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专题29 圆与四边形综合
1．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四
边形ABCD中，若 ，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”对
角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角
线乘积的一半，根据以上信息回答：
(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称______．
(2)如图2，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，若⊙O的半径为6，
，求“奇妙四边形”ABCD的面积，
(3)如图3，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，作OM⊥BC于M，
请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点
D作⊙O的切线交BC于点E．
(1)求证：AF=CE；
(2)若BF=2， ，求⊙O的半径．
3．如图，四边形ABCD是 的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作 的切线AE，与
CD的延长线交于点E，已知DA平分 ．(1)求证： ；
(2)若 的半径为5， ，求AD的长．
4．四边形ABCD内接于 ，AC为其中一条对角线．
(1)如图①，若 ， ，求 的度数；
(2)如图②，若AD经过圆心O，CE为 的切线，B为 的中点， ，求 的大
小．
5．数学课上老师提出问题：“在矩形 中， ， ， 是 的中点， 是 边
上一点，以 为圆心， 为半径作 ，当 等于多少时， 与矩形 的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然 不可能与边 及 所在直线相切，只需讨论 与
边 及 相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：(1)如图1，当 与 相切于点 时，求 的长；
(2)如图2，当 与 相切时，
①求 的长；
②若点 从点 出发沿射线 移动，连接 ， 是 的中点，则在点 的移动过程中，直接
写出点 在 内的路径长为______．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC=AB，⊙O为 ABC的外接圆．
（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线； △
（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
①求证：AG=BG；②若AD=4，CD=5，求GF的长．
7．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线
交⊙O于点D，交AB于点E，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：△PEC是等腰三角形；
（3）若AC＋BC＝2时，求CD的长．
8．如图， ， 是 的弦， 平分 ．过点 作 的切线交 的延长线于点 ，
连接 ， ．延长 交 于点 ， 交于点 ，连接 ， ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
9．如图，已知 内接于 ，AB是 的直径， 于点D，延长DO交 于点F，连
接 ．
（1）求证： ；
（2）填空：
①当 _________时，四边形 是菱形；
②当 _________时， ．
10．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．
（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；
（2）若OB＝4，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．
11．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重
合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．
（1）求证：AG为⊙O的切线；
（2）已知AG＝2，填空：
①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝ °；
②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝ ．12．如图，在 中， ， 是 的外接圆，过点 作 的切线，交 的延长
线于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）填空：
①若 ， ________；
②连接 ，当 的度数为________时，四边形 是菱形．
13．如图，在 中，以 为直径的 经过点 过点 作 的切线 点 是 上不与
点 重合的一个动点，连接 ．
求证: ；
填空:
当 _ 时， 为等腰直角三角形:当 时，四边形 为菱形．
14．如图，已知 是 的直径， 切 于点 ，过 作直线 交 于另一点 ，
连接 、 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 是直径 上方半圆弧上一动点， 的半径为2，则
①当弦 的长是 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形；
②当 的长度是 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形．
15．如图，AB是⊙O的一条弦，C、D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD．
（1）若AC=BC，AB平分∠CBD，求证：AB=CD；
（2）若∠ADB=60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．
