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专题29 圆与四边形综合
1．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四
边形ABCD中，若 ，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形，根据“奇妙四边形”对
角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角
线乘积的一半，根据以上信息回答：
(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称______．
(2)如图2，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，若⊙O的半径为6，
，求“奇妙四边形”ABCD的面积，
(3)如图3，已知四边形ABCD是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在⊙O上，作OM⊥BC于M，
请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)正方形
(2)54
(3) ，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质即可证明判断．
（2）如图2中，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH＝DH．解直角三角形求出BD，再根据
奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可．
（3）结论： ．如图3中，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E．证明
BOM≌△OAE（AAS）即可解决问题．
△（1）
∵正方形的两条对角线互相垂直且相等，
∴正方形是“奇妙四边形”，
故答案为：正方形（2）
如图2中，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH＝DH．
∵∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝30°，
在Rt OBH中，
∵∠O△BH＝30°，
∴OH OB＝3，
∴BH OH＝3 ，
∵BD＝2BH＝6 ，
∴AC＝BD＝6
∴“奇妙四边形”ABCD的面积 •AC•BD＝54．
（3）
结论： ．
理由如下：如图3中，连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E．∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，
∴ OBC是等腰三角形，
∴△∠BOC＝2∠BOM，
∴∠BOM＝∠BAC，
同理可得∠AOE＝∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠BOM+∠AOE＝90°，
∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠OBM＝∠AOE，
在 BOM和 OAE中
△ △
∴△BOM≌△OAE（AAS），
∴OM＝AE，
∴AD＝2OM．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、30°角直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、“奇妙
四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
(1)求证：AF=CE；
(2)若BF=2， ，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，
可得∠CED=∠ADE=90°．可证得 DAF≌△DCE．即可求证；
△
（2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得 ．在Rt ADF和Rt BDF中，
△ △
根据勾股定理，即可求解．
（1）
证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ADE=90°．
∵AD∥BC，
∴∠CED=∠ADE=90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA=90°．
∴∠AFD=∠CED=90°．在 DAF和 DCE中， ，
△ △
∴△DAF≌△DCE（AAS）．
∴AF=CE．
（2）
解：如图，连接AH，DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD=∠DFA=90°．
∵AD=AB， ，
∴ ．
在Rt ADF和Rt BDF中，
由勾股△定理，得△DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，
∴AD2－AF2=BD2－BF2．
∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．
∴ ．
∴AD=5．
∴⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性
质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．
3．如图，四边形ABCD是 的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作 的切线AE，与
CD的延长线交于点E，已知DA平分 ．(1)求证： ；
(2)若 的半径为5， ，求AD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，先证明 ，结合 ，即可证 ；
（2）作 ，则四边形 是矩形，且 ，由此可求得 的长，在
中，勾股定理求出 ，即 的长，在 中，利用勾股定理求 ．
(1)
证明：如图，连接OA，
∵AE是 切线，
∴ ．
∵DA平分 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
(2)解：过点 作 于 ．
，
四边形 是矩形，
， ．
，
，
∴ ，
在Rt OFD中， ，
△
∴ ，
在Rt AED中， ，
△
∴AD的长是 ．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键
是灵活运用相关性质定理．
4．四边形ABCD内接于 ，AC为其中一条对角线．
(1)如图①，若 ， ，求 的度数；
(2)如图②，若AD经过圆心O，CE为 的切线，B为 的中点， ，求 的大
小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系即可解答；
（2）连接OC，由切线的性质可得 ，即可求出 ．再根据等边对等角即可求出 ，从而由圆内接四边形对角互补可求出 ．根据B为 的中点，可得
出 ，从而可求出 ．最后由 求解即可．
(1)
解：∵四边形ABCD内接于 ， ，∠BAD=70°
∴ ，
∴ ；
(2)
如图，连接OC．
∵CE为 的切线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵AD经过圆心O，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵B为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．∴ ．
【点睛】本题为圆的综合题．考查圆心角、弧、弦之间的关系，切线的性质，圆内接四边形的性
质，圆周角定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆的相关知识点，会连接常用的辅助线是解题
关键．
5．数学课上老师提出问题：“在矩形 中， ， ， 是 的中点， 是 边
上一点，以 为圆心， 为半径作 ，当 等于多少时， 与矩形 的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然 不可能与边 及 所在直线相切，只需讨论 与
边 及 相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：
(1)如图1，当 与 相切于点 时，求 的长；
(2)如图2，当 与 相切时，
①求 的长；
②若点 从点 出发沿射线 移动，连接 ， 是 的中点，则在点 的移动过程中，直接
写出点 在 内的路径长为______．
【答案】(1)BP=2
(2)①4.8；②9.6
【分析】（1）连接PT，由⊙P与AD相切于点T，可得四边形ABPT是矩形，即得
PT=AB=4=PE，在Rt BPE中，用勾股定理即得BP=2 ；
△
（2）①由⊙P与CD相切，有PC=PE，设BP=x，则PC=PE=10-x，在Rt BPE中，由勾股定理得
x2+22=（10-x）2，即可解得BP=4.8；②点M在⊙P内的路径为EM，过P△作PN⊥EM于N，由EM
是 ABQ的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN=BP=4.8，故EM=2EN=9.6．
△(1)
连接PT，如图：
∵⊙P与AD相切于点T，
∴∠ATP=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABPT是矩形，
∴PT=AB=4=PE，
∵E是AB的中点，
∴BE= AB=2，
在Rt BPE中， ；
△
(2)
①∵⊙P与CD相切，
∴PC=PE，
设BP=x，则PC=PE=10-x，
在Rt BPE中，BP2+BE2=PE2，
∴x2+△22=（10-x）2，
解得x=4.8，
∴BP=4.8；
②点Q从点B出发沿射线BC移动，M是AQ的中点，点M在⊙P内的路径为EM，过P作
PN⊥EM于N，如图：由题可知，EM是 ABQ的中位线，
∴EM∥BQ， △
∴∠BEM=90°=∠B，
∵PN⊥EM，
∴∠PNE=90°，EM=2EN，
∴四边形BPNE是矩形，
∴EN=BP=4.8，
∴EM=2EN=9.6．
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查矩形与圆的综合应用，涉及直线和圆相切、勾股定理、动点轨迹等，解题的关
键是理解M的轨迹是△ABQ的中位线．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC=AB，⊙O为 ABC的外接圆．
（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线； △
（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
①求证：AG=BG；②若AD=4，CD=5，求GF的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）连接OA，OB，OC，由AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB可证出△OAC≌△OAB
（SSS），利用全等三角形的性质可得出∠OAC＝∠OAB，即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得
出AO⊥BC，结合AD∥BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是⊙O的切线；
（2）①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE＝90°可得出∠BAE＝90°，由同角的余角相等可得出∠BAG＝∠AEB，结合∠ABC＝∠ACB＝∠AEB可得出∠BAG＝∠ABC，再利用等角对等
腰可证出AG＝BG；
②由∠ADC＝∠AFB＝90°，∠ACD＝∠ABF，AC＝AB可证出△ADC≌△AFB（AAS），利用全等
三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG＝x，在Rt BFG中，利用勾股定理可求出x的值，此题
得解． △
【详解】证明：（1）连接OA、OB、OC，如图1，
∵AC=AB，OA=OA，OC=OB，
∴△OAC≌△OAB，
∴∠OAC＝∠OAB，
∴AO⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AD⊥AO，
∴AD是⊙O的切线；
（2）①连接AE，如图2，
∵AD∥BC，AD⊥CD，
∴BC⊥CD，
∴∠BCE＝90°，
∴BE是直径，
∴∠BAE＝90°，∴∠BAG+∠EAF＝90°，
又∵AF⊥BE，
∴∠AEB+∠EAF＝90°，
∴∠BAG=∠AEB，
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，
∴∠BAG=∠ABC，
∴AG=BG；
②∵AC=AB，∠ACD＝∠ABF，∠ADC=∠AFB＝90°，
∴△ADC≌△AFB，
∴AF=AD=4，BF=CD=5，
设FG=x，则AG=GB=x+4，
在Rt BFG中，由勾股定理可得：
△
，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角
定义，平行线的性质，圆内接四边形，等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1）利
用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO⊥BC；（2）①利用等角的余角相等及圆周角定理，找
出∠BAG＝∠ABC；②在Rt BFG中，利用勾股定理求出FG的长．
7．如图，AB是⊙O的直径，△AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线
交⊙O于点D，交AB于点E，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：△PEC是等腰三角形；
（3）若AC＋BC＝2时，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据等腰三角形等边对等角以及已知
条件证明∠BCP +∠OCB=90°即可；
（2）根据题意以及角平分线定义求得∠PEC=∠PCE即可得出结论；
（3）连接BD，作 , ,垂足为M，N，先证明 ，然后证明四边
形 为正方形，结合已知可得出结论．
【详解】解：连接OC,
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠BCP＝∠BAC，
∴∠BCP=∠ACO
∴∠BCP +∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵∠BCP＝∠BAC，
∵ ∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠PCE＝∠PCB+ ∠BCD，
∠PEC＝∠BAC+∠ACD，
∴∠PEC=∠PCE，
∴△PEC是等腰三角形；
（3）连接BD，作 , ,垂足为M，N，∵CD平分 ， ， ，
∴ , ,
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∵ ,
∴四边形 为矩形，
∵ ,
∴矩形 为正方形，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，角平分线的性质，等腰三角形等边对等角，正方
形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练运用以上知识点性质及定理是解题的关键．
8．如图， ， 是 的弦， 平分 ．过点 作 的切线交 的延长线于点 ，
连接 ， ．延长 交 于点 ， 交于点 ，连接 ， ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠CDO=∠CBO=90°，由△COB≌△COD即可
解决问题．
（2）先证明∠BAO=∠OAD=∠DAE=∠ABO=30，在Rt AEF中利用30度性质以及勾股定理即可
解决问题． △
【详解】解：（1）如图，连接 ．
为 的切线，
．
平分 ，
．
，
，
，
在△BOC和△DOC中
，
，
为 的切线．（2） ，
，
，
，
．
为 的直径．
，
，
．
在 中， ， ，
，
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角30°，属于中考常考题型．
9．如图，已知 内接于 ，AB是 的直径， 于点D，延长DO交 于点F，连
接 ．
（1）求证： ；
（2）填空：
①当 _________时，四边形 是菱形；
②当 _________时， ．【答案】（1）见解析；（2）① ；②
【分析】（1）由垂径定理易证 ，进而可证明OD是 的中位线，问题得证；
（2）①要四边形 是菱形，需 ，即 为等腰三角形， ，那
么 ；②由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：
于点D，
，
，
是 的中位线，
；
（2）解：当 时，四边形 是菱形．
理由如下：
，AB是直径，
，
，而 ，
是等边三角形，
，
又 分别是 的中点，
，
而 ．
是等边三角形，
，
，
∴四边形 是菱形；
②当 时， ，
，
于点D，是等腰直角三角形，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定､等边三角形的判定与性质､菱形的判定､圆周角定理､三角
形中位线定理；熟练掌握全等三角形的判定和菱形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题
的关键．
10．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．
（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；
（2）若OB＝4，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．
【答案】（1）见解析；（2）CF＝4+2 ．
【分析】（1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出 ，由圆周角定理得出∠ADE＝∠DBC，
证明△ADE≌△DBC，即可得出结论；
（2）连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，则∠OHG＝∠OHB＝90°，由切线的性质得出
∠FCG＝90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF＝CG，OG＝ OH，由等边三
角形的性质得出∠OBH＝30°，由直角三角形的性质得出OH＝ OB＝1，OG＝ ，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AE＝DC，
∴
∴∠ADE＝∠DBC．
在△ADE和△DBC中，
．
∴△ADE≌△DBC （AAS）．
∴DE＝BC；
（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OH⊥AB于H，如图所示：则∠OHG＝∠OHB＝90°，
∵CF与⊙O相切于点C，
∴∠FCG＝90°．
∵∠F＝45°，
∴△CFG、△OGH是等腰直角三角形，
∴CF＝CG，OG＝ OH．
∵AB＝BD＝DA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°．
∴∠AOB＝2∠ADB＝120°
∴∠BOH＝ ∠BOA＝60°，
∴∠OBH＝30°
∴OH＝ OB＝2．
∴OG＝2 ．
∴CF＝CG＝OC+OG＝4+2 ．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确计算是解题的关键．
11．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重
合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG．
（1）求证：AG为⊙O的切线；
（2）已知AG＝2，填空：
①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝ °；
②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝ ．
【答案】（1）证明见解析；（2）①60，②4 ．
【分析】（1）连接OA，证明∠OAG=90°，即可证得AG为⊙O的切线；
（2）①连接OA，AF，OF，当四边形ABOF为菱形，则△AOB为等边三角形，从而求出
∠ACB，∠DEC的度数，根据对顶角相等即可得到∠AEG的度数；
②若△AGE为等腰直角三角形，则可以得出△DEC, ABC均为等腰三角形，通过证明四边形
AODG是矩形，得到DC=AG，从而得到BC的长度，△根据等腰直角三角形的性质，即可求出AB
的长．
【详解】（1）证明：连接OA．∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵GA＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DG⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
∴∠OCA+∠DEC＝90°，
∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE，
∴∠OAC+∠GAE＝90°，
∴∠OAG＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线．
（2）①如图2中，连接OA，AF，OF．
∵四边形ABOF是菱形，
∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°
∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵ED⊥BC，
∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴∠AEG＝∠DEC＝60°．
故答案为60．
②如图3中，连接OA．∵△AGE是等腰直角三角形，
∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，
∵OB＝OC，
∴AO⊥OC，
∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，
∴四边形AODG是矩形，
∴AG＝OD＝2，
∴OC＝2OD＝4，
∴BC＝2OC＝8，
∴AB＝AC＝4 ，
故答案为4 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，
圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
12．如图，在 中， ， 是 的外接圆，过点 作 的切线，交 的延长
线于点 ， 交 于点 ．
（1）求证： ；（2）填空：
①若 ， ________；
②连接 ，当 的度数为________时，四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）① ，② ．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性
质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；
（2）①作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答
案．
②证明△ABM和△ABC是等边三角形，得出AM=AC=BC=BM，即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：连接 ，如图1：
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①作AG⊥CM于G，如图2：∵∠OCA=30°，AC=6，
∴AG= AC=3，
∴CG= AG=3 ，
则MC=2CG=6 ；
故答案为：6 ．
②当∠AMB的度数为60°时，四边形AMBC是菱形；理由如下：
如图3：
由（1）得：AM=AC，∠MAC=180°-∠AMC-∠OCA=120°，
∵∠AMB=60°，
∴∠MAC+∠AMB=180°，
∴AC∥BM，
∴∠ABM=∠BAC，
∴△ABM是等边三角形，∠BAC=∠MAC-∠MAB=60°=∠ABC，
∴AM=BM，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∴AM=AC=BC=BM，
∴四边形AMBC是菱形；
故答案为：60°．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定
理、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握圆的切线性质和圆周角定理是解题的关键．
13．如图，在 中，以 为直径的 经过点 过点 作 的切线 点 是 上不与
点 重合的一个动点，连接 ．
求证: ；
填空:
当 _ 时， 为等腰直角三角形:
当 时，四边形 为菱形．
【答案】 见解析； ①45°②120°
【分析】（1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据平行线的性质得到
∠ACB＝90°．再根据切线的性质定理及圆周角定理即可得到结论；
（2）①根据圆的对称性由BD＝AD可得弧BD＝弧AD，再由圆周角定理得∠DCB＝∠DCA，进
而得解；
②由菱形可得OD＝AD，结合OD＝OA，证得△OAD为等边三角形，则∠OAD＝60°，最后根据
圆周角定理即可得解．
【详解】解： 如图，连接为 的直径，
，
是 的切线，
（2）①∵ 为等腰直角三角形，
∴AD＝DB，
∴弧AD＝弧DB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝45°，
②∵四边形 为菱形，
∴OD＝AD，
又∵OD＝OA，
∴OD＝OA＝AD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵∠OAD＝ ∠DOB，
∴∠DOB＝120°．
【点睛】本题考查了圆的对称性、圆周角定理、直径的性质和切线的性质定理，熟练掌握性质定
理是解题的关键．
14．如图，已知 是 的直径， 切 于点 ，过 作直线 交 于另一点 ，
连接 、 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 是直径 上方半圆弧上一动点， 的半径为2，则
①当弦 的长是 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形；②当 的长度是 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）① ；② 或 ．
【分析】（1）首先根据切线的性质得出 ，进而判定 ，利用平行的性质进行等角
转换，即可得出 平分 ；
（2）①根据题意由圆的性质和正方形的性质，求解即可；
②当 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形时，分两种情况求解：当 时和当
时，根据弧长公式求解即可.
【详解】（1）∵ 切 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）①当 ，四边形 为矩形，而 ，此时矩形 为正方形，
；②当 时，四边形 为菱形， 和 为等边三角形，则
， 的长度 ．
当 时，四边形 为菱形， 和 为等边三角形，则
， 的长度 ．
故答案为 ， 或 ．
【点睛】此题主要考查圆的切线性质以及动点几何问题的综合应用，熟练掌握，即可解题.
15．如图，AB是⊙O的一条弦，C、D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD．
（1）若AC=BC，AB平分∠CBD，求证：AB=CD；
（2）若∠ADB=60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）证 = ＝ 即可得 = ，继而求证结论；
（2）如图,连接OA、OB、OC，OC交AB于H，由∠ADB=60°和AC=BC 求得∠ADC=∠BDC=
=30°，OC⊥AB，AH=BH ，继而求出AB的长，由S ＝S + S 可知，当D点为优弧
四边形ABCD ABD ABC
△ △
AB的中点时，即CD为⊙O的直径时，四边形ACBD的面积最大，进而求解．
【详解】（1）∵AC=BC，
∴ =
∵AB平分∠CBD，
∴∠ABC=∠ABD，
∴ = ，
∴ = ，
∴AB=CD；
（2）连接OA、OB、OC，OC交AB于H，如图，
∵ = ，
∴∠ADC=∠BDC= ∠ADB=30°，OC⊥AB，AH=BH，
∴∠BOC=60°，
∴OH= OB= ，BH= OH= ，
∴AB=2BH= ．
∵四边形ACBD的面积=S ABC+S ABD，
△ △
∴当D点到AB的距离最大时，S ABD的面积最大，四边形ACBD的面积最大，此时D点为优弧
△
AB的中点，即CD为⊙O的直径时，四边形ACBD的面积最大，
∴四边形ACBD的面积最大值为 • ×2= ．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质和圆周角定理及其推论，解题的关键是灵活运用圆周角定
理（在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（同弧或等弧
所对的圆周角相等；半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．）．
