文档内容
专题 28 一次函数与将军饮马最值综合应用
题型归纳
题型1：线段问题
（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标
之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长
度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；
（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。
题型2：线段最小值问题
一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上）
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
A
A
A
m
P
m
m
B
B
B
（2）点A、B在直线同侧： A
A B
m
B P
m
A'
A、A’ 是关于直线m的对称点。
题型3：两条线段差最大值问题
求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
P P'
m
解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—
PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点A、B在直线m异侧：
A
A B'
m
P' P
m
B
B
解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为
AB’
典例分析
【考点1：线段问题】
【典例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：y＝﹣x+4与坐标轴分
1
别相交于点A、B与l ：y＝ x相交于点C．
2
（1）求点C的坐标；
（2）若平行于y轴的直线x＝a交于直线l 于点E，交直线l 于点D，交x轴
1 2
于点M，且ED＝2DM，求a的值；
【答案】（1）（3，1）； （2）a＝2或6
【解答】解：（1）联立两直线解析式得： ，
解得： ，
则点C坐标为（3，1）；
（2）由题意：M（a，0）D（a， a） E（a，﹣a+4）∵DE＝2DM
∴| a﹣（﹣a+4）|＝2| a|
解得a＝2或6．
【变式1】如图，直线y＝ x﹣3交x轴于A，交y轴于B，
（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；
（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；
【答案】（1） 5 点A为（4，0），点B为（0，﹣3） （2）C坐标为（0，
）
【解答】解：（1）对于直线y＝ x﹣3，
令x＝0，得到y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）．
令y＝0，得到x＝4，
∴点A为（4，0），点B为（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝5．
（2）设OC＝x，则BC＝BO+OC＝x+3，即AC＝BC＝x+3，
在Rt△AOC中，∵AC2＝OC2+AO2，
∴x2+42＝（x+3）2，
∴x＝ ，∴点C坐标为（0， ）．
【考点2：将军饮马-线段最值问题】
【典例2】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于
点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、
Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在
最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） C的坐标为（4，4）；12 （2）P（2 ，0）．
【解答】解：（1）如图1，
①联立方程组得 ，
解得 ，
∴点C的坐标为（4，4）；②在y＝﹣2x+12中，当x＝0时y＝12，
当y＝0时，﹣2x+12＝0，解得x＝6，
∴点B（0，12），A（6，0），
则△OAC的面积为 ×6×4＝12；
（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连接MQ，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AOQ＝∠COQ，
又OQ＝OQ．
∴△POQ≌△MOQ（SAS），
∴PQ＝MQ，
∴AQ+PQ＝AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小，
即AQ+PQ存在最小值；
∵AB⊥ON，
∴∠AEO＝∠CEO，
..△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC＝OA＝4，
在Rt△OAM中，∵∠AOM＝45°，
∴OM＝AM＝ OA＝2 ．
此时OP＝OM＝2 ，故P（2 ，0）．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系内，直线l ：y＝x+4分别交x轴、y轴于
1
点A，B，直线l ：y＝﹣3x与直线l 交于点C，P为y轴上一动点．
2 1（1）点A坐标 ，点B坐标 ；
（2）求点C的坐标；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求出这个最小值．
【答案】（1） （﹣4，0），（0，4）； （2） （﹣1，3） （3）点P的
坐标为（0， ）
【解答】解：（1）在y＝x+4中，当y＝0时，x＝﹣4，当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
故答案为：（﹣4，0），（0，4）；
（2）联立直线l ，l 的表达式，得 ，解得 ．
1 2
所以点C的坐标为（﹣1，3）；
（3）作点A（﹣4，0）关于y轴的对称点A′（4，0），连接CA′交y轴于
点P，此时PC+PA最小，如图：
设直线A′C的表达式为y＝kx+b（k≠0）把A′（4，0），C（﹣1，3）代
入得，，解得 ，
所以直线A′C的表达式为y＝﹣ x+ ．
当x＝0时， 所以点P的坐标为（0， ），
此时PA+PC＝A′C．
过点C作CH⊥x轴于点H．
∵点C的坐标为（﹣1，3），A′（4，0），
∴CH＝3，HA′＝5，
所以A′C＝ ＝ ＝ ．
所以当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0， ），这个最小值为 ．
【变式2-2】如图，点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，点B（3，n）
在正比例函数 的图象上．
（1）求m，n的值；
（2）在x轴找一点P，使得PA+PB的值最小，请求出PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，
∴4＝1×m，
∴m＝4；
∵点B（3，n）在正比例函数 的图象上，∴n＝ ×3＝2．
∴m的值为4，n的值为2．
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB
的值最小，最小值为线段AB′的长，如图所示．
∵点B的坐标为（3，2），
∴点B′的坐标为（3，﹣2），
∴线段AB′的长＝ ＝2 ，
∴PA+PB的最小值为2 ．
【考点3：两条线段差最大值问题】
【典例3】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+6分别与x、y轴相交于A、B
两点，将线段 AB绕点A顺时针旋转 90°得到线段AC．连接BC交x轴于点
D．
（1）求点C的坐标；
（2）P为x轴上的动点，连接 PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，求此时点
P的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
∴OA＝2，BO＝6，
过点C作CH⊥x轴于H，
∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴∠AHC＝∠BOA＝90°，
由旋转得AB＝AC，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴CH＝OA＝2，AH＝BO＝6，
∴OH＝AH﹣OA＝4，
∴点C的坐标为（4，﹣2）；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接BC'延长交x轴于点P，则点P就是
所求的最大值点，
∴C'（4，2），
设直线BC'的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+6，
∴P（6，0）；
【变式3-1】如图1所示，直线l ：y＝﹣ x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
1
直线l ：y＝3x﹣4与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．
2（1）求点E的坐标；
（2）如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求|PE﹣PD|的最大值；
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
∴点E的坐标（2，2）；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，
则PD＝PD′，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PD′|＝D′E最大，
∵直线l ：y＝3x﹣4与y轴分别交于D点，
2
∴D（0，﹣4），
∴D′（0，4），
过点E作EG⊥y轴于点G，则EG＝2，D′G＝2，
∴D′E＝ ＝ ＝2 ，∴|PE﹣PD|的最大值为2 ；
【变式3-2】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直
线y＝x+1交于点P（3，b），B为直线y＝x+1上一点．
（1）求a，b的值；
（2）当线段AB最短时求点B的坐标；
（3）在x轴上找一点C，使AC﹣PC的值最大，请写出点C的坐标并求最大
值．
【解答】解：（1）把点P（3，b）代入直线y＝x+1，
解得：b＝4，
把P（3，4）代入y＝﹣2x+a，
解得：a＝10，
∴a＝10，b＝4；
（2）当AB⊥直线y＝x+1时，线段AB最短，
把直线y＝x+1与y轴的交点（0，1）标记为E，由（1）可得A（0，10），且∠AEB＝45°，△AEB是等腰直角三角形，
∴AE＝9，AB＝BE＝ ，
∴B的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴B（ ， ）；
（3）在x轴上取点C，由三角形的三边关系得，AP＞AC﹣PC，
当A、P、C三点共线时，AC﹣PC＝AP，即AC﹣PC最大，即为AP，
所以点C在y＝﹣2x+10上，
把y＝0代入y＝﹣2x+10中，
得0＝﹣2x+10，
得x＝5，
∴C（5，0），
∵P（3，4），
∴AP＝ ．
【变式3-3】如图①，平面直角坐标系中，直线 y＝kx+b与x轴交于点A（﹣
10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣ x交于点C（a，7）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点 E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣ x
于点F，交直线y＝kx+b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．
①求△CGF的面积；②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大
若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；
【解答】解：（1）将点C（a，7）代入y＝ x，可得a＝﹣3，
∴点C的坐标（﹣3，7），
将点C（﹣3，7）和点A（﹣10，0）代入y＝kx+b，可得，
，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝x+10；
（2）①∵点E的坐标是（﹣15，0），
∴当x＝﹣15时，y＝﹣ ＝35，y＝﹣15+10＝﹣5，
∴点F的坐标为（﹣15，35），点G的坐标为（﹣15，﹣5），
∴S ＝ ＝ ；
△CGF
②存在，
证明：由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的
值最大，
令x＝0，则y＝10，
∴点B的坐标（0，10），
∵点M为y轴上OB的中点，
∴点M的坐标为（0，5），
设直线MC的解析式为y＝ax+5，
将C（﹣3，7）代入得：7＝﹣3a+5，解得：a＝﹣ ，∴直线MC的解析式为y＝ x+5，
当x＝﹣15时，y＝ ，
∴点P的坐标为（﹣15，15），
∴PM﹣PC＝CM＝ ＝ ；
夯实基础
1．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两
点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，
（1）求点C关于y轴对称点M坐标，点C关于直线AB对称点N坐标．
（2）求△CDE的周长的最小值．
【答案】（1）M（﹣1，0），N（7，6）；
（2）10．
【解答】解：（1）点C关于y轴对称点M坐标为（﹣1，0）．
∵直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴∠CBA＝45°．
令y＝0，则0＝﹣x+7，
解得：x＝7，
∴B（7，0），
∴OB＝7．
∵C（1，0），
∴OC＝1，
∴BC＝OB﹣OC＝6．如图，连接CN，BN，
∵点C与点N关于直线AB对称，
∴BC＝BN＝6，∠CBA＝∠NBA＝45°，
∴∠CBN＝90°，
∴x ＝x ＝7，y ＝6，即N（7，6）；
N B N
（2）如图，连接ME，DN，MN．
由轴对称的性质可知ME＝CE，DC＝DN，
∴C ＝CD+CE+DE＝DN+EM+DE．
△CDE
∵DN+EM+DE≥MN，且当M，E，D，N四点共线时取等号，
∴C 的最小值即为MN的长．
△CDE
∵（﹣1，0），
∴OM＝1，
∴BM＝OM+OB＝8，
∴ ．
∴C 的最小值为10．
△CDE
2．如图，点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，点B（3，n）在正比例
函数 的图象上．
（1）求m，n的值；
（2）在x轴找一点P，使得PA+PB的值最小，请求出PA+PB的最小值．【答案】（1）m＝4，n＝2；
（2）2 ．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，
∴4＝1×m，
∴m＝4；
∵点B（3，n）在正比例函数 的图象上，
∴n＝ ×3＝2．
∴m的值为4，n的值为2．
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB
的值最小，最小值为线段AB′的长，如图所示．
∵点B的坐标为（3，2），
∴点B′的坐标为（3，﹣2），
∴线段AB′的长＝ ＝2 ，
∴PA+PB的最小值为2 ．3．如图，平面直角坐标系中有两点A（1，3）、B（3，﹣1），完成下列问题：
（1）求出经过A、B两点的一次函数表达式；
（2）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE+BE取最小值时，点E的坐标
为 ；
（3）若点C（1，﹣2），在线段AC上找一点F，使点F到AB、BC的距离
相等（请在图中标注出点F的位置）．
【答案】（1）y＝﹣2x+5；
（2）（0，2）；
（3）见解答．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
根据题意得 ，
解得 ，
∴经过A、B两点的一次函数表达式为y＝﹣2x+5；（2）如图，E点坐标为（0，2）；
故答案为：（0，2）；
（3）如图，F点为所作．
4．如图，一次函数y＝kx+b的图象过P（1，4）、Q（4，1）两点，与x轴交
于A点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积；
（3）已知：点M在x轴上，且使MP+MQ的值最小，请直接写出点 M的坐
标 ，及MP+MQ的最小值是 ．
【答案】（1）y＝﹣x+5；
（2）7.5；
（3）（ ，0）； ．
【解答】解：（1）根据题意得 ，
解得 ，
∴此一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则A（5，0），
∴S ＝S ﹣S ＝ ×5×4﹣ ×5×1＝7.5；
△POQ △POA △QOA
（3）作Q点关于x轴的对称点B，连接PB交x轴于M点，连接MQ，如图，
∴B（4，﹣1），
∵MP+MQ＝MP+MB＝PB，
∴此时MP+PQ的值最小，最小值为 ＝ ，
设直线PB的解析式为y＝px+q，
把P（1，4），B（4，﹣1）分别代入得 ，
解得 ，
∴直线PB的解析式为y＝﹣ x+ ，
当y＝0时，﹣ x+ ＝0，解得x＝ ，
∴M点的坐标为（ ，0）．
故答案为：（ ，0）； ；
5．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（0，k）和直线y＝kx，我们称点P
（0，k）是直线y＝kx的反关联点，直线y＝kx是点P（0，k）的反关联直线．
特别地，当k＝0时，直线y＝0的反关联点为P（0，0）．已知点A（﹣2，
2），B（0，﹣4），C（0，0）．
（1）点B的反关联直线的解析式为 ，直线AC的反关联点的坐标为 ；
（2）设直线AC的反关联点为点D．
①若点P在直线AC上，则PB+PD的最小值为 ；
②若点E在点B的反关联直线上，且S ＝4，求点E的坐标．
△BDE
【答案】（1）y＝﹣4x，（0，﹣1）．
（2）① ．
②E（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）．
【解答】解：（1）∵B（0，﹣4），
∴点B的反关联直线的解析式为：y＝﹣4x，
∵A（﹣2，2），C（0，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x，
∴直线AC的反关联点的坐标为（0，﹣1），
故答案为：y＝﹣4x，（0，﹣1）．
（2）由（1）可知，D（0，﹣1）．
①如图，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B′，连接 DB′交 AC 于 P，连接
PB，此时PD+PB的值最小，
∵D（0，﹣1），B′（4，0），
∴PD+PB的最小值＝DB′＝ ＝ ．
故答案为： ．②设E（m，﹣4m）．
由题意： ×3×|m|＝4，
解得m＝± ，
∴E（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）．
6．如图，直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为一边，
在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求线段AB的长；
（2）求点D的坐标；
（3）点E在x轴上，将点E沿x轴向右平移3个单位得到点 F，连接DE，
BF，请直接写出四边形BDEF周长的最小值．
【答案】（1）AB＝5；
（2）D（﹣7，3）；（3） +5 +3．
【解答】解：（1）∵直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5；
（2）作DM⊥x轴于M，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAM+∠OAB＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AMD和△BOA中，
，
∴△AMD≌△BOA（AAS），
∴AM＝OB＝4，DM＝OA＝3，
∴OM＝4+3＝7，
∴D（﹣7，3）；
（3）作B关于x轴的对称点B′，将点B′向左平移3个单位得到点M，连
接DM，交x轴于E，将点E沿x轴向右平移3个单位得到点F，连接B′F，
则ME＝B′F＝BF，∴DE+BF的最小值为DM，
∵B（0，4），
∴B′（0，﹣4），
∴M（﹣3，﹣4），
∵D（﹣7，3），
∴MD＝ ＝ ，BD＝ ＝ ＝5 ，
∴四边形BDEF周长的最小值为DM+BD+EF＝ +5 +3．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A（﹣ ，0）的两条直线分别交 y
轴于B（0，3），C（0，﹣1）两点．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若点D在直线AC上，且DB＝DC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在 x轴上是否存在点 P，使得|BP﹣DP|有最大值？
若存在，请求出P点的坐标和|BP﹣DP|的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线AC的函数表达式为：y＝kx+b，
且过点A（﹣ ，0），点C（0，﹣1）
∴
解得：k＝﹣ ，b＝﹣1
∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣ x﹣1
（2）∵DB＝CD
∴点的D在BC的垂直平分线上，
∵B（0，3），C（0，﹣1）
∴点D的纵坐标为1，
∴1＝﹣ x﹣1
∴x＝﹣2
∴点D坐标（﹣2 ，1）
（3）如图，
在△DPB中，|BP﹣DP|≤BD，
∴当点P在直线BD上时，|BP﹣DP|的最大值为BD，
即点P是直线BD与x轴的交点，
设直线BD的解析式为：y＝mx+n，且过点D（﹣2 ，1），点B（0，3）∴
解得：m＝ ，n＝3
∴直线BD的解析式为y＝ x+3
当y＝0时，x＝﹣3 ，
∴点P坐标为（﹣3 ，0）
∵点D（﹣2 ，1），点B（0，3）
∴BD＝ ＝4
