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专题 3.1 一元一次方程中的综合
【典例1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程2x−1=3和x+1=0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是否互为“美好方程”；
x
（2）若关于x的方程 +m=0与方程3x−2=x+4是“美好方程”，求m的值；
2
1 1
（ 3 ） 若 关 于 x 方 程 x−1=0与 x+1=3x+k是 “ 美 好 方 程 ” ， 求 关 于 y 的 方 程
2022 2022
1
(y+2)+1=3 y+k+6的解．
2022
【思路点拨】
（1）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
（2）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
1 1
（3）先求出 x−1=0的解为x=2022，根据“美好方程”的定义，可得方程 x+1=3x+k的解
2022 2022
1 1
为：x=−2021，然后把 (y+2)+1=3 y+k+6化为 (y+2)+1=3(y+2)+k，可得
2022 2022
y+2=−2021，即可求解．
【解题过程】
解：（1）是，理由如下：
由4x−(x+5)=1解得x=2；
由−2y−y=3解得：y=−1．
∵−1+2=1
∴方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”．
（2）解：由3x−2=x+4解得x=3；
x
由 +m=0解得x=−2m．
2
x
∵方程3x−2=x+4与方程 +m=0是“美好方程”
2∴−2m+3=1，
解得m=1．
1
（3）解：由 x−1=0解得x=2022；
2022
1 1
∵方程 x−1=0与方程 x+1=3x+k是“美好方程”
2022 2022
1
∴方程 x+1=3x+k的解为：x=1−2022=−2021，
2022
1 1
又 (y+2)+1=3 y+k+6可化为 (y+2)+1=3(y+2)+k
2022 2022
∴y+2=−2021，
解得：y=−2023．
| 2| | 4|
1．（2022·浙江·七年级单元测试）满足方程 x+ + x− =2的整数x有（ ）个
3 3
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
x x x x
2．（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）方程 + + …+ =1的解是x=
3 15 35 2021×2023
（ ）．
2021 2023 2023 1011
A． B． C． D．
2023 2021 1011 2023
3x−5m x−m
3．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程 − =19的解，比关于x的一元
2 3
一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（x﹣m）的解大15，则m＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
38−ax x
4．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程x− = −1有负整数解，则所有满足条件的
3 2
整数a的值之和为（ ）
A．−11 B．−26 C．−28 D．−30
2kx+m x−nk
5．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程 = +2，无论k为任何数时，它的解总是
3 6
x=1，那么m+n=_______．6．（2022·浙江·七年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a,b,c}表示
a，b，c三个数中较大的数，例如max{2,3,4}=4.按照这个规定则方程max{x,−x,0}=3x−2的解为
_________．
x
7．（2022·河北保定·七年级期末）已知关于x的一元一次方程 +a=2020x的解为x=2020，那么关
2020
1−y
于y的一元一次方程 =2020(1−y)+a的解为________.
2020
x x x
8．（2022·全国·七年级课时练习）解关于x的一元一次方程 + +⋯+ =2020．
1×3 3×5 2019×2021
9．（2022·上海·七年级专题练习）解关于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：|x-|3x+1||＝4．
3x−4 2x+1
11．（2022·全国·七年级课时练习）如果方程 −7= −1 的解与方程
2 3
4x−(3a+1)=6x+2a−1 的解相同，求式子 a2−a+1 的值．3x−1
12．（2022·江苏·七年级单元测试）嘉淇在解关于x的一元一次方程 +＝3时，发现正整数被污
2
染了；
3x−1
(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程 +2=3；
2
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
3 y−a 5 y−7a
13．（2021·吉林松原·七年级期末）某同学在解关于y的方程 − =1去分母时、忘记将方程
4 6
右边
的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．
（1）求a的值；
（2）求方程正确的解．
14．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）一题多解是培养发散思维的重要方法，方程“
6(4x−3)+2(3−4x)=3(4x−3)+5”可以有多种不同的解法．
(1)观察上述方程，假设y=4x−3，则原方程可变形为关于y的方程：_________ ，通过先求y的值，从而
可得x=_____；1 1
(2)利用上述方法解方程：3(x−1)− (x−1)=2(x−1)− (x+1)．
3 2
x x x
15．（2022·全国·七年级专题练习）解关于x的方程 + + ＝0，我们也可以这样来解：
3 5 7
1 1 1
（ + + ）x＝0，
3 5 7
1 1 1
因为 + + ≠0．
3 5 7
所以方程的解：x＝0．
请按这种方法解下列方程：
x−1 x−1 x−1 x−1
(1) + + + ＝0；
3 5 7 9
x−23 x−19 x−15 x−11 x−7
(2) + + + + ＝10．
2 4 6 8 10
16．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）仔细观察下面的解法，请回答为问题．
3x−1 4x+2
解方程： = −1
2 5
解：15x﹣5＝8x+4﹣1，
15x﹣8x＝4﹣1+5，
7x＝8，
7
x= ．
8
(1)上面的解法错误有 处．3x−1 4x+2 1
(2)若关于x的方程 = ＋a，按上面的解法和正确的解法得到的解分别为x ，x ，且x − 为
2 5 1 2 ❑2 x
1
非零整数，求|a|的最小值．
17．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们
a b 1 0 2x+1 −4
规定了一种运算：| |＝ad﹣bc，例如| |＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当| |＝19时，
c d 2 −2 x−1 3
求x的值．
18．（2022·全国·七年级专题练习）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方
程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若x 是关于x的一元一次方程的解，y 是关于y的方程的
0 0
一个解，且x ，y 满足x + y =424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一
0 0 0 0
元一次方程4x=5x−400的解是x=400，方程|y|=24的解是y=24或y=−24，当y=24时，满足
x + y =400+24=424，所以关于y的方程|y|=24是关于x的一元一次方程4x=5x−400的“航天方
0 0
程”．
(1)试判断关于y的方程|y−1|=20是否是关于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”？并说明理由；
2x−2a
(2)若关于y的方程|y−1|−3=13是关于x的一元一次方程x− =2a+1的“航天方程”，求a的值．
319．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这
个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x
＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的
值．20．（2022·福建福州·七年级期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0
（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方
程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
x−2m
(2)若关于x的方程x﹣ ＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求
3
n的值；
(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的
式子表示k．
