到点 F，连接DE，
BF，请直接写出四边形BDEF周长的最小值．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A（﹣ ，0）的两条直线分别交 y
轴于B（0，3），C（0，﹣1）两点．（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若点D在直线AC上，且DB＝DC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 x轴上是否存在点 P，使得|BP﹣DP|有最大值？
若存在，请求出P点的坐标和|BP﹣DP|的最大值；若不存在，请说明理由．
