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专题31 一次函数与菱形结合
1．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6，把矩形OABC沿直线DE对折
使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，点M在y轴上，以M、D、
F、N为项点的四边形是菱形，满足条件的点N有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】分三种情形①若DF为菱形的一边，当DM为菱形的对角线时，如图3中，②当DM为菱
形的一边时，如图4中，③若DF为菱形的对角线，如图5，分别求解即可解决问题.
【详解】解：如图2中，分别取OA、OC的中点P，Q，连接PF，QF．
∵F是中点，
，
∴点F的坐标为（3，4）．
①若DF为菱形的一边，当DM为菱形的对角线时，如图3中，
①若DF为菱形的一边，当DM为菱形的对角线时，如图3中，点N与点F关于y轴对称，则点N的坐标为（-3，4），
②当DM为菱形的一边时，如图4中，此时FN∥DM， ，
∵F（3，4），
∴点N的坐标为 或
即点N的坐标为： 或 .
③若DF为菱形的对角线，如图5，
∵四边形DNFM为菱形，
∴DM=FM，
∴∠MDF=∠MFD，
∵∠DFC=90°，
∴∠MCF=∠MFC，
∴MC=MF，
∴点M是CD中点，则 ，
∵四边形MDNF为菱形，
∴NF∥DM，NF=DM= ，∴点N坐标为
即点N坐标为： .
综上所述，满足条件的点N坐标为（-3，4）， ， ， ，共4个.
【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
2．如图，直线y=- x+4 分别与x轴，y轴交于点A，B，点C在直线AB上，D是y轴右侧平面
内一点，若以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是_______________．
【答案】（2，−2 ）或（6，2 ）．
【分析】设点C的坐标为（x，- x+4 ）．分两种情况，分别以C在x轴的上方、C在x轴的下
方做菱形，画出图形，根据菱形的性质找出点C的坐标即可得出D点的坐标．
【详解】∵一次函数解析式为线y＝- x+4 ，
令x=0,解得y=4
∴B（0，4 ），
令y=0,解得x=4
∴A（4，0），
如图一，∵四边形OADC是菱形，设C（x，- x+4 ），
∴OC＝OA＝ ，
整理得：x2−6x＋8＝0，
解得x ＝2，x ＝4，
1 2
∴C（2，2 ），
∴D（6，2 ）；
如图二、如图三，∵四边形OADC是菱形，
设C（x，- x+4 ），
∴AC＝OA＝ ，
整理得：x2−8x＋12＝0，
解得x ＝2，x ＝6，
1 2
∴C（6，−2 ）或（2，2 ）∴D（2，−2 ）或（−2，2 ）
∵D是y轴右侧平面内一点，故（−2，2 ）不符合题意，
故答案为（2，−2 ）或（6，2 ）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，解题的关键是确定点C、D的
位置．本题属于中档题，难度不大，在考虑菱形时需要分类讨论．
3．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC
是菱形，求OD的长．
【答案】
【分析】由直线 的解析式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 、 的坐标，进而可得
出 、 的长度，由 、 的长度利用勾股定理可求出 的长度，根据菱形的性质可得出
、 ，利用面积相等法可求出 的长度，再根据 即可求出 的长度．
【详解】解： 直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，
点 ，点 ，
， ，
．
四边形 是菱形，
， ，
，即 ，
解得： ，．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理以及三角形的面积，
解题的关键是借用面积相等法求出 的长度．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣ x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线
1
l：y＝ x交于点A．
2
（1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是 ，B的坐标是 ，C的坐标是 ．
（2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶
点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（ ， ），（16，0），（0，8）；（2）y＝﹣x+8；（3）存在，（﹣4，4），
（4 ，﹣4 ），（8，8）．
【分析】（1）利用坐标轴上点的坐标特征求出点B，C坐标，联立两直线解析式确定出点A坐标；
（2）设出点M的坐标，利用三角形的面积公式建立方程即可求出点M的坐标；
（3）分两种情况即可解决问题．
【详解】∵直线l：y＝﹣ x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，
1
令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
令y＝0，则﹣ x+8＝0，
∴x＝16，
∴B（16，0），联立直线l 和直线l 得， ，解得， ，
1 2
∴A（ ， ），
故答案为（ ， ），（16，0），（0，8）；
（2）∵点M在线段OA上，且直线OA的解析式为y＝ x，设M（m， m）（m＞0），
∵△COM的面积为24，
∴S COM＝ ×8×m＝24，
△
∴m＝6，
∴M（6，2），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CM的解析式为y＝﹣x+8，
（3）如图，
①CE是菱形的对角线时，由（2）知，直线CM的解析式为y＝﹣x+8，
令y＝0，则﹣x+8＝0，
∴x＝8，
∴E'（8，0），
∵四边形OCF'E'是菱形，
∴E'F'＝OB＝8，
∴∠OCE'＝45°，OC＝OE'，
过点C作CF'∥x轴，过点E'作E'F'∥y轴相交于F'，
．∴F'（8，8），
②CE为菱形的边时，∵四边形OCF'E'是菱形；
在射线CM上取一点E使CE＝OC，
∵四边形OECF是菱形，∴CE＝OE，
∴点E是OC的垂直平分线，
当y＝4时，﹣x+8＝4，
∴E（4，4），
∴F（﹣4，4），
同理，F''（4 ，﹣4 ），
即：满足条件的点F的坐标为（﹣4，4），（4 ，﹣4 ），（8，8）．
【点睛】一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，菱形的性质和判定，解
本题的关键是画出图形，是一道中考常考题．
5． 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 在 轴正半轴上， ， ， 的长满
足 ．过点 的直线交 于点 ， 的面积等于 面积的 ，请解
答下列问题：
（1）求点 ，点 的坐标：
（2）过点 作 于 ，交 轴于点 ，求线段 的长；
（3）点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存
在，直接写出点 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（-2，0），D（4，2）；（2）2；（3） 或 或 或
．
【分析】（1）根据非负数的性质得出OA，OB，求出 ABC和 的面积，设D（x，y），由
的面积可求出y，求出直线BC解析式，把y值△代入求出x值 即可；
（2）证明 ABH≌ GBO，即可求出OG的长；
（3）分三△种情况讨△论求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，且
∴
∴
∴AB=AO+OB=2+6=8
∴
∵ 的面积等于 面积的 ，
∴
设点D的坐标为（x，y），则有
∴y=2，
设直线BC的解析式为
∵OC=6
∴C（0，6）
∴把B，C点坐标代入 得，
，
解得，
∴直线BC的解析式为
又点D在直线BC上，且y=2
∴ ，解得，x=4∴D（4，2）；
（2）如图，
∵BH⊥AC，OC⊥OB
∴∠CHG=∠BOG=90°
又∠CGH=∠BGO
∴∠ACO=∠GBO
∵OC=OB=6
∴ ABH≌ GBO
∴△ OG=OA△=2
（3）点 在 轴上，要使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则有以下几种情形：
(a)以AB，AM为邻边的菱形，则AM=AB=8
∵ ，即
解得， (负值舍去)
∵MN=AB=8
∴点N的坐标为 或 ；
(b) 以AB，BM为邻边的菱形，则BM=AB=8
∵ ，即
解得， (负值舍去)
∴点N的坐标为 或 ；
(c) 以AM，BM为邻边的菱形不存在．
综上，点N的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，菱形的判定
与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．6．已知：在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线 经过
点A，与y轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，点P为直线 一个动点，若 的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将 沿着x轴平移，平移过程中的 记为 ，请问在平面内是否存在点
D，使得以 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
【答案】(1)
(2) ， 或 ，
(3)存在， ， ，
【分析】（1）设直线 的解析式 ，求出点 的坐标，把 、 的坐标代入解析式计算即
可；
（2）设点 的横坐标为 ，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
（3）按 为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点 的坐标即可．
【详解】（1）解：设直线 的解析式 ，直线 与 轴， 轴分别交于 、 两点，
， ，
直线 经过点 ，与 轴交于点 ，
，
，
直线 的解析式： ；
（2）由题意可知， ，
设点 的横坐标为 ，
，
或 ．
， 或 ， ；
（3）设将 沿着 轴平移 个单位长度得到△ ，
，
， ，
设 点坐标为 ，
①当 为以 、 、 、 为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当 时，即 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
点 与点 重合，即 ．
当 时，
， ，，
解得 ，
此时 ，即点 在 轴上，
且 ，
．
②当 为以 、 、 、 为顶点的菱形对角线时， ，即点 在 的垂直平分
线上，且 ， 关于 对称，
当 向左一移动， ， ， ，
，
解得 或 （舍），
当 向右移动时， ， ， ，
，
解得 （舍）或 （舍），
，
．
综上所述，存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，点 的坐标为 ，
， ．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱
形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线 经
过点B，与x轴相交于点C，点D是线段AB上的一个动点．(1)b的值是______；
(2)如图1，过点D作BC的平行线与直线 相交于点P，直线 与直线AB相交于点Q．当
时，求点D坐标；
(3)如图2，点D在移动过程中，是否存在点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若
存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)－3
(2)点D的坐标为
(3)存在点E，以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为 ； 或
【分析】（1）根据题意，先求出点B坐标，进一步可求出b的值；
（2）设点D的坐标为（m，−m−3），根据两直线平行可设直线DP的解析式为y＝3x＋n，将点D
坐标代入求出直线DP的解析式，然后分情况表示出PQ的长，根据 ，列方程求出
m，即可求出点D坐标；
（3）设点D的坐标为（m，−m−3），表示出 ， ，
，由以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，分三种情况讨论：当BD
＝BC时，当CD＝CB时，当DC＝DB时，分别列方程求出点D坐标，再根据平移的性质解答即可．
（1）解：∵直线y＝−x−3与y轴相交于点B，
∴B（0，−3），
∵直线y＝3x＋b经过点B，
∴b＝−3，
故答案为：−3；
（2）
解：当 时，解得： ，
∴ ，
设点D的坐标为 ，
由（1）知，直线BC的函数表达式为 ，
∵ ，
∴设直线DP的解析式为 ，
∵点D的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ， ，
∴ ， ，
当点D在线段AQ上时， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴点D的坐标为 ，
当点D在线段BQ上时， ，∵ ，
∴ ，整理得： ，
解得： （舍去）或 （舍去），
综上，点D的坐标为 ；
（3）
设点D的坐标为 ，
当 时，解得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，∵以点B，C，
D，E为顶点的四边形为菱形，
故分三种情况：
如图2，当 时，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴点D的坐标为 ，
∵ ， ，
∴点D向右移动1个单位长度，向上移动3个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为 ；
如图3，当 时，
∴ ，
∴ ，解得： ， （舍去），
∴点D的坐标为 ，
∵ ， ，
∴点D向左移动1个单位长度，向下移动3个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为 ；
如图4，当 时，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴点D的坐标为 ，
∵点 ，
∴点C向右移动2.5个单位长度，向下移动2.5个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为 ；
综上，存在点E，以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为 或
或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标
特征，两直线平行的位置关系，菱形的判定和性质，三角形的面积，解一元二次方程，勾股定理和平移的性质等知识，本题综合性较强，难度较大，熟练掌握分类讨论思想和数形结合思想的应
用是解题的关键．
8．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在 、 轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函
数 的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一
个动点．
（1）求 的值；
（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：2，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的
坐标．
【答案】（1）b=6；（2）M ；（3）N点坐标为 或
【分析】（1）根据OD=BE，可得点E（6，8-b），将E代入解析式，即可求解；
（2）由（1）知：一次函数的解析式为： ，OD=6，AE=2，根据△ODM的面积与四边
形OAEM的面积之比为1：2，可得 ，可得到 ，设点M的横坐标为
m，则 ，即可求解；
（3）分两种情况：若以OD为对角线，得到菱形OMDN；若以DM为对角线，得到菱形ODNM，
讨论，即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴ 轴， 轴，
∵一次函数 的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，∴OD=BE=b，
∵点B的坐标为（6，8），
∴AB=8，点E的横坐标为6，
∴AE=AB-BE=8-b，
∴点E（6，8-b），
将点E代入 ，得：
，解得： ；
（2）由（1）知：一次函数的解析式为： ，OD=6，AE=2，
∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设点M的横坐标为m，则 ，
即 ，
解得： ，
将 代入 ，得： ，
∴M ；
（3）如图（1），若以OD为对角线，得到菱形OMDN， 则MN垂直平分OD，M和N关于y轴
对称，∵OD=6，
∴点M的纵坐标均是 ，
将 代入 ，得：
，解得： ，
∴点M ，
∴点N ；
如图（2），若以DM为对角线，得到菱形ODNM，则OM=OD=6，线段DM与线段ON的中点重
合，
设点M的横坐标为a，则纵坐标为 ，
∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去） ，
∴点M ，
设点N ，由（1）知： ，
∴ ，解得： ，
∴点N ，
综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数与菱形的判定与性质的综合题，主要考查了矩形的性质，一次函数的性
质，菱形的判定方法，正确根据菱形的性质求得M的坐标是解决本题的关键．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 ： 交于点A，分别与x轴、y
轴交于点B、C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段 上的点，且 的面积为12，求直线 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线 上的点．
如图2，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） ， ；（2） ；（3）存在， 点的坐标为
或 或（6，6）
【分析】（1）构建方程组确定交点A的坐标，利用待定系数法确定B，C两点坐标即可．
（2）设 ，利用三角形的面积公式，构建方程求出m的值，再利用待定系数法即可解决
问题．
（3）①构建 ，设 ，利用两点间距离公式，构建方程求出m即可．
②如图2-1中，当 为菱形的对角线时， 垂直平分线段 ，利用对称性解决问题即可．
③当CP是菱形对角线时，设直线CD与x轴交点为M，求出OM=CO，得到菱形为正方形，故可
求解．
【详解】解：（1）由 ，解得 ，
∴ ．
∵ 与分别与x轴、y轴交于点B、C，
∴ ．
（2）设 ，由题意： 的面积为12，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
设直线 的解析式为 ，则有 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（3）①如图2-1中，∵四边形 是菱形，
∴ ，
设 ，
∵
∴PC= ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
②如图2-1中，当 为菱形的对角线时， 垂直平分线段 ，
∴P’的纵坐标为3
代入直线CD得
∴P’(3,3)
∵P’、Q’关于y轴对称
∴∴满足条件的点 的坐标为 ．
③如图2-1中，当CP是菱形对角线时，
则CO=OP’’=6
设直线CD与x轴交点为M，
把y=0代入
得x=6
∴M（6,0）
∴OM=CO=6
∴OP’’=OM
即M、P’’重合
∵CO⊥OM
∴菱形COP’’Q’’为正方形，
∴Q’’（6，6）．
综上， 点的坐标为 或 或（6，6）．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，菱形的判定和性质等知
识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次
函数y＝ 的图象与边OC，AB分别交于点D，E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的
一个动点．
（1）求b的值；（2）当DM：ME＝1：2时，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方的平面内的一点，当以点O，M，D，N为顶点的四边形是菱形时，直接写
出点N的坐标．
【答案】（1）3；（2）M（1， ）；（3）N（ ， ）或N （﹣ ， ）．
【分析】（1）分别表示出D和E点的坐标，根据OD＝BE列出等式即可求出b的值；
（2）过点E作EF⊥OC于F，过点M作MP⊥OC于P，求出DE的长，再设M（a，3﹣ a），由
DP2＋MP2＝DM2列出等式即可求出M的坐标；
（3）设M（m，3﹣ m），分当OD为菱形一边时和当OD为菱形一条对角线时两种情况，根据
菱形邻边相等或对角线的对称性等特点找到等量列出等式即可求出M点坐标，从而再找到N的坐
标．
【详解】解：（1）由题知：A（3，0），C（0，4），D（0，b），E（3，b﹣2），
∵OD＝BE，
∴b＝4﹣（b﹣2），
∴b＝3；
（2）过点E作EF⊥OC于F，过点M作MP⊥OC于P，如图所示，
由（1）得，D（0，3），E（3，1）
由勾股定理得，DE＝ ，
∵DM：ME＝1：2，∴DM＝ DE＝ ，
设点M（a，3﹣ a），由DP2＋MP2＝DM2得（3＋ a﹣3）2＋a2＝（ ）2，
解得：a＝1，a＝﹣1（舍去），
1 2
∴M（1， ）；
（3）N （ ， ），N （﹣ ， ），理由如下：
1 2
设M（m，3﹣ m），
①当OD为菱形一边时，OD＝OM，如图所示：
∴m2＋（3﹣ m）2＝32，
解得，m＝ ＜3或m＝0（不合题意，舍去），
∴M（ ， ）
在线段DE上，过点M作MN OD，MN＝OD，则四边形OMND是菱形，
则点N为所求，N（ ， ）；
②当OD为菱形一条对角线时，过OD中点P作PM⊥OD交直线CE于点M （c， ），∴ ＝﹣ c＋3，
∴c＝ ＜3，
∴点M （ ， ）在线段DE上，
当点N与点M关于y轴对称时，四边形OMDN是菱形，
∴N （﹣ ， ），
综上，符合条件的点N有两个，其坐标分别为N（ ， ）或N （﹣ ， ）．
【点睛】本题属于一次函数综合大题，考查了一次函数基本性质，坐标的变化规律以及菱形的基
本性质等知识，熟练掌握好一次函数的基本性质以及平面直角坐标系中点的综合变化，并能将菱
形特点与平面直角坐标系坐标变化相互结合，灵活运用是解决本题的关键．
11．如图1，已知在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 的坐标是 ，动点 从点
出发，沿线段 向终点 运动，同时动点 从点 出发，沿线段 向终点 运动．点 ，
的运动速度均为1个单位/秒，运动时间为 秒．过点 作 交 于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）在点 ， 的运动过程中，当 为直角三角形时，请求出 的值；
（3）在动点 运动的过程中，在矩形 内（包括边界）是否存在一点 使以 ， ， ，
为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） 秒或2秒；（3）存在， 的坐标为 或【分析】（1）根据矩形性质求出点A、C坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）分 和 两种情况，利用相似即可求解；
（3）分用含t式子表示出点E坐标，分 在 左侧和 在 右侧两种情况，结合菱形性质得到关
于t的方程，求解，舍去不合题意解，问题得解．
【详解】解: （1）∵矩形 的顶点 的坐标是 ，
的坐标是 ， 的坐标是 ，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得 ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）①当 时，如图1，
由题意可知 ， ， 三点共线，
， 分别是 ， 的中点，
秒；
②当 时，如图2，由题意可知 ， ，
，
，
，，
， ，
，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
∴当 秒或2秒时， 为直角三角形．
（3）由题意可知 的坐标为
①如图3，当 在 左侧时： ，
∴可知 的坐标为 ，
∵菱形 ，
，即 ，
，解得 ， （舍去），的坐标为 ；
②如图4，当 在 右侧时：
，
∴可知 的坐标为 ，
∵菱形 ，
，即 ，
，
解得 ， （舍去），
的坐标为 ；
的坐标为 或 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形动点问题，菱形性质，相似三角形判定与性质，一元二次方程应用等知识，综合性较强，根据题意灵活应用所学知识并进行分类讨论是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 两点．
（1）求出 两点的坐标；
（2） 为 轴上一点，将直线AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处，此时点C的对应
点为D，求出点D的坐标，请判断四边形ABDC的形状，并说明理由．
（3）点M为 轴上一点，点N为坐标平面内另一点，若以 为顶点的四边形是菱形，请
求出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1） 、 ；（2） 点的坐标为 、平行四边形，理由见解析；（3）
， ， ， ．
【分析】（1）分别令 、 求解；
（2）由平移性质可知 ， ，求得坐标和判断形状；
（3）分三种情况讨论：当AC与AM为两邻边时；当AC与CM为两邻边，AM与CN为对角线时；
当AM和AN为两邻边时，AC为对角线， 时；分别根据菱形的性质求解．
【详解】（1）∵ ，
∴令 ， ，
∴ ，
令 ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ；
（2）①解：由平移性质可知 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ；
②四边形 为平行四边形，理由如下：
由平移性质可知，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形；
（3）由①可知 ， ，
∴ ，
∵以 为顶点的四边形是菱形，
∴①当AC与AM为两邻边时，
， ，
∴ ， ；
②当AC与CM为两邻边时，AM与CN为对角线，
∵ ，
∴ ；
③当AM和AN为两邻边时，AC为对角线， ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
，∴ ，
∴ ，
∴综上所述，满足条件的N点共有4个，即 ， ， ， ．
【点睛】本题综合性较强，涉及到一次函数与坐标轴的交点计算、平移的性质和规律、菱形的性
质，计算量也较大，分类讨论的数学思想是解题的关键．
13．如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）动点 从原点 出发，以每秒 个单位长度的速度在线段 上向点 作匀速运动，连接 ，
设运动时间为 秒， 的面积为 ，求 关于 的函数关系式；
（3）若点 是 轴上的点，点 是坐标平面内的点若以 为顶点的四边形是菱形，请直
接写出点 的坐标．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 点的坐标为 或
或 或 ．【分析】（1）联立两直线的解析式求出x、y的值即可得出P点坐标；
（2）先求出A点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分OP为菱形的边与对角线两种情况进行讨论．
【详解】解：（1）解方程组： 得
点的坐标为
（2） ，
（3）如图，当OP为菱形的边时，
∵P（2，2 ），
∴OP＝ ，
∴N ，N ，N ；
1 2 3
当OP为对角线时，设M（0，a），
则MP＝a，即22＋（2 −a）2＝a2，解得a＝ ，
∴N点的纵坐标＝2 ，
∴N ．
4
综上所述： 点的坐标为 或 或 或 ．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到菱形的性质与一次函数的交点问题，根据题意画
出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
14．在平面直角坐标系之中，点O为坐标原点，直线 分别交x、y轴于点B、A，直线
与直线 交于点C．
（1）如图1，求点C的坐标．
（2）如图2，点P（t，0）为C点的右侧x轴上一点，过点P作x轴垂线分别交AB、OC于点N、
M，若MN=5NP，求t的值．
（3）如图3，点F为平面内任意一点，是否存在y轴正半轴上一点E，使点E、F、M、N围成的四
边形为菱形，若存在求出点E坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）C ；（2）t=2.4 ； （3） ， ，
， ．
【分析】（1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，
确定出C点坐标即可；
（2）设P（t，0），则N（t， ），M（t，3t），利用两点间距离公式表示出MN，NP的长，
然后根据题意列方程求解；
（3）根据t的值求出点M，N的坐标和MN的长度，然后分MN为对角线或MN为边结合菱形的
性质和勾股定理进行分情况讨论求解．
【详解】解：（1）∵直线 与直线 交于点C．
∴联立 ，解得
∴C
（2）设P（t，0），则N（t， ），M（t，3t）
MN=3t-（ ）= ， NP=
∵MN=5NP，∴ =5（ ），
解得t=2.4
（3）经过计算：当t=2.4 时，M（ ），N（ ），MN=6，
情况1，以MN为对角线，作MN的垂直平分线交y轴正半轴于点E，
∴MT=NT=3，ET=TF=2.4，
∴此时 ，即
情况2：以MN为边，点E在点M的下面， ，
作 ⊥MN，∴在Rt△ 中，MY= ，
∴此时
情况3：以MN为边，点E在点M的上面同理作 ⊥MN，解得MW= ，
此时 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握菱形的性质，勾股定理的计算，利用数形结合思想解题
是关键．
15．如图，直线 与x轴y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两
点，连接BC，且 .
（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；
（2）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点M在x轴上，连接MB，当 时，求点M的坐标.
【答案】（1）A（4，0）， ；（2）点M的坐标为（3，0）或（ ，0）；（3）点Q
的坐标为（-5，4）或（5，4）或（0，-4）或(− ，4)．
【分析】（1）首先求出A、B、C三点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可．
（2）当点M在点A的左边时，可以证明BC=BM，OC=OM=3，推出M（3，0），当点M在点A的
右边时，作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M ，则∠M BA=∠MBA，点M 满足
1 1 1
条件即可
（3）画出图形，分两种情形讨论即可①当BC为菱形的边时，四边形CP Q B，四边形CP Q B，四
1 1 3 3
边形BCQ P 是菱形，②当BC是菱形的对角线时，四边形CP BQ 是菱形．
2 2 4 4
【详解】解：（1）直线y=-x+4，当x=0的y=4，当y=0得x=4，
∴A（4，0），B（0，4），∴OB=OA=4，
∵ ，
∴OC=3，
∴C（-3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ ∴
∴直线BC的解析式为
（2）如图1，
当点M在点A的左边时，
∵OB=OA=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°，
∴∠CBO=∠OBM，
∵∠CBO+∠BCO=90°，∠BMO+∠OBM=90°，
∴∠BCO=∠BMO，
∴BC=BM，OC=OM=3，
∴M（3，0），
当点M在点A的右边时，
作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M ，
1
则∠M BA=∠MBA，点M 满足条件．
1 1
∵N（4，1），B（0，4），∴直线BN的解析式为y=- x+4，令y=0，得x= ，
∴M （ ，0），
1
综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（ ，0）．
（3）如图2，
当BC为菱形的边时，四边形CP Q B，四边形CP Q B，四边形BCQ P 是菱形，此时Q （-5，4），
1 1 3 3 2 2 1
Q （5，4），Q （0，4），
3 2
当BC是菱形的对角线时，四边形CP BQ 是菱形，可得Q （- ，4）．
4 4 4
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（-5，4）或（5，4）或（0，-4）或(− ，4)．
【点睛】本题是一次函数综合题、考查了菱形的判定和性质、待定系数法确定一次函数的解析式、
勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，分类讨论思想的运用是解题的关键，属于中考常考题型．
16．如图，已知一次函数 图象交直线OA于点A（1，2），交y轴于点B，点C为坐标平
面内一点．（1）求k值；
（2）若以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，则C点坐标为 ；
（3）在直线AB上找点D，使 的面积与（2）中菱形面积相等，则D点坐标为 ．
【答案】（1） ；（2）（﹣1，2）；（3）（﹣1，6）或（3，﹣2）
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）只要证明A、C关于y轴对称即可解决问题；
（3）分两种情形，根据 即可解决问题；
【详解】（1）将点A（1，2）代入一次函数 中，
，
得 ．
（2）∵一次函数解析式为 ，
∴B点坐标为（0，4），
∵A（1，2），
∴OA= ，AB= ，
∵以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，
∴存在OB⊥AC，且OB、AC互相平分，由对称性得C点坐标为（﹣1，2）．
故答案为（﹣1，2）．
（3）∵四边形OABC是菱形，∴ ，
∴当点 时， 的面积与（2）中菱形面积相等，
∴D点有两个（如图）
∴
∵一次函数 与x轴的交点为（2，0），
∴D（﹣1，6）或（3，﹣2）．
【点睛】本题考查两直线相交、菱形的性质和判定、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题．
17．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长
分别是一元二次方程 的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为
S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（1，0），C（﹣3，0）；（2）S=2 ﹣t（0≤t＜2 ）；②S=t﹣2 （t＞2
）；（3）存在，Q （﹣1，0），Q （1，﹣2），Q （1，2），Q （1， ）．
1 2 3 1
【分析】（1）通过解一元二次方程 ，求得方程的两个根，从而得到A、B两
点的坐标，再根据勾股定理可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐
标．
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函
数关系式．
（3）分AB是边和对角线两种情况讨论可求Q点的坐标
【详解】（1）
（x﹣ ）（x﹣1）=0，
解得x = ，x =1．
1 2
∵OA＜OB，∴OA=1，OB= ．
∴A（1，0），B（0， ）．
∴AB=2．
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4．
∴C（﹣3，0）；
（2）由题意得：CM=t，CB=2 ．
∴∴
①当点M在CB边上时，S= =2 ﹣t（0≤t＜2 ）；
②当点M在CB边的延长线上时，S= =t﹣2 （t＞2 ）．
（3）存在，Q （﹣1，0），Q （1，﹣2），Q （1，2），Q （1， ）．
1 2 3 1
18．直线 与 轴、 轴、直线 分别交于点A、B、C 三点，E为 轴正半轴上一
点，O为坐标原点．
(1)求出C点的坐标；
(2)若过C、E的直线把三角形 的面积平分，求直线 对应的函数关系式；
(3)在平面内是否存在点F，使得以O、C、E、F 为顶点的四边形为菱形？ 若存在，请求出点F
的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)C点的坐标为（2，2）
(2)直线CE的函数关系式为
(3)存在，点F的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）把两个一次函数的解析式联立起来，再解方程组即可得到C的坐标；
（2） 先求解A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），再求解
，可得点E在线段OA上设点E（m，0），再利用面积求解
，可得点E的坐标为 ，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（3）①当OC为对角线时，如图，根据菱形的性质， 结合中点坐标公式可得答案 ；②当CE为
对角线时，如图，先求解 ，可得 结合菱形的性质设 结合
中点坐标公式可得答案； ③当OE为对角线时，如图，根据菱形的性质，
从而可得答案．
（1）
解：联立 ，解得
∴C点的坐标为（2，2）
（2）
令 则 令 则
∴A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3）
∴
∵ ，
∴点E在线段OA上，
设点E（m，0），则 ，解得：∴点E的坐标为 ，
设直线CE的函数关系式为 ，
将（2，2）代入，解得 ，
∴直线CE的函数关系式为 ．
（3）
①当OC为对角线时，如图，
∵点E在 轴正半轴上，根据菱形的性质，可得
∴点F在 轴上，设 而
由中点坐标公式可得
∴点F的坐标为（0，2）
②当CE为对角线时，如图，∵ ，
设
由中点坐标公式可得：
∴点F的坐标为
③当OE为对角线时，如图，
根据菱形的性质，
∴点F的坐标为 ．
【点睛】本题考查的是求解两个一次函数的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，
坐标与图形，一次函数的性质，菱形的性质与判定，清晰的分类讨论是解本题的关键．
