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专题28 一次函数与等腰直角三角形结合
1．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 是直线 上一点，且
，则点 的坐标为______．
2．如图，已知点 在直线 ： 上， 和 ： 的图像交于点 ，且点 的横
坐标为 ．
(1)直接写出 、 的值；
(2)若点 是直线 上一点，且 ，求出点 的坐标．3．如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 过点 和 ， 与 互相垂直，且
相交于点 ，D为x轴上一动点．
(1)求直线 与直线 的函数表达式；
(2)如图2，当D在x轴负半轴上运动时，若 的面积为8，求D点的坐标；
(3)如图3，直线 上有一动点P．若 ，请直接写出P点坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过 ， ，D三点，
点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且 ，连接 ，已知 ．
(1)求直线 的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)在线段 上分别取点M，N，使得 轴，在x轴上取一点P，连接
是否存在点M，使得 为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．
5．【探索发现】如图1，等腰直角三角形 中， ， ，直线 经过点 ，过 作 于点 ．过 作 于点 ，则 ，我们称这种全等模型为“
型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点．
(1)如图2，当 时，在第一象限构造等腰直角 ， ；
①直接写出 ______， ______；
②点 的坐标______；
(2)如图3，当 的取值变化，点 随之在 轴负半轴上运动时，在 轴左侧过点 作 ，并
且 ，连接 ，问 的面积是否发生变化?（填“变”或“不变”），若不变，其值
为______；若变，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图4，当 时，直线 与 轴交于点 ，点 、 分别是直线
和直线 上的动点，点 在 轴上的坐标为 ，当 是以 为斜边的等腰直角三角
形时，点 的坐标是______．二、解答题(共0分)
6．如图，平面直角坐标系中，直线 交y轴于点 ，交x轴于点B．直线
交AB于点D，交x轴于点E，P是直线 上一动点，且在点D的上方，设 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)当 时，在第一象限内找一点C，使 为等腰直角三角形，求点C的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系 中，直线 交x轴于点 ，与y轴交于点 ，且a，p
满足 ．(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，直线 与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线 上，若 的面积等于
6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点 ，若点B为射线 上一动点，连接 ，在坐标轴上是否存在点Q，使
是以 为底边，点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若
不存在，请说明理由．
8．如图，直线 过点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求 的最小值及此时点M的坐标；
(3)如图3，在（2）问的条件下，过点B作 垂直于y轴，点P为直线AB上一动点，点Q为直线
上一动点，若 是以 为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 为 与x，y轴分别交于A，B两点，点C在y轴的负半轴上，若将 沿直线 折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)点A坐标是 ，点B的坐标是 ． 的长是 ．
(2)求点C的坐标．
(3)若点M是y轴上一动点，若 ，直接写出点M坐标．
(4)在第一象限内是否存在一点P，使 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不
存在，说明理由．
10．如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，P是x轴上的动点．
(1)求k的值．
(2)连结PB，当 时，求OP的长．
(3)过点P作AB的平行线，交y轴于点M，点Q在直线 上．是否存在点Q，使得 是等
腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，直线l：y＝2x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l 与x轴交于点D，与y轴交
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于点C，BC＝6，OD＝3OC．(1)求直线CD的解析式；
(2)点Q为直线AB上一动点，若有S QCD＝2S OCD，请求出Q点坐标；
(3)点M为直线AB上一动点，点N为△直线x轴上△一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN
为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M求
解过程，若不存在，请说明理由．
12．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过
A作 于D，过B作 于E．
(1)求证： ；
(2)模型应用：
①已知直线 ：y＝﹣ x﹣4与y轴交于A点，将直线 绕着A点逆时针旋转45°至 ，如图2，求
的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段
BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝ 上的一点，若△APD是不以
点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y x 与x轴交于点A，且经过点B（2，a），在y轴
上有一动点P，直线BC上有一动点M，已知C（3，0）．（1）a＝_____；
（2）若 APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，则点M的坐标是 _____．
△
14．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点
E（2，0）的直线 平行于y轴，交直线 于点D，点P是直线 上一动点（异于点D），连接 、
．
(1)直线 的表达式为 ，点D的坐标为 ；
(2)设P（2，m），当点P在点D的下方时，求 的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
(3)当 的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角 ，请直接写出点C的坐标．
