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专题3.19 实际问题与一元一次方程（一）（巩固篇）（专项练
习）
一、单选题
【类型一】和、差、倍、分问题
1．某校七年级1班有学生a人，其中女生人数比男生人数的 多3人，则女生的人数
为（ ）
A． B． C． D．
2．某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400千克，那么
余下化肥800千克；如果每公顷施肥500千克，那么缺少化肥300千克．若设现有化肥x千
克，则可列方程为（ ）
A． B．
C． +800＝ ﹣300 D． ﹣800＝ +300
【类型二】等积变形问题
3．如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为 、
，且甲乙容器等高，甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，
乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了 ，则甲的容积为（ ）
A． B． C． D．
4．现有一个如图1所示的密封玻璃器皿，测得其底面直径为20cm，高为20cm，装有
蓝色溶液若干.若如图2放置时，测得液面高为10cm；若如图3放置时，测得液面高为
16cm，则该密封玻璃器皿总容积（结果保留m）为（ ）A．1250 B．1300 C．1350 D．1400
【类型三】调配问题
5．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要
配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所
列方程中正确的是（ ）
A．1000（26﹣x）＝800x B．1000（26﹣x）＝2×800x
C．1000（13﹣x）＝800x D．2×1000（26﹣x）＝800x
6．某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，
一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少
名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【类型四】行程问题
7．如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为﹣6．动点P从点A出
发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单
位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动（ ）秒追上点Q．
A．5 B．6 C．7 D．8
8．小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时
后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千
米，恰好准时到达，则小明原来的速度是（ ）
A．12千米/小时 B．17千米/小时 C．18千米/小时 D．20千米/小时
9．整理一批数据，由一人做需要40 h，现在先安排一些人做2 h，然后再增加3人做4小时，刚好完成这项工作的 ．问先安排做2h的人数是多少？若设先安排x人做2h，则
可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【类型五】工程问题
10．学校需制作若干块标志牌，由一名工人做要50h完成．现计划由一部分工人先做
4h，然后增加5人与他们一起做6h完成这项工作．假设这些工人的工作效率一样，具体应
先安排多少人工作？小华的解法如下：设先安排x人做4h．所列方程为 ，
其中“ ”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“ ”表示的意思是“增
加5人后 人再做6小时完成的工作量”．小军所列的方程如下： ，
其中，“ ”表示的含义是（ ）
A．x人先做4h完成的工作量．
B．先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量．
C．增加5人后，新增加的5人完成的工作量．
D．增加5人后， 人再做6h完成的工作量．
二、填空题
【类型一】和、差、倍、分问题
11．明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一
条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条
绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿
长________尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）
12．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，
问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则剩余2辆车；若每2
人共乘一车，则有9人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，可列方程为______．
【类型二】等积变形问题
13．一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：4，圆锥的高
是4.8厘米，则圆柱的高是 ___厘米．
14．如图，一个酒瓶的容积为500毫升，瓶子内还剩有一些黄酒.当瓶子正放时，瓶内
黄酒的高度为12厘米，倒放时，空余部分的高度为8厘米，则瓶子的底面积为______厘米
2.（1毫升=1立方厘米）
【类型三】调配问题
15．某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙
种零件配成一套，30 天制 作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为
___________．
16．某工艺品车间有 名工人，平均每人每天可制作 个大花瓶或 个小饰品，已
知 个大花瓶与 个小饰品配成一套，则要安排__________名工人制作大花瓶，才能使每
天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．
【类型四】行程问题
17．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全
过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．
18．《九章算术》标志着中国古代数学体系的形成，全书收集了246条经典数学题．
在第六章《均输》中有这样一条题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善
行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”你能算出____________步及之．【类型五】工程问题
19．有9个人用14天完成了一件工作的 ，而剩下的工作要求在4天内完成，在他们
工作效率不变的前提下，则至少需要增加______人．
20．某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多
生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为_________________________．
三、解答题
21．七年级某班准备购买一些羽毛球和羽毛球拍，现从甲、乙两店了解到：同一款式
的羽毛球和羽毛球拍价格相同，一套（一盒羽毛球和一副羽毛球拍）总价60元，一副羽毛
球拍的单价是一盒羽毛球单价的4倍．甲店的优惠政策是：每买一副羽毛球拍赠送一盒羽
毛球，每多买的一盒羽毛球按原价付款；乙店的优惠政策是：一盒羽毛球和一副羽毛球拍
都按定价实行9折优惠．
(1)求一盒羽毛球和一副羽毛球拍的单价分别是多少？
(2)若购买5副羽毛球拍和m（m不少于5）盒羽毛球，当m为多少时，到甲、乙两店
购买付款一样多？
22．用一根长为 的铁丝围成一个长方形．
（1）使得该长方形的长比宽多 ，此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）使得该长方形的长比宽多 ，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的
长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？
它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？23．某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，
已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件刚
好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少乙天生产乙种零件恰好配套？
小明在解决这个问题时设应安排 天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方
程解决这个问题．
天数
工效（个/天） 数量（个）
（天）
甲种零
450 x ②
件
乙种零
300 ① ③
件
24．甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速
度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出
发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？
A：设
B：（画出线段图）
C：列方程
25．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批
量生产，计划每人每小时生产疫苗500剂，但受某些因素影响，某车间有10名工人不能按
时到厂．为了应对疫情，该车间其余工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天能完成预定任务．
(1)求该车间当前参加生产的工人有多少人；
(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分
配给该车间共780万剂的生产任务，问该车间还需要多少天才能完成任务．
参考答案
1．A
【分析】根据“女生数+男生数＝总人数”，列方程进行解答即可求得．
解：设男生人数为x人，则女生人数为 人，
根据题意得： ，
则 ，
所以 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，列出方程
是解决本题的关键．
2．A
【分析】根据“如果每公顷施肥400千克，那么余下化肥800千克；如果每公顷施肥
500千克，那么缺少化肥300千克”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：依题意得：
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元
一次方程是解题的关键．
3．C
解：设高都为h，根据水的容积相等可列方程80×h=100×(h−8).
解得h=40，
所以甲的容积为40×80=3200，
故选C.
4．D
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
解：设该玻璃密封器皿总容量为Vcm³，
π×10²×10= V-π×10²×（20-16），
解得，V=1400π，
故选D．
【点拨】本题考查一元一次方程的应用，准确列出方程是解题的关键.
5．B
【分析】设安排x名工人生产螺栓，则每天可以生产800x螺栓和1000（26-x）个螺母，
然后根据螺母的个数为螺栓个数的2倍列方程即可．
解：根据题意得1000（26-x）=2×800x．
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程：审题找出题中的未知量和所有
的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关
的量，找出之间的相等关系列方程．
6．C
【分析】设分配x名学生做机身，根据一个飞机模型要一个机身配两个机翼，则飞机
模型的个数乘以2等于机翼的个数，据此列出一元一次方程即可求解．
解：设分配x名学生做机身，则可列方程为,
故选C．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
7．C
【分析】根据追及模型列出方程即可求解．
解：设点P运动x秒追上点Q，
根据题意得：5x-3x=8-(-6)，
解得x=7，
∴点P运动7秒追上点Q，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了数轴以及数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理
解题意，列出一元一次方程是解决本题的关键．
8．C
【分析】设原来的速度是x千米/小时，则提高速度后为x+1千米/小时，根据出发半小时后，发现按原速行驶要迟到10分钟，将速度每小时增加1千米，恰好准时到达，分别表
示路程建立方程求解即可．
解：设小明原来的速度是x千米/小时，则提高速度后为x+1千米/小时，由题意得
（3.5+ ）x= x+（x+1）×（3.5 0.5），
解得：x=18．
答：小明原来的速度是18千米/小时．
故选：C
【点拨】此题考查一元一次方程的实际运用，利用行程问题中的速度、时间、路程之
间的等量关系是解决问题的关键．
9．A
【分析】利用前2h完成的工作量＋后4h完成的工作量＝总工作量的 ，即可得出关
于x的一元一次方程，此题得解．
解：∵先安排x人做2h，
∴然后由（x＋3）人做4h．
依题意得： ．
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元
一次方程是解题的关键．
10．B
【分析】根据x人先做4h完成的工作量+然后增加5人与他们一起做6h的工作量=1，
解答即可．
解：∵设安排x人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．
∴可得先工作的x人共做了(4+6)小时，
∴列式为：先工作的x人共做了(4+6)小时的工作量+后来5人6小时的工作量=1，而x
人1小时的工作量为 ，
∴x人(4+6)小时的工作量为 ，
∴ 表示先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量，故选B．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，是一个工作效率问题，理解一个人做要50
小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的 ，这一个关系是解题的关键．
11．15
【分析】设竿长 尺，则绳长 尺，根据“将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5
尺”列一元一次方程，求解即可．
解：设竿长 尺，则绳长 尺，
由题意得： ，
解得 ，
所以，竿长为15尺，
故答案为：15.
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的
关键.
12．
【分析】设共有x辆车，根据人数相等即可列出方程．
解：设共有x辆车，
根据题意得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，找准等量关系，解题的关键
是正确列出一元一次方程．
13．6.4
【分析】设圆柱的高为h，底面积为S，利用圆柱的体积=Sh，圆锥的体积= Sh，再据
“圆锥与圆柱的体积比是1：4”即可求出圆柱的高．
解：设圆柱的高为h，底面积为S，
则 Sh= S×4.8h= ×4.8
h=1.6
h=6.4
故答案为：6.4．
【点拨】本题考查了圆柱和圆锥的体积的计算方法的灵活应用，解题的关键是熟记圆
柱和圆锥的体积公式．
14．25
【分析】设瓶子的底面积为xcm2，根据瓶子中的液体体积相同列出方程，求出方程的
解即可.
解：设瓶子底面积为xcm2，
根据题意得：12x=500-8x，
解得：x=25
故答案为：25
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找到等量关系是解答本题的关
键．
15．2×50x＝20（30－x）
【解析】略
16．6
【分析】设制作大花瓶的为x人，则制作小饰品的为（24-x）人，再由2个大花瓶与5
个小饰品配成一套列出方程，进一步求得x的值，计算得出答案即可．
解：设制作大花瓶的为x人，则制作小饰品的为（24-x）人，由题意得：
，
解得：x=6，
即要安排6名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．
故答案为6．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系，列出
方程是解题的关键．
17．200
【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设这列火车的长为x米，
根据题意得， ，
解得 ，
∴这列火车的长为200米．
故答案为：200
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元
一次方程是解题的关键．
18．250
【分析】设善行者x步追上不善行者，通过两者的速度关系，列出方程即可求解．
解：设善行者x步追上不善行者，
则有： ，
解得， ，
答：不善行者先行100步，善行者250步追上不善行者．
【点拨】本题考查了一元一次方程解决行程问题，根据两者的速度关系建立相关方程
是解题的关键．
19．12
【分析】设至少需要增加 人，由题意得： ，计算求解即可．
解：设至少需要增加 人
由题意得：
解得：
∴至少需要增加12人．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．
20．20x＝16（x+5）﹣8．
【分析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+5）个，根据原计划在20天内
完成的任务实际16天完成且还多生产8个，列方程即可．
解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+5）个，由题意得，20x＝16（x+5）﹣8．
故答案为：20x＝16（x+5）﹣8．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，
设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
21．(1)一盒羽毛球的单价是12元，一副羽毛球拍的单价是48元；
(2)当m为30时，到甲、乙两店购买付款一样多．
【分析】（1）设一盒羽毛球的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是4x元，再根据
等量关系“一套总价60元”列出方程即可得解；
（2）由题意得12（m﹣5）+48×5＝0.9×12m+0.9×48×5即可解答．
（1）解：设一盒羽毛球的单价是x元，则一副羽毛球拍的单价是4x元，依题意得
x+4x＝60，解得：x＝12，所以4x＝48，答：一盒羽毛球的单价是12元，一副羽毛球拍的
单价是48元．
（2）由题意得，12（m﹣5）+48×5＝0.9×12m+0.9×48×5，解得：m＝30，答：当m为
30时，到甲、乙两店购买付款一样多．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的应用，审清题意、明确等
量关系是解答本题的关键．
22．（1）长方形的长为 ，宽为 ；（2）长方形的长为 ，宽为 ，它
所围成的长方形的面积比（1）中面积增大0.33m2；（3）正方形的边长为 ，它所围成
的面积比（2）中面积增大0.16m2 ．
【分析】（1）首先设长方形的宽为 ，则长为 ，根据长方形的周长公式可
得方程 ，再解即可；
（2）设此时长方形的宽为 ，则它的长为 ，求出边长，进而可得面积，再
求出增加的量；
（3）利用（1）（2）中的数据进行比较即可．
解：（1）设此时长方形的宽为 ，则它的长为 ．
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
．此时长方形的长为 ，宽为 ．
（2）设此时长方形的宽为 ，则它的长为 ．
根据题意，得
解这个方程，得 ．
．
此时长方形的长为 ，宽为 ，它所围成的面积为 ，
（1）中长方形所围成的面积为 ．此时长方形的面积比（1）中面积
增大 ．
（3）设正方形的边长为 ．
根据题意，得
．
解这个方程，得 ．
正方形的边长为 ，
它所围成的面积为 ，
比（2）中面积增大 ．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题
目中的等量关系，列出方程．
23．① ，② ，③ ；安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件．
【分析】设应安排 天生产甲零件，根据题意求得安排 天生产乙种零件，共生
产甲种零件 ，生产乙种零件 ，根据每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种
零件，使得恰好配套，则甲种零件的数量乘以5等于乙种零件的数量乘以3，据此列出一
元一次方程即可求解．解：设应安排 天生产甲零件，根据题意求得安排 天生产乙种零件，共生产甲
种零件 ，生产乙种零件 ，
依题意得方程
解得：
答：安排6天生产甲零件，安排15天生产乙零件．
故答案为：① ，② ，③
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
24．A：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时；B：见分析；C：
；故答案为：甲的速度是15千米/小时，乙的速度为5千米/小时．
【分析】A：先设乙的速度x千米/小时，然后甲的速度3x千米/小时；
B：依据题意，甲、乙两人行驶的路程和是两个25千米，画出线段图；
C：甲遇见乙时，乙走的路程可以表示为 3x千米，甲走的路程可以表示为 千
米，依据 可求出甲遇见乙时，乙走的路程和甲走的路程，根据关于路程的等量关系：
甲、乙两人行驶的路程和是两个25千米，列出方程求解即可．
解：A：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时；
B：（画出线段图）如下：
C：甲遇见乙时，乙走的路程可以表示为 3x千米，甲走的路程可以表示为 千
米，列方程
，
7x+3x＝25×2，
10x＝50，
x＝5，则3x＝15．
答：甲的速度是15千米/小时，乙的速度是5千米/小时．
故答案为：A：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时；B：见分析；
C： ；甲的速度是15千米/小时，乙的速度是5千米/小时．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用知识，解题关键是设出甲和乙的速度，根据
题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
25．(1)当前参加生产的工人有40人(2)车间还需要28天才能完成任务
【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据完成的工作总量不变，即可得出关
于x的方程，解之即可得出结论；
（2）设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量＝工作效率×工作时间×工作人数，
即可得出关于y的方程求解．
（1）解：设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：500×10x＝500×8（x+10），解
得：x＝40．故当前参加生产的工人有40人；
（2）780万＝7800000，设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×500×10×40+（40+10）×10×500y＝7800000，解得：y＝28．故该车间还需要28天才能完
成任务．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系正确列方程计算
是解题关键．
